數(shù)形結(jié)合法巧解函數(shù)問(wèn)題

1、數(shù)形結(jié)合法巧解函數(shù)問(wèn)題湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600衡陽(yáng)縣三中 歐陽(yáng)志輝數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種非常重要的思想方法。華羅庚曾說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。有時(shí)僅從“數(shù)”中觀察很難入手，但如果把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來(lái)確定，借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)量之間的聯(lián)系，往往會(huì)產(chǎn)生“春雨斷橋人不渡，小舟撐出柳蔭來(lái)”的美妙感覺(jué)。一借助點(diǎn)到直線的距離公式模型例1、求函數(shù)的最值。略解 原函數(shù)改造為,將其中理解為動(dòng)點(diǎn)至直線的距離即可，不難得出動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為單位圓的上半部分，如圖2,從而易得函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，因此求得當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。 二借助兩點(diǎn)之間的距

2、離公式模型 例2、求的最小值。y(0,-2)xP(x,0)A(1,2)B(0,2) 解：先將函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行有目的的轉(zhuǎn)化： 設(shè)點(diǎn)A(1,2),B(0,2),P(x,0),點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0,-2),則，即，所以f(x)的最小值是注意：把函數(shù)轉(zhuǎn)變成距離和,利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn).根據(jù)形(三角形邊邊關(guān)系)解決數(shù)(求函數(shù)最大(小)值)的問(wèn)題,這種“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”的思想是解決A(0,1)P(x,x2)B(3,2)解析幾何的主要方法之一.例3、求函數(shù)的最大值 解：先將函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行有目的的轉(zhuǎn)化：，它的幾何意義是拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A(3,2)與B（0，1）的距離之差。如圖，連接AB并延長(zhǎng)交拋物線于P，由三角形性質(zhì)

3、可知：三利用斜率模型。 例4、已知實(shí)數(shù)x,y滿足 ，求 的最小值。分析：如應(yīng)用純代數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，令 方程聯(lián)立進(jìn)行消元，得：，再根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得：yx0(5,0)那計(jì)算量將是非常大。如將看成是過(guò)橢圓上的點(diǎn)（x,y）,(5,0)的直線斜率尤如“柳暗花明又一村”解：由得，看成是過(guò)橢圓上的點(diǎn)（x,y）,(5,0)的直線斜率設(shè)為k，故可以聯(lián)立 得令得，故本題也可以改成：求的值域。分析：此題的一般實(shí)質(zhì)是一個(gè)二元方程，求函數(shù)值域，實(shí)質(zhì)就是要使方程有解，求y的取值范圍，因此可轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題解決。主要的步驟有：（1）把函數(shù)化為三角函數(shù)（2）利用正弦函數(shù)的有界性得出關(guān)于y的不等式（3）解得不等式的值域

4、為。如果借助圖象解決主要的步驟是，其幾何意義為過(guò)與（5，0）兩點(diǎn)的斜率。點(diǎn)是在上的點(diǎn)，其解題過(guò)程如上。例5、求函數(shù)的最值。略解 令vouAM1M2（*），構(gòu)造橢圓曲線，則表示橢圓（*）（第一象限部分，包括）上一點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)連線的斜率。由圖4可知， 圖4的斜率范圍是：，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。三借助圖象和導(dǎo)函數(shù)知識(shí)分析高次函數(shù)例6.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）12xyO12xyO12xyO12xyO12xyOABCD分析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象知導(dǎo)函數(shù)在x=0和2時(shí)的導(dǎo)函數(shù) 值為0，故原來(lái)的函數(shù)在x=0和2時(shí)取得極值。當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值為正（或0），當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值為負(fù),所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函

5、數(shù) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故選項(xiàng)為C。圖23例7.已知函數(shù)f（x）ax3bx2cxd的圖象如圖23，則（ ）A.b（，0） B.b（0，1）C.b（1，2） D.b（2，）答案：A解法一：分別將x0，x1，x2代入f（x）ax3bx2cxd中，求得d0，ab，cb，f（x）當(dāng)x（,0）時(shí)，f（x）0，又0，b0x（0，1）時(shí)，f（x）0，又0，b0x（1,2）時(shí)，f（x）0，又0，b0x（2）時(shí)，f（x）0，又0，b0故b（0）.解法二：由此題的函數(shù)圖象可以聯(lián)想到解高次不等式時(shí)所用的圖象法a0，x1，x2，x3為圖象與x軸的交點(diǎn)x12，x21，x30，ax3bx2cx+d=a（xx1）（xx2）（xx3）a（x2）（x1）（x0）f（x）=ax33ax22ax，又a0，b3a，b0選A解法三：函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，即f（0）=0得d=0又因f（x）的圖象