數(shù)形結合法巧解函數(shù)問題

1、數(shù)形結合法巧解函數(shù)問題湖南祁東育賢中學 周友良 421600衡陽縣三中 歐陽志輝數(shù)形結合是數(shù)學中的一種非常重要的思想方法。華羅庚曾說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。有時僅從“數(shù)”中觀察很難入手，但如果把數(shù)量關系轉化為圖形的性質(zhì)來確定，借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)量之間的聯(lián)系，往往會產(chǎn)生“春雨斷橋人不渡，小舟撐出柳蔭來”的美妙感覺。一借助點到直線的距離公式模型例1、求函數(shù)的最值。略解 原函數(shù)改造為,將其中理解為動點至直線的距離即可，不難得出動點 的軌跡為單位圓的上半部分，如圖2,從而易得函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，因此求得當時，； 當時，。 二借助兩點之間的距

2、離公式模型 例2、求的最小值。y(0,-2)xP(x,0)A(1,2)B(0,2) 解：先將函數(shù)的表達式進行有目的的轉化： 設點A(1,2),B(0,2),P(x,0),點關于x軸的對稱點為(0,-2),則，即，所以f(x)的最小值是注意：把函數(shù)轉變成距離和,利用對稱點.根據(jù)形(三角形邊邊關系)解決數(shù)(求函數(shù)最大(小)值)的問題,這種“數(shù)”轉“形”的思想是解決A(0,1)P(x,x2)B(3,2)解析幾何的主要方法之一.例3、求函數(shù)的最大值 解：先將函數(shù)的表達式進行有目的的轉化：，它的幾何意義是拋物線上的點到點A(3,2)與B（0，1）的距離之差。如圖，連接AB并延長交拋物線于P，由三角形性質(zhì)

3、可知：三利用斜率模型。 例4、已知實數(shù)x,y滿足 ，求 的最小值。分析：如應用純代數(shù)知識進行求解，令 方程聯(lián)立進行消元，得：，再根據(jù)x的范圍應用根的分布得：yx0(5,0)那計算量將是非常大。如將看成是過橢圓上的點（x,y）,(5,0)的直線斜率尤如“柳暗花明又一村”解：由得，看成是過橢圓上的點（x,y）,(5,0)的直線斜率設為k，故可以聯(lián)立 得令得，故本題也可以改成：求的值域。分析：此題的一般實質(zhì)是一個二元方程，求函數(shù)值域，實質(zhì)就是要使方程有解，求y的取值范圍，因此可轉化為方程問題解決。主要的步驟有：（1）把函數(shù)化為三角函數(shù)（2）利用正弦函數(shù)的有界性得出關于y的不等式（3）解得不等式的值域

4、為。如果借助圖象解決主要的步驟是，其幾何意義為過與（5，0）兩點的斜率。點是在上的點，其解題過程如上。例5、求函數(shù)的最值。略解 令vouAM1M2（*），構造橢圓曲線，則表示橢圓（*）（第一象限部分，包括）上一點與點兩點連線的斜率。由圖4可知， 圖4的斜率范圍是：，即當時，當時。三借助圖象和導函數(shù)知識分析高次函數(shù)例6.設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）12xyO12xyO12xyO12xyO12xyOABCD分析：由導函數(shù)的圖象知導函數(shù)在x=0和2時的導函數(shù) 值為0，故原來的函數(shù)在x=0和2時取得極值。當時，導函數(shù)值為正（或0），當時，導函數(shù)值為負,所以當時函數(shù)為增函

5、數(shù) ，當時，函數(shù)為減函數(shù)，故選項為C。圖23例7.已知函數(shù)f（x）ax3bx2cxd的圖象如圖23，則（ ）A.b（，0） B.b（0，1）C.b（1，2） D.b（2，）答案：A解法一：分別將x0，x1，x2代入f（x）ax3bx2cxd中，求得d0，ab，cb，f（x）當x（,0）時，f（x）0，又0，b0x（0，1）時，f（x）0，又0，b0x（1,2）時，f（x）0，又0，b0x（2）時，f（x）0，又0，b0故b（0）.解法二：由此題的函數(shù)圖象可以聯(lián)想到解高次不等式時所用的圖象法a0，x1，x2，x3為圖象與x軸的交點x12，x21，x30，ax3bx2cx+d=a（xx1）（xx2）（xx3）a（x2）（x1）（x0）f（x）=ax33ax22ax，又a0，b3a，b0選A解法三：函數(shù)f（x）的圖象過原點，即f（0）=0得d=0又因f（x）的圖象