數(shù)學(xué)思想與方法形成性考核冊(cè)答案

1、1. 分別簡(jiǎn)單敘說(shuō)算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較它們的區(qū)別。解答：算術(shù)解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問(wèn)題的條件列出關(guān)于這些具體數(shù)據(jù)的算式，然后通過(guò)四則運(yùn)算求得算式的結(jié)果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問(wèn)題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。它們的區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù)解題允許未知的量參與運(yùn)算；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關(guān)鍵之處是列方程。 2. 比較決定性現(xiàn)象和隨機(jī)性現(xiàn)象的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單敘說(shuō)確定數(shù)學(xué)的局限。解答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象

2、，一類是決定性現(xiàn)象，另一類是隨機(jī)現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，其結(jié)果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預(yù)知結(jié)果如何。 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對(duì)于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。用這些的分支來(lái)定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機(jī)現(xiàn)象條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來(lái)加以定量描述。同時(shí)確定數(shù)學(xué)也無(wú)法定量地揭示大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所蘊(yùn)涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學(xué)的局

3、限所在。 二、論述題1. 論述社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因。解答：從整個(gè)科學(xué)發(fā)展趨勢(shì)來(lái)看，社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必然的趨勢(shì)，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個(gè)方面：第二，社會(huì)科學(xué)的各分支逐步走向成熟，社會(huì)科學(xué)理論體系的發(fā)展也需要精確化。第三，隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會(huì)歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。 第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，使非常復(fù)雜社會(huì)現(xiàn)象經(jīng)過(guò)量化后可以進(jìn)行數(shù)值處理。2. 論述數(shù)學(xué)的三次危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。 解答：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和理解無(wú)理數(shù)，導(dǎo)致了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)ド钊胩接憣?shí)數(shù)理論，導(dǎo)致了分析基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促使

4、人們研究和分析數(shù)學(xué)悖論，導(dǎo)致了數(shù)理邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭(zhēng)是事物發(fā)展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭(zhēng)的歷史，斗爭(zhēng)的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。 三、分析題 2. 分析九章算術(shù)思想方法的特點(diǎn)，為什么？解答：（1）開(kāi)放的歸納體系從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用問(wèn)題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個(gè)與社會(huì)實(shí)踐緊密聯(lián)系的開(kāi)放體系。 （2）算法化的內(nèi)容九章算術(shù)在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并對(duì)每個(gè)問(wèn)題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問(wèn)題的共同解法。因此，內(nèi)容的算法化是九

5、章算術(shù)思想方法上的特點(diǎn)之一 數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)參考解答（2）1敘述抽象的含義及其過(guò)程。解答：抽象是指在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，舍棄那些個(gè)別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過(guò)程。人們?cè)谒季S中對(duì)對(duì)象的抽象是從對(duì)對(duì)象的比較和區(qū)分開(kāi)始的。所謂比較，就是在思維中確定對(duì)象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下來(lái)，利用它們把對(duì)象分為不同的類。然后再進(jìn)行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對(duì)象的某些性質(zhì)，收括則是指把對(duì)象的我們所需要的性質(zhì)固定下來(lái)，并用詞表達(dá)出來(lái)。這就形成了抽象的概念，同時(shí)也就形成了表示這個(gè)概念的詞，

6、于是完成了一個(gè)抽象過(guò)程。 2敘述概括的含義及其過(guò)程。解答：概括是指在認(rèn)識(shí)事物屬性的過(guò)程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來(lái)，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過(guò)程。概括通常可分為經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括兩種。經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對(duì)個(gè)別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識(shí)由對(duì)個(gè)體特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)個(gè)體所屬的種的特性的認(rèn)識(shí)。理論概括則是指在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，由對(duì)種的特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)種所屬的屬的特性的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的是理論概括。一個(gè)概括過(guò)程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。 3簡(jiǎn)述公理方法歷史發(fā)展的各個(gè)階

7、段。解答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個(gè)階第一個(gè)具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎(chǔ)開(kāi)創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來(lái)的，現(xiàn)代科學(xué)也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4簡(jiǎn)述化歸方法并舉例說(shuō)明。解答：所謂“化歸”，從字面上看，應(yīng)可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學(xué)家們把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終求獲原問(wèn)題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程 04524=+

8、-x x可以令 2x u =，將原方程化為關(guān)于 u 的二次方程 0452=+-u u這個(gè)方程我們會(huì)求其解：11=u 和42=u ，從而得到兩個(gè)二次方程：12=x 和42=x 這也是我們會(huì)求解的方程，解它們便得到原方程的解：11=x ，12-=x ，23=x ，24-=x .這里所用的就是化歸方法。 二、論述題1敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個(gè)應(yīng)用不完全歸納法的例子。 解答：不完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)S= ，n A A A A 321；由于1A 具有屬性p ，2A 具有屬性p ，n A 具有屬性p ，因此推斷：S 類事物中的每一個(gè)對(duì)象都可能具有屬性p 。例如：記, 12, 10, 8,

9、 6 =S ，由于633，835，1037，1257，這里3，5，7都是奇素?cái)?shù)，因此推斷：S 中的數(shù)，即大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。 2敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？ 解答：類比推理通?？捎孟铝行问絹?lái)表示： A 具有性質(zhì)；及，d a a a n 21 B 具有性質(zhì)；，na a a ''' 21因此，B 也可能具有性質(zhì)d '。 其中，d d a a a a a a nn ''''與，與，與，與 2211分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應(yīng)盡量滿足條件： (1A與B 共同(或相似 的屬性盡可能地多些；(2這些

10、共同(或相似 的屬性應(yīng)是類比對(duì)象A 與B 的主要屬性；(3這些共同(或相似 的屬性應(yīng)包括類比對(duì)象的各個(gè)不同方面，并且盡可能是多方面的； (4可遷移的屬性d 應(yīng)該是和n a a a ， 21屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結(jié)論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結(jié)論一定正確。 3試比較歸納猜想與類比猜想的異同。解答：歸納猜想與類比猜想的共同點(diǎn)是：他們都是一種猜想，即一種推測(cè)性的判斷，都是一種合情推理，其結(jié)論具有或然性，或者經(jīng)過(guò)邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。 歸納猜想與類比猜想的不同點(diǎn)是：歸納猜想是運(yùn)用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例歸納猜測(cè)”。

11、類比猜想是運(yùn)用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想類比猜測(cè)”。 三、設(shè)計(jì)題設(shè)計(jì)運(yùn)用“猜想”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)片斷。解答：以“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等”為內(nèi)容，設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)片斷。 將教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)成四個(gè)層次：讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：我們周圍有哪些長(zhǎng)方形物體？學(xué)生會(huì)舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學(xué)生仔細(xì)觀察：看一看、想一想，這些長(zhǎng)方形的四條邊的長(zhǎng)短有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察后，會(huì)猜想：長(zhǎng)方形相對(duì)的兩條邊長(zhǎng)度相等。教師進(jìn)一步提出問(wèn)題：同學(xué)們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵(lì)！我們?cè)鯓硬拍茯?yàn)證長(zhǎng)方形相對(duì)的兩條邊的長(zhǎng)短相等呢？這時(shí)，學(xué)生會(huì)想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對(duì)折等方法。

12、教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)量量、折折的具體操作，確信長(zhǎng)方形相對(duì)的兩條邊長(zhǎng)短相等。教師板書：長(zhǎng)方形對(duì)邊相等。接著，師生討論長(zhǎng)方形“對(duì)邊”的含義，以及一個(gè)長(zhǎng)方形有幾組對(duì)邊的問(wèn)題。鞏固長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的認(rèn)識(shí)。 利用多媒體展示下面的長(zhǎng)方形：教師提問(wèn)：如何填寫括號(hào)內(nèi)的數(shù)字？為什么？ 要求學(xué)生會(huì)用“因?yàn)樗浴本涫交卮稹Ｈ纭耙驗(yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，已知長(zhǎng)方形的一條邊是3厘米，所以它的對(duì)邊也是3厘米。” 數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)參考解答（3）一、簡(jiǎn)答題 1簡(jiǎn)述計(jì)算和算法的含義。解答：計(jì)算是指根據(jù)已知數(shù)量通過(guò)數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)的過(guò)程，是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾

13、個(gè)方面：(1推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用；(2加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化進(jìn)程；(3促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個(gè)過(guò)程。所謂一個(gè)算法它實(shí)質(zhì)上是解決一類問(wèn)題的一個(gè)處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進(jìn)行操作，就能引導(dǎo)到問(wèn)題的解決。在一個(gè)算法中，每一個(gè)步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會(huì)產(chǎn)生歧義，并且一個(gè)算法在按有限的步驟解決問(wèn)題后必須結(jié)束。數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無(wú)算法的問(wèn)題，因此，算法對(duì)數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學(xué)技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：(1用于表述科學(xué)結(jié)論的一種形式；(2作為表

14、述一個(gè)復(fù)雜過(guò)程的方法；(3減輕腦力勞動(dòng)的一種手段；(4作為研究和解決新問(wèn)題的手段；(5作為一種基本的數(shù)學(xué)工具 三、計(jì)算題1用程序框圖表述如下問(wèn)題的求解過(guò)程：在1500中，找出能同時(shí)滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整數(shù)。 解：設(shè)計(jì)算法：(1給出初始值I=9（因?yàn)樾∮诘扔?的數(shù)顯然不滿足條件）。(2判斷I 的值是否小于或等于500；若是，則進(jìn)一步判斷I 是否滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2三個(gè)條件，若滿足則輸出I ，否則I 遞增1。 (3返回第(2步，直至I 大于500，結(jié)束。 畫出程序框圖如下圖8-1： 圖8-12一個(gè)星級(jí)旅館有150個(gè)房間。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)

15、：如果每間客房定價(jià)為160元，住房率為55%；如果每間客房定價(jià)為140元，住房率為65%；如果每間客房定價(jià)為120元，住房率為75%；如果每間客房定價(jià)為100元，住房率為85%。欲使每天收入提高，問(wèn)每間住房的定價(jià)應(yīng)是多少？ 解：(1弄清實(shí)際問(wèn)題加以化簡(jiǎn)。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型，可作如下假設(shè)： 設(shè)每間客房的最高定價(jià)為160元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)； 設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。(2建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意，設(shè)y 表示旅館一天的總收入，x 為與160元相比降低的房?jī)r(jià)。 由假設(shè)，可得每降低1元房?jī)r(jià)，住房率增加為 005. 020%10=因此一天的總收入為

16、005. 055. 0(160(150x x y +-= (由于9001005. 055. 0+x x ，可知。 于是問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)900x 時(shí)，求y 的最大值點(diǎn)，即求解005. 055. 0(160(150max 900x x y x +-=(3模型求解。將( 左邊除以(150×0.005 得17600502+-=x x y ， 由于常數(shù)因子對(duì)求最大值沒(méi)有影響，因此可化為求，y 的最大值點(diǎn)。利用配方法得18225 25(2+-=x y ，易知當(dāng)x =25時(shí)，y 最大，因此可知最大收入對(duì)應(yīng)的住房定價(jià)為160元25元=135元相應(yīng)的住房率為0.55+0.005×25=67.5

17、% 最大收入為 150×135×67.5%=13668.75(元 (4檢驗(yàn)。容易驗(yàn)證此收入在已知各種客房定價(jià)的對(duì)應(yīng)收入中確實(shí)是最大的，這可從下面表格中看出。 如果為了便于管理，那么定價(jià)140元也是可以的，因?yàn)檫@時(shí)它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價(jià)為180元，住房率為45%，其相應(yīng)收入只有12150元。由此可見(jiàn)假設(shè)是合理的。實(shí)際上二次函數(shù)在900，之內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)。 3已知AOB 及點(diǎn)P ，連接OP ，若P 點(diǎn)不在OB 邊上，且BOP 表示以O(shè)B 為始邊、按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OP 的角，試比較AOB 與BOP 的大小。 解答：可以有多種情形。 情形一 B情形二A數(shù)

18、學(xué)思想方法作業(yè)4答案一、簡(jiǎn)答題 1、簡(jiǎn)述國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)主要特點(diǎn)。 1、試述小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性。 答： 數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系知識(shí)與能力的紐帶， 是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂， 它對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力， 答： 2001 年 6 月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿， 提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在： 充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點(diǎn)和具體目標(biāo)，并呈現(xiàn)下列八個(gè)特點(diǎn)： (1掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。 1） 、把“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)世界密切 (2數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有著重要的

19、作用。 聯(lián)系的數(shù)學(xué)，且能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。 (3加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然要求。 2） 、把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過(guò)程是將學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)進(jìn) 2、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？ 一步提高、抽象的過(guò)程。 答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意以下事項(xiàng)： 3） 、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學(xué)”當(dāng)成是“未完成的數(shù)學(xué)” (1把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)； 來(lái)教，給學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)。 (2重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)； 4） 、把“問(wèn)題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)

20、”中的“解 (3做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作； 決問(wèn)題”方面的具體闡述，實(shí)際上提出了“問(wèn)題解決”的教學(xué)模式，即：情境問(wèn)題探索 (4不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求；(5注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。 結(jié)論反思。 5） 、把“數(shù)學(xué)思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。 三、分析題 1.利用下列材料，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)片斷。 6） 、把“數(shù)學(xué)活動(dòng)”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)方面。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重“向?qū)W生提供充 材料：如圖 13-3-18 所示，相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為 1 平方厘米。(1分別連接各點(diǎn)， 分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)” ，幫助他們“獲

21、得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)” 。 組成下面 12 個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2求出各圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn) 7） 、把“合作交流”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中“學(xué)會(huì)與 子數(shù)以及各圖形的面積， 找出一周的點(diǎn)子數(shù)、 中間的點(diǎn)子數(shù)、 各圖形的面積三者之間的關(guān)系。 他人合作” ，并能“與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果” 。 8） 、把“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。 2、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個(gè)主要階段。 答：學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法要經(jīng)歷潛意識(shí)階段、明朗化階段、深化理解三個(gè)階段。 二、論述題 提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖

22、形的特點(diǎn)(可以 是獨(dú)立思考，也可以是小組討論，然后組織學(xué)生交流各自的理解，師生共同(完全歸納概 括出規(guī)律的過(guò)程。(2對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，要充分展示學(xué)生結(jié)合“數(shù)”與“形”來(lái)考察問(wèn)題的 思維過(guò)程。教師所起的主導(dǎo)作用就是引導(dǎo)學(xué)生分析同一圖中我們需要考察哪些“數(shù)”？由于 6 這里涉及到三個(gè)方面的數(shù)量關(guān)系，教師同時(shí)還要進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生獲得這樣的策略：當(dāng) 圖形(9的面積：4÷221=3 所要考察的圖形的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，除了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法外，還可用列表的形式來(lái) 圖形(11的面積：8÷221=5 幫助分析。 解答提示：(一、列表分析(也可以只列舉部分圖形分析 圖形 (2 (3 (4

23、 (5 (6 (7 (8 (9 (10 (11 (12 邊上點(diǎn)數(shù) 4 6 8 14 4 6 8 14 4 6 8 14 內(nèi)部點(diǎn)數(shù) 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 面 1 2 3 6 2 3 4 7 3 4 5 8 積 圖形(12的面積：14÷221=8 (三、總結(jié)規(guī)律： 圖形的面積與格點(diǎn)數(shù)滿足關(guān)系：面積邊上的點(diǎn)數(shù)÷2內(nèi)部點(diǎn)數(shù)1 (四、教學(xué)設(shè)計(jì) 一、找圖的排列規(guī)律 師：同學(xué)們看圖，找出圖的排列規(guī)律來(lái)。 （學(xué)生可以討論） 生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒(méi)有點(diǎn)，第二行的圖中間有一個(gè)點(diǎn)，第三行的圖中間有 兩個(gè)點(diǎn)。 師：非常好！ 二、數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù) 師：現(xiàn)在

24、我們來(lái)數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)。并將結(jié)果填入下列表中。 （師生一起數(shù)） 三、計(jì)算面積 師：數(shù)完邊點(diǎn)數(shù)，我們?cè)賮?lái)計(jì)算每個(gè)圖的面積。結(jié)果也填入表中。 （師生一起計(jì)算面積，過(guò) 程略） 序號(hào) 內(nèi)點(diǎn) 0 數(shù) 邊點(diǎn) 4 數(shù) 面積 1 2 3 6 2 3 4 7 3 4 5 8 7 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 (二、觀察、歸納：(限于篇幅只列舉部分圖形分析 圖形(1的面積：4÷201=1 圖形(3的面積：8÷201=3 圖形(5的面積：4÷211=2 圖形(8的面積：14÷211=7 6 8 14 4 6 8 14 4 6 8 14 四、尋找每一列三個(gè)數(shù)

25、之間的規(guī)律 思不同分法找出分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分類方法”的過(guò)程，并開(kāi)展 師：我們根據(jù)這個(gè)表，找一找每列三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。告訴同學(xué)們，希望找到相同的規(guī)律。 學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生獲得“單一標(biāo)準(zhǔn)下分類方法”的策略。 生：第一列，邊點(diǎn)數(shù)等于面積乘以 4。 師：這個(gè)規(guī)律能否用到第二列呢？ 生：不能，因?yàn)?6 不等于 2 乘以 4。 生 2：第一列，邊點(diǎn)數(shù)除以 2，減去面積等于 1。 師：好！看看這個(gè)規(guī)律能否用到第二列？ 生：能。還能用到第三、第四列。 生 2：老師，這個(gè)規(guī)律不能用到第五列。 師：很好！我們看看這個(gè)規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。 生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點(diǎn)數(shù)除以 2，加上內(nèi)點(diǎn)數(shù)，再

26、減去面積等于 1。 師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個(gè)規(guī)律。 五、總結(jié) 師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點(diǎn)數(shù)/2內(nèi)點(diǎn)數(shù)面積1 也可以寫為：邊點(diǎn)數(shù)/2內(nèi)點(diǎn)數(shù)1面積 2.假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)“分類 法”教學(xué)片斷。 解答：材料如下： 2、 假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識(shí)經(jīng)驗(yàn)， 在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)， 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)孕育 “類 比法”教學(xué)片斷。 提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1以小組合作探究的形式，讓學(xué)生舉例說(shuō)明除法的被除數(shù)和 除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系(相似 關(guān)系？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)

27、擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？ 通過(guò)一系列層層遞進(jìn)式的問(wèn)題情境，把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來(lái)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生 自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過(guò)程；(2教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)” 的過(guò)程，并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用“類比法”獲取新知識(shí)的策略。 解答提示：(一、列表類比(教師引導(dǎo)，師生共同描述除法的性質(zhì)，再由學(xué)生通過(guò)類比歸納 出分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 除 法 分 數(shù) 除法的表示：A÷B 除法的性質(zhì)(一： 若 M0， 則(A×M÷(B×M= A ÷B 除法的性質(zhì)(二： 若 M0， 則(A÷M÷(B÷M= A ÷B 分?jǐn)?shù)的表示： A B 分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一： 若 M0， 則 A´ M A = B´M B 分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二： 若 M0， 則 A¸M A = B¸M B