數(shù)學思想與方法形成性考核冊答案

1、1. 分別簡單敘說算術與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較它們的區(qū)別。解答：算術解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出關于這些具體數(shù)據(jù)的算式，然后通過四則運算求得算式的結果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關系列出方程，然后通過對方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值。它們的區(qū)別在于算術解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù)解題允許未知的量參與運算；算術方法的關鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關鍵之處是列方程。 2. 比較決定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象的特點，簡單敘說確定數(shù)學的局限。解答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象

2、，一類是決定性現(xiàn)象，另一類是隨機現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，其結果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預知結果如何。 隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結果，也可能不發(fā)生某種結果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系。在數(shù)學學科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運動和變化過程，從而確定結果。但是由于隨機現(xiàn)象條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學來加以定量描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學的局

3、限所在。 二、論述題1. 論述社會科學數(shù)學化的主要原因。解答：從整個科學發(fā)展趨勢來看，社會科學的數(shù)學化也是必然的趨勢，其主要原因可以歸結為有下面四個方面：第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系的發(fā)展也需要精確化。第三，隨著數(shù)學的進一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支。 第四，電子計算機的發(fā)展與應用，使非常復雜社會現(xiàn)象經(jīng)過量化后可以進行數(shù)值處理。2. 論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學發(fā)展的作用。 解答：第一次數(shù)學危機促使人們去認識和理解無理數(shù)，導致了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。第二次數(shù)學危機促使人們去深入探討實數(shù)理論，導致了分析基礎理論的完善和集合論的產(chǎn)生。第三次數(shù)學危機促使

4、人們研究和分析數(shù)學悖論，導致了數(shù)理邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。由此可見，數(shù)學危機的解決，往往給數(shù)學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數(shù)學領域的發(fā)展。 三、分析題 2. 分析九章算術思想方法的特點，為什么？解答：（1）開放的歸納體系從九章算術的內容可以看出，它是以應用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放體系。 （2）算法化的內容九章算術在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解法。因此，內容的算法化是九

5、章算術思想方法上的特點之一 數(shù)學思想與方法作業(yè)參考解答（2）1敘述抽象的含義及其過程。解答：抽象是指在認識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質屬性，抽取普遍的、必然的本質屬性，形成科學概念，從而把握事物的本質和規(guī)律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較，就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質，收括則是指把對象的我們所需要的性質固定下來，并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念，同時也就形成了表示這個概念的詞，

6、于是完成了一個抽象過程。 2敘述概括的含義及其過程。解答：概括是指在認識事物屬性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質的屬性聯(lián)系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通?？煞譃榻?jīng)驗概括和理論概括兩種。經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性的認識。理論概括則是指在經(jīng)驗概括的基礎上，由對種的特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而達到對客觀世界的規(guī)律的認識。在數(shù)學中經(jīng)常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)。 3簡述公理方法歷史發(fā)展的各個階

7、段。解答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階第一個具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4簡述化歸方法并舉例說明。解答：所謂“化歸”，從字面上看，應可理解為轉化和歸結的意思。數(shù)學方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程 04524=+

8、-x x可以令 2x u =，將原方程化為關于 u 的二次方程 0452=+-u u這個方程我們會求其解：11=u 和42=u ，從而得到兩個二次方程：12=x 和42=x 這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的解：11=x ，12-=x ，23=x ，24-=x .這里所用的就是化歸方法。 二、論述題1敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個應用不完全歸納法的例子。 解答：不完全歸納法的一般推理形式是：設S= ，n A A A A 321；由于1A 具有屬性p ，2A 具有屬性p ，n A 具有屬性p ，因此推斷：S 類事物中的每一個對象都可能具有屬性p 。例如：記, 12, 10, 8,

9、 6 =S ，由于633，835，1037，1257，這里3，5，7都是奇素數(shù)，因此推斷：S 中的數(shù)，即大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個奇素數(shù)之和。 2敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？ 解答：類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆?A 具有性質；及，d a a a n 21 B 具有性質；，na a a ''' 21因此，B 也可能具有性質d '。 其中，d d a a a a a a nn ''''與，與，與，與 2211分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應盡量滿足條件： (1A與B 共同(或相似 的屬性盡可能地多些；(2這些

10、共同(或相似 的屬性應是類比對象A 與B 的主要屬性；(3這些共同(或相似 的屬性應包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能是多方面的； (4可遷移的屬性d 應該是和n a a a ， 21屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結論一定正確。 3試比較歸納猜想與類比猜想的異同。解答：歸納猜想與類比猜想的共同點是：他們都是一種猜想，即一種推測性的判斷，都是一種合情推理，其結論具有或然性，或者經(jīng)過邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。 歸納猜想與類比猜想的不同點是：歸納猜想是運用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例歸納猜測”。

11、類比猜想是運用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想類比猜測”。 三、設計題設計運用“猜想”進行數(shù)學教學的一個片斷。解答：以“認識長方形的對邊相等”為內容，設計一個教學片斷。 將教學過程設計成四個層次：讓學生說一說：我們周圍有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學生仔細觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關系？學生經(jīng)過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。教師進一步提出問題：同學們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩條邊的長短相等呢？這時，學生會想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。

12、教師順勢引導學生通過量量、折折的具體操作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個長方形有幾組對邊的問題。鞏固長方形對邊相等的認識。 利用多媒體展示下面的長方形：教師提問：如何填寫括號內的數(shù)字？為什么？ 要求學生會用“因為所以”句式回答。如“因為長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是3厘米，所以它的對邊也是3厘米?！?數(shù)學思想與方法作業(yè)參考解答（3）一、簡答題 1簡述計算和算法的含義。解答：計算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學方法求得未知數(shù)的過程，是一種最基本的數(shù)學思想方法。隨著電子計算機的廣泛應用，計算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾

13、個方面：(1推動了數(shù)學的應用；(2加快了科學的數(shù)學化進程；(3促進了數(shù)學自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個過程。所謂一個算法它實質上是解決一類問題的一個處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作，就能引導到問題的解決。在一個算法中，每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會產(chǎn)生歧義，并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結束。數(shù)學中的許多問題都可以歸結為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會生產(chǎn)和科學技術中也有著重要意義。算法在科學技術中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個方面：(1用于表述科學結論的一種形式；(2作為表

14、述一個復雜過程的方法；(3減輕腦力勞動的一種手段；(4作為研究和解決新問題的手段；(5作為一種基本的數(shù)學工具 三、計算題1用程序框圖表述如下問題的求解過程：在1500中，找出能同時滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整數(shù)。 解：設計算法：(1給出初始值I=9（因為小于等于8的數(shù)顯然不滿足條件）。(2判斷I 的值是否小于或等于500；若是，則進一步判斷I 是否滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2三個條件，若滿足則輸出I ，否則I 遞增1。 (3返回第(2步，直至I 大于500，結束。 畫出程序框圖如下圖8-1： 圖8-12一個星級旅館有150個房間。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)

15、：如果每間客房定價為160元，住房率為55%；如果每間客房定價為140元，住房率為65%；如果每間客房定價為120元，住房率為75%；如果每間客房定價為100元，住房率為85%。欲使每天收入提高，問每間住房的定價應是多少？ 解：(1弄清實際問題加以化簡。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學模型，可作如下假設： 設每間客房的最高定價為160元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設隨著房價的下降，住房率呈線性增長； 設旅館每間客房定價相等。(2建立數(shù)學模型。根據(jù)題意，設y 表示旅館一天的總收入，x 為與160元相比降低的房價。 由假設，可得每降低1元房價，住房率增加為 005. 020%10=因此一天的總收入為

16、005. 055. 0(160(150x x y +-= (由于9001005. 055. 0+x x ，可知。 于是問題歸結為：當900x 時，求y 的最大值點，即求解005. 055. 0(160(150max 900x x y x +-=(3模型求解。將( 左邊除以(150×0.005 得17600502+-=x x y ， 由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響，因此可化為求，y 的最大值點。利用配方法得18225 25(2+-=x y ，易知當x =25時，y 最大，因此可知最大收入對應的住房定價為160元25元=135元相應的住房率為0.55+0.005×25=67.5

17、% 最大收入為 150×135×67.5%=13668.75(元 (4檢驗。容易驗證此收入在已知各種客房定價的對應收入中確實是最大的，這可從下面表格中看出。 如果為了便于管理，那么定價140元也是可以的，因為這時它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價為180元，住房率為45%，其相應收入只有12150元。由此可見假設是合理的。實際上二次函數(shù)在900，之內只有一個極值點。 3已知AOB 及點P ，連接OP ，若P 點不在OB 邊上，且BOP 表示以OB 為始邊、按逆時針方向旋轉到OP 的角，試比較AOB 與BOP 的大小。 解答：可以有多種情形。 情形一 B情形二A數(shù)

18、學思想方法作業(yè)4答案一、簡答題 1、簡述國家數(shù)學課程標準的幾個主要特點。 1、試述小學數(shù)學加強數(shù)學思想方法教學的重要性。 答： 數(shù)學思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶， 是數(shù)學科學的靈魂， 它對發(fā)展學生的數(shù)學能力， 答： 2001 年 6 月教育部推行了試用的九年義務教育階段國家數(shù)學課程標準(實驗稿， 提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在： 充分體現(xiàn)了數(shù)學課程改革與發(fā)展的內涵、特點和具體目標，并呈現(xiàn)下列八個特點： (1掌握數(shù)學思想方法能更好地理解數(shù)學知識。 1） 、把“現(xiàn)實數(shù)學”作為數(shù)學課程的一項內容。即為學生準備的數(shù)學應該是與現(xiàn)實世界密切 (2數(shù)學思想方法對數(shù)學問題的解決有著重要的

19、作用。 聯(lián)系的數(shù)學，且能夠在實際中得到應用的數(shù)學。 (3加強數(shù)學思想方法的教學是以學生發(fā)展為本的必然要求。 2） 、把“數(shù)學化”作為數(shù)學課程的一個目標。學生學習數(shù)學化的過程是將學生的現(xiàn)實數(shù)學進 2、簡述數(shù)學思想方法教學應注意哪些事項？ 一步提高、抽象的過程。 答：數(shù)學思想方法教學應注意以下事項： 3） 、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學”當成是“未完成的數(shù)學” (1把數(shù)學思想方法的教學納入教學目標； 來教，給學生提供“再創(chuàng)造”的機會。 (2重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認真設計數(shù)學思想方法教學的目標； 4） 、把“問題解決”作為數(shù)學教學的一種模式。 數(shù)學課程標準在“學段目標

20、”中的“解 (3做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作； 決問題”方面的具體闡述，實際上提出了“問題解決”的教學模式，即：情境問題探索 (4不同數(shù)學思想方法應有不同的教學要求；(5注意不同數(shù)學思想方法的綜合應用。 結論反思。 5） 、把“數(shù)學思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學生掌握基本的數(shù)學思想方法。 三、分析題 1.利用下列材料，請你設計一個“數(shù)形結合”教學片斷。 6） 、把“數(shù)學活動”作為數(shù)學課程的一個方面。強調學生的數(shù)學活動，注重“向學生提供充 材料：如圖 13-3-18 所示，相鄰四點連成的小正方形面積為 1 平方厘米。(1分別連接各點， 分從事數(shù)學活動的機會” ，幫助他們“獲

21、得廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗” 。 組成下面 12 個圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2求出各圖形外面一周的點子數(shù)、中間的點 7） 、把“合作交流”看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與 子數(shù)以及各圖形的面積， 找出一周的點子數(shù)、 中間的點子數(shù)、 各圖形的面積三者之間的關系。 他人合作” ，并能“與他人交流思維的過程和結果” 。 8） 、把“現(xiàn)代信息技術”作為學生學習數(shù)學的一種工具。 2、簡述數(shù)學思想方法教學的幾個主要階段。 答：學生理解數(shù)學思想方法要經(jīng)歷潛意識階段、明朗化階段、深化理解三個階段。 二、論述題 提示：所設計的教學片斷要求(1對于第一個問題，體現(xiàn)教師引導學生觀察圖

22、形的特點(可以 是獨立思考，也可以是小組討論，然后組織學生交流各自的理解，師生共同(完全歸納概 括出規(guī)律的過程。(2對于第二個問題，要充分展示學生結合“數(shù)”與“形”來考察問題的 思維過程。教師所起的主導作用就是引導學生分析同一圖中我們需要考察哪些“數(shù)”？由于 6 這里涉及到三個方面的數(shù)量關系，教師同時還要進行學法指導，使學生獲得這樣的策略：當 圖形(9的面積：4÷221=3 所要考察的圖形的數(shù)量關系較復雜時，除了靈活運用數(shù)形結合方法外，還可用列表的形式來 圖形(11的面積：8÷221=5 幫助分析。 解答提示：(一、列表分析(也可以只列舉部分圖形分析 圖形 (2 (3 (4

23、 (5 (6 (7 (8 (9 (10 (11 (12 邊上點數(shù) 4 6 8 14 4 6 8 14 4 6 8 14 內部點數(shù) 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 面 1 2 3 6 2 3 4 7 3 4 5 8 積 圖形(12的面積：14÷221=8 (三、總結規(guī)律： 圖形的面積與格點數(shù)滿足關系：面積邊上的點數(shù)÷2內部點數(shù)1 (四、教學設計 一、找圖的排列規(guī)律 師：同學們看圖，找出圖的排列規(guī)律來。 （學生可以討論） 生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒有點，第二行的圖中間有一個點，第三行的圖中間有 兩個點。 師：非常好！ 二、數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù) 師：現(xiàn)在

24、我們來數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)。并將結果填入下列表中。 （師生一起數(shù)） 三、計算面積 師：數(shù)完邊點數(shù)，我們再來計算每個圖的面積。結果也填入表中。 （師生一起計算面積，過 程略） 序號 內點 0 數(shù) 邊點 4 數(shù) 面積 1 2 3 6 2 3 4 7 3 4 5 8 7 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 (二、觀察、歸納：(限于篇幅只列舉部分圖形分析 圖形(1的面積：4÷201=1 圖形(3的面積：8÷201=3 圖形(5的面積：4÷211=2 圖形(8的面積：14÷211=7 6 8 14 4 6 8 14 4 6 8 14 四、尋找每一列三個數(shù)

25、之間的規(guī)律 思不同分法找出分類的標準；(2體現(xiàn)教師引導學生歸納概括“分類方法”的過程，并開展 師：我們根據(jù)這個表，找一找每列三個數(shù)之間的關系。告訴同學們，希望找到相同的規(guī)律。 學法指導，使學生獲得“單一標準下分類方法”的策略。 生：第一列，邊點數(shù)等于面積乘以 4。 師：這個規(guī)律能否用到第二列呢？ 生：不能，因為 6 不等于 2 乘以 4。 生 2：第一列，邊點數(shù)除以 2，減去面積等于 1。 師：好！看看這個規(guī)律能否用到第二列？ 生：能。還能用到第三、第四列。 生 2：老師，這個規(guī)律不能用到第五列。 師：很好！我們看看這個規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。 生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點數(shù)除以 2，加上內點數(shù)，再

26、減去面積等于 1。 師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個規(guī)律。 五、總結 師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結成公式：邊點數(shù)/2內點數(shù)面積1 也可以寫為：邊點數(shù)/2內點數(shù)1面積 2.假定學生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗，在學習分數(shù)的性質時，請你設計一個“分類 法”教學片斷。 解答：材料如下： 2、 假定學生已有了除法商的不變性知識經(jīng)驗， 在學習分數(shù)的性質時， 請你設計一個孕育 “類 比法”教學片斷。 提示：所設計的教學片斷要求(1以小組合作探究的形式，讓學生舉例說明除法的被除數(shù)和 除數(shù)與分數(shù)的分子和分母之間存在什么樣的關系(相似關系？商與分數(shù)又有什么關系(相似 關系？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時

27、擴大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結論又是什么呢？ 通過一系列層層遞進式的問題情境，把學生的思維導向分數(shù)與商相似的特征上來，創(chuàng)設學生 自主探究分數(shù)的性質的全過程；(2教學設計要體現(xiàn)教師引導學生歸納概括“分數(shù)的性質” 的過程，并重視學習方法指導，使學生初步領會用“類比法”獲取新知識的策略。 解答提示：(一、列表類比(教師引導，師生共同描述除法的性質，再由學生通過類比歸納 出分數(shù)的性質 除 法 分 數(shù) 除法的表示：A÷B 除法的性質(一： 若 M0， 則(A×M÷(B×M= A ÷B 除法的性質(二： 若 M0， 則(A÷M÷(B÷M= A ÷B 分數(shù)的表示： A B 分數(shù)的性質(一： 若 M0， 則 A´ M A = B´M B 分數(shù)的性質(二： 若 M0， 則 A¸M A = B¸M B