恒成立存在性問題

1、知識(shí)點(diǎn)梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化:2、能成立問題的轉(zhuǎn)化:3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化:另一轉(zhuǎn)化方法： 假設(shè)xD,f(x)在D上恰成立,那么等價(jià)于4、5、6、7、專題恒成立存在性問題恒成立a能成立a在M上恰成立xmax；xmin；fx恒成立fx能成立的解集為MA在D上恰成立,等價(jià)于f(x)在D上的最小值f(x)在D上的最大值x1a,bx1a,bx2X2xixifxminfxmax在M上恒成立在CRM上恒成立fmin(x)D,f(x)gx2gx2fminfmaxgmingmax8、假設(shè)不等式上方；9、假設(shè)不等式下方；題型一、常見方法函數(shù)f(x)1)2)對(duì)任意對(duì)任意1,2,x12、設(shè)函數(shù)h(x),存在x1,存

2、在為x在區(qū)間x在區(qū)間2ax1都有f(x)a,b,存在x2a,b,存在x2c,dc,dD上恒成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上恒成立,那么等價(jià)于在區(qū)間,g(x)a,其中a0,x,使得fx1,使得fx1D上函數(shù)yD上函數(shù)yg(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；x2x21,2,x22,4,都有f(x1)g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;maxgminminxgmax和圖象在函數(shù)和圖象在函數(shù)xgx圖象gx圖象a.1.一1一xb,對(duì)任意a一,2,都有h(x)10在x一,1恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.x243、兩函數(shù)f(x)21x,g(x)-m,對(duì)任意x0,2,存在x21,2,使得f(x1)gx2,那么實(shí)數(shù)m的

3、取值范圍為題型二、主參換位法某個(gè)參數(shù)的范圍,整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)1、對(duì)于滿足p2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2px1p2x恒成立的x的取值范圍.2、函數(shù)fxlnexa a為常數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)gxfxsinx是區(qū)間1,1上的減函數(shù),I求a的值；II假設(shè)gxt2t1在x1,1上恒成立,求t的取值范圍；題型三、別離參數(shù)法欲求某個(gè)參數(shù)的范圍,就把這個(gè)參數(shù)別離出來1、當(dāng)x1,2時(shí),不等式x2mx40恒成立,那么m的取值范圍是題型四、數(shù)形結(jié)合恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系零點(diǎn)、根的分布法1、假設(shè)對(duì)任意xR,不等式|x|ax恒成立,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是2、函數(shù)fxx22kx2,在x1恒有fxk,求

4、實(shí)數(shù)k的取值范圍.題型五、不等式能成立問題有解、存在性的處理方法假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上fxm衿A；max假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fx1、存在實(shí)數(shù)x,使得不等式lx3lx1B成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上的fxmin2a3a有解,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別恒成立和有解是有明顯區(qū)別的,以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考,甄別差異,恰當(dāng)使用,等價(jià)轉(zhuǎn)化,切不可混為一體.不等式fxM對(duì)xI時(shí)恒成立fmax(x)M?,xI.即fx的上界小于或等于M；不等式fxM對(duì)xI時(shí)有解-一1,1O2、函數(shù)fxlnx-ax222xa0存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍

5、不等式fxM對(duì)xI時(shí)恒成立不等式fxMfmax(x)M,xI.o或fx的上界大于或等于M；fmin(x)M?,xI.或fx的下界小于或等于M；fmin(x)M?,xI.即fx的下界大于或等于M；5、兩函數(shù)fx7x228xc,gx2x34x240 x.(1)對(duì)任意x3,3,都有fxgx)成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(2)存在x3,3,使fxgx成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)對(duì)任意XI,x23,3,都有fXIgx2,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(4)存在XI,x23,3,都有fXIgx2,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；課后作業(yè):3、不等式sin2x4sinx1a4、不等式axJx4x在x6、設(shè)函數(shù)f(x)1x32a

6、x233a2xb(01,bR).(i)求函fx的單調(diào)區(qū)間和極值;1、設(shè)a1,假設(shè)對(duì)于任意的xa,2a,都有ya,a2滿足方程logaxlogay3,這日a的取值集合為(A) a|1a2xy2、 假設(shè)任意滿足xyy3(B) a|a2(C)a|2a3(D)2,3050的實(shí)數(shù)x,y,不等式a(x2y2)(xy)2恒成立,那么實(shí)數(shù)a的最大值是00有解,那么a的取值范圍是0,3內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(n)假設(shè)對(duì)任意的xa1,a2,不等式a成立,求a的取值范圍.(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；2x(2)假設(shè)x0,證實(shí)：f(x)X2；(3)假設(shè)不等式-x2fx2m22bm3時(shí),x8、設(shè)fxpxq2

7、lnx,且feqep2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))xe(I)求p與q的關(guān)系；(II)假設(shè)fx在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍；2e(III)設(shè)gx,假設(shè)在1,e上至少存在一點(diǎn)xO,使得fxgx0成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍xy2f1OBlnx1OC0.7、AB、C是直線上的三點(diǎn),向量OAOB,OCf足：OA1,1及b1,1都恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.取值范圍是0a.、11b,對(duì)任意a一,2,都有h(x)10在x,1恒成立,求實(shí)數(shù)24分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù),再處理另一個(gè)參數(shù).以此題為例,實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決.數(shù)m的取值范圍為211不大于f(x)x在0,2上的最小值0,

8、既一m0,.m一44參考答案：題型一、常見方法1、函數(shù)1)對(duì)任意x2)對(duì)任意x1【分析：】f(x)x22ax1,g(x)a,其中a0,x0.x1,2,都有f(x)g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；1,2,x22,4,都有f(x1)g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;1)思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)g(x)2)思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)0恒成立,在通過別離變量,創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決.f(x)和g(x)分別求最值,即只需滿足fUx)gmaB)即可.簡解：(1)由x22ax3xx-(x)2,求導(dǎo),2x1(x)a0 x2x4a-：2xx21nr3成立,只需滿足(x)x,x的最小值大于a即可.對(duì)

9、2x210,故(x)在x1,2是增函數(shù),m(x)2,一所以a的32、設(shè)函數(shù)h(x)b的取值范圍.方法1：化歸最值,h(x)10hmax(x)10方法b10方法3:變更主元,(ax1一axx)或a(1010簡解：方法1:對(duì)h(x)g(x)xb求導(dǎo),h(x)(xa)(xa)x1h(一)與h(1)中的較大10h(1)1014a1b1041ab1039494a1.,對(duì)于任忌a一,2,得b的取值氾圍是b2f(x)x2g(x)xm,對(duì)任意x10,2,存在x21,2解析：對(duì)任意x10,2,存在x21,2,使得f(x1)gx2等價(jià)于g(x)2:變量別離,12,21.由此可知,h(x)在,1上的最大值為43、兩

10、函數(shù),使得f(x1)gx2,那么實(shí)八,1m在1,2上的取小值一m4題型二、主參換位法(某個(gè)參數(shù)的范圍,整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))1、對(duì)于滿足p2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2px解：不等式即x1px22x10fpxf20 x24x30f20 x210 x蟻x1x1或x3x1或x11p2x恒成立的x的取值范圍.21px2x1,那么fp在-2,2上恒大于0,故有:2、函數(shù)fxx22kx2,在x1恒有fxk,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析：為了使fxk在x1,恒成立,構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)Fxfxk,那么把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1,時(shí)恒大于等于0的問題,再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論,使問題得到圓滿解決

11、.解：令Fxfxkx22kx2k,那么Fx0對(duì)x1,恒成立,而Fx是開口向上的拋物線.當(dāng)圖象與x軸無交點(diǎn)滿足.,即4k222k0,解得2k1.當(dāng)圖象與x軸有交點(diǎn),且在x1,時(shí)Fx0,那么由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖象可得：,一a0,一一,一,、恒成立,那么有0.假設(shè)是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題,還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解.t2a的取值范圍是1,即F10解得3k2k2yax2bxca0小于02、函數(shù)fxlnexaa為常數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)gxfxsinx是區(qū)間1,1上的減函數(shù),I求a的值；II假設(shè)gxt2t1在x1,1上恒成立,求t的取值范圍；n分析：在不等式

12、中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及t,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量,另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將視作自變量,那么上述問題即可轉(zhuǎn)化為在1內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于等于.恒成立的問題.n略解:由(I)知：f(x)x,g(x)xsinx,Qg(x)在立,1,g(x)maxg(1)sin1,只需由上述結(jié)論：可令f(t1)t2sin110(11上單調(diào)遞減,g(x)2sin1tt1,(t1)1),那么t210t1tsin11恒成立,t1.題型三、別離參數(shù)法欲求某個(gè)參數(shù)的范圍,就把這個(gè)參數(shù)別離出來1、當(dāng)x1,2時(shí),不等式x2mx40恒成立,那么m的取值范圍是2解析：當(dāng)x1,2時(shí),由x2mx40得mx4.m5.x題型四、數(shù)形結(jié)

13、合恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系零點(diǎn)、根的分布法1、假設(shè)對(duì)任意xR,不等式|x|ax恒成立,那么實(shí)數(shù)解析：對(duì)xR,不等式|x|ax恒成立、那么由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1a1a1.2,故由知3k1.小結(jié)：假設(shè)二次函數(shù)yax2bxca0大于0恒成立,那么有a00,同理,右二次函數(shù)ttcosx0cosx在1,1上恒成t2sin110(其中1)恒成立,題型五、不等式能成立問題有解、存在性的處理方法假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上fxA；max假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxB成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上的fxminB.1、存在實(shí)數(shù)x,使得不等式xx1a23a有解,那么實(shí)數(shù)a的

14、取值范圍為解：設(shè)fx|x3|x1,由fxa23a有解,2a3afxmin,x14,1-a23a4,解得a4或a1.2、函數(shù)fx12lnx-ax22xa0存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍2解:由于函數(shù)f存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以fx-xaxax22x1-00,有解.即a12x2x2-xx210,能成立,設(shè)ux1得,uminx1.于1,由題設(shè)a0,所以a的取值范圍是1,00,小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的,以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考,甄別差異,恰當(dāng)使用,等價(jià)轉(zhuǎn)化,切不可混為一體.不等式不等式不等式不等式課后作業(yè):對(duì)x對(duì)x對(duì)x對(duì)x時(shí)恒成立時(shí)有解時(shí)恒成立時(shí)有解fmax(X)M?,fmin

15、(X)M?,Xfmin(X)M?,fmax(X)M,:1、設(shè)a1,假設(shè)對(duì)于任意的(A)a|1a2xa,2a,都有y(B)a|a2答案:B.解析:由方程/日a得2a2a萬2a2.2、假設(shè)任意滿足、25答案：250解析:132a,a2滿足方程的上界小于或等于M；的下界小于或等于M；的下界大于或等于M； 的上界大于或等于M；logaxlogay3,這日a的取值集合為()(C)a|2a33(D)2,3alogaXlogay3可得ya,對(duì)于任意的xa,2a,可得x050的實(shí)數(shù)0由不等式a(x2x,y,不等式a(x2y2)一-2.(xy)恒成立,那么實(shí)數(shù)y2),、2La(xy)可得3、不等式sin2x4s

16、inx1a解：原不等式有解asin2x0有解,那么4sinx1a的取值范圍是2sinx2sinx1有解,而sinx4、不等式axJx4x在x0,3內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：畫出兩個(gè)曲數(shù)ax和yJx40,3上的圖象如圖知當(dāng)3a2,依題意x的最大值是當(dāng)3x3a,x35、兩函數(shù)(1)對(duì)任意x(2)存在x0,3時(shí)總有axJx4x所以x3,327x228xc,都有fx使fxg32gx2x4x,3a340 xo3min22,所以a2ogx成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)對(duì)任意XI,X2(4)存在XI,X2解析：(1)設(shè)h3,3,都有3,3,者B有fXIXIgX2gX232

17、2x3x,求實(shí)數(shù)c的取值范圍;2hx6x6x126x在2,3單調(diào)遞增,且hc45,hx極大值,求實(shí)數(shù)c的取值范圍；12xc,問題轉(zhuǎn)化為x1或2.由導(dǎo)數(shù)知識(shí),可知3,3時(shí),hx在c20hx3,10恒成立,故單調(diào)遞增,在hmin1,2x0.令單調(diào)遞減,由c(2)(1)(3)450,得c45o據(jù)題意：存在x知hmaxXc70,于是得x成立,即為：hxgx3,3有解,它與(1)問雖然都是不等式恒成立問題,但卻有很大的區(qū)別,對(duì)任意XI,X2fXIgX2成立,不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同,Xi,X2的取值在3,3上具有任意性,要使不等式恒成立的充要條件是：2fmax(x)gmin(x)?x3?3o.f

18、x7x2c28,x3,3fXmaxf3147c,gx6x28x4023x10 x2,gx0在區(qū)間3,3上只有一個(gè)解x2.gxming248,147c48,即c195.(4)存在Xi,X23,3,都有fXigX2,等價(jià)于證“gmaxX2,由(3)得口訪Xf2c28,gmaxx2g3102,c28102c130點(diǎn)評(píng)：此題的三個(gè)小題,外表形式非常相似,究其本質(zhì)卻大相徑庭,應(yīng)認(rèn)真審題,深入思考,多加練習(xí),準(zhǔn)確使用其成立的充要條件.1Q996、設(shè)函數(shù)f(x)-x2ax3axb(0a1,bR).3(i)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)假設(shè)對(duì)任意的xa1,a2,不等式fxa成立,求a的取值范圍.解：(I)

19、f(x)x24ax3a2(1分)令f(x)0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)令f(x)0,得f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一,a)和(3a,+)(4分)3,當(dāng)x=a時(shí),f(x)極小值=-ab；4當(dāng)x=3a時(shí),f(x)極小值=b.(6分)(n)由|f(x)|a,得一aWx2+4ax3a2Wa.(7分)0a2a.1-f(x)x24ax3a2在a1,a2上是減函數(shù).(9分),f(x)maxf(a1)2a1.f(x)minf(a2)4a4.于是,對(duì)任意Xa1,a2,不等式恒成立,等價(jià)于a4a4,在4,解得-a1.a2a1.5又0a1,.4a1a.57、A、B、C是直線上的三點(diǎn),向量OAOB,OCl

20、足：OAy2f1OBInx(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；2x(2)假設(shè)x0,證實(shí)：f(x)x+2；12一22(3)右不等式,xfxm2bm3時(shí),x1,1及b1,1都恒成立,求實(shí)數(shù)-一一_7_1_一7解：(1),.OA-y+2f/(1)OB+ln(x+1)0C=0,.OA=y+2f/(1)OBln(x+1)OC由于A、BC三點(diǎn)共線即y+2f/(1)+ln(x+1)=12分.y=f(x)=ln(x+1)+12f/(1)11f/(x)=X77,得f/(1)=2,故f(x)=ln(x+1)4分2x12(x+2)2xx2(2)令g(x)=f(x)x+2,由g/(x)=x+1(x+2)2=(x+1)(

21、x+2)2,-x0,g/(x)0,g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)6分故g(x)g(0)=02x1OC0.m的取值范圍.即f(x)X+28分1(3)原不等式等價(jià)于2x2f(x2)&m22bm-32xx3x令h(x)=2x2f(x2)=2x2ln(1+x2),由h/(x)=x1+x2=1+x2當(dāng)xC1,1時(shí),h(x)max=0,.m22bm30Q(1)=m2-2m-30令Q(b)=m2-2bm3,那么Q(_1)=m2+2m-3010分12分8、設(shè)fxpxq2lnx,且feqe(I)(II)x求p與q的關(guān)系；假設(shè)fx在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),(III)解:(I)由 題 意得(II)由(I)知e上至少存在一點(diǎn)peq2lnee2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的 取 值 范圍;qe-exogxo成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.px2|nx,fxx令hx0或I當(dāng)p2pxh(x