2017-2018學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1課時提升作業(yè) 十八 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)1 精講優(yōu)練課型 Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè) 十八拋物線的簡單幾何性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·吉安高二檢測)已知f是拋物線y2=x的焦點(diǎn),a, b是該拋物線上的兩點(diǎn),|af|+|bf|=3,則線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()a. 34b.1c.54d.74【解析】選c.由拋物線的定義,有|af|+|bf|=xa+p2+xb+p2=xa+xb+p=3,故xa+xb=3-p=52,故線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為54.【延伸探究】若將上題改為f是拋物線x2=2y的焦點(diǎn),a,

2、b是拋物線上的兩點(diǎn),|af|+|bf|=6,則線段ab的中點(diǎn)到x軸的距離為.【解析】|af|+|bf|=6,由拋物線的定義可得|ad|+|be|=6,又線段ab的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線y=-12的距離為12(|ad|+|be|)=3,所以線段ab的中點(diǎn)到x軸的距離為52.答案:522.(2016·溫州高二檢測)已知拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線為1,點(diǎn)p為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,pal,垂足為a,|pf|=2,則直線af的傾斜角為()a.45b.23c.34d.56【解題指南】可先畫出圖形,得出f32,0,由拋物線的定義可以得出|pa|=2,從而可以得出p點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線方程便

3、可求出p點(diǎn)的縱坐標(biāo),這樣即可得出a點(diǎn)的坐標(biāo),從而求出直線af的斜率,根據(jù)斜率便可得出直線af的傾斜角.【解析】選d.如圖,由拋物線方程得f32,0;|pf|=|pa|=2,所以p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-32=12;所以y2=6·12,p在第一象限,所以p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3;所以a點(diǎn)的坐標(biāo)-32,3;所以af的斜率為0-332-32=-33;所以af的傾斜角為56.3.已知直線l經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)f,且與拋物線交于p,q兩點(diǎn),由p,q分別向準(zhǔn)線引垂線pk,qs,垂足分別為k,s,如果|pf|=a,|qf|=b,m為ks的中點(diǎn),則|mf|的值為()a.a+bb.12(a+b

4、)c.abd.ab【解析】選d.如圖,根據(jù)拋物線的定義,有|pf|=|pk|,|qf|=|qs|,易知kfs為直角三角形,故要求的是直角三角形斜邊上的中線長.在直角梯形pksq中,容易求得|ks|=2ab.故|fm|=12|ks|=ab.4.已知直線l過拋物線c的焦點(diǎn),且與c的對稱軸垂直, l與c交于a,b兩點(diǎn),|ab|=12,p為c的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則abp的面積為()a.18b.24c.36d.48【解析】選c.如圖所示,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0).因?yàn)楫?dāng)x=p2時,|y|=p,所以p=|ab|2=122=6.又p到ab的距離始終為p,所以sabp=12×12

5、5;6=36.5.(2015·浙江高考)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為f,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)a,b,c,其中點(diǎn)a,b在拋物線上,點(diǎn)c在y軸上,則bcf與acf的面積之比是()a.|bf|-1|af|-1b.|bf|2-1|af|2-1c.|bf|+1|af|+1d.|bf|2+1|af|2+1【解析】選a.sbcfsacf=12bc·h12ac·h=|bc|ac|=|bm|an|=xbxa=bf-1af-1.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)拋物線y2=mx的準(zhǔn)線與直線x=1的距離為3,則拋物線的方程為.【解析】當(dāng)m>0時,準(zhǔn)線方程為x

6、=-m4=-2,所以m=8,此時拋物線方程為y2=8x;當(dāng)m<0時,準(zhǔn)線方程為x=-m4=4,所以m=-16,此時拋物線方程為y2=-16x.所以所求拋物線方程為y2=8x或y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x.【誤區(qū)警示】解答本題時容易忽視m的符號,出現(xiàn)答案不完整的情況.7.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為f,點(diǎn)p為拋物線上的動點(diǎn),點(diǎn)m為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn),當(dāng)fpm為等邊三角形時,其面積為.【解析】據(jù)題意知,pmf為等邊三角形時,pf=pm,所以pm垂直拋物線的準(zhǔn)線,設(shè)pm24,m,則m(-1,m),則等邊三角形邊長為1+m24,f(1,0),所以由pm=fm,得1+m24=(-1-1

7、)2+m2,解得m2=12,所以等邊三角形邊長為4,其面積為43.答案:438.(2016·長沙高二檢測)已知定點(diǎn)a(-3,0),b(3,0),動點(diǎn)p在拋物線y2=2x上移動,則pa·pb的最小值等于.【解題指南】設(shè)出p點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合拋物線y2=2x中的x的范圍求解.【解析】設(shè)p(x,y),則y2=2x,因?yàn)閍(-3,0),b(3,0),則pa·pb=ap·bp=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x0),所以當(dāng)x=0時,(pa·pb)min=-9.答案:-9三、解答題(每小題10分,共2

8、0分)9.直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2px(p>0)上,且一直角邊的方程是y=2x,斜邊長是5,求此拋物線的方程.【解析】如圖,設(shè)直角三角形為aob,直角頂點(diǎn)為o,ao邊的方程為y=2x,則ob邊的方程為y=-12x.由y=2x,y2=2px,得a點(diǎn)坐標(biāo)為p2,p.由y=-12x,y2=2px,得b點(diǎn)坐標(biāo)為(8p,-4p).因?yàn)閨ab|=5,所以p2-8p2-(p+4p)2=5.因?yàn)閜>0,解得p=21313,所以所求拋物線方程為y2=41313x.10.(2016·淮安高二檢測)如圖,已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為f,過點(diǎn)p(2,0)的直線

9、交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點(diǎn),直線af,bf分別與拋物線交于點(diǎn)m,n.(1)求y1y2的值.(2)記直線mn的斜率為k1,直線ab的斜率為k2,證明:k1k2為定值.【解題指南】(1)設(shè)出直線ab的方程,把直線方程代入拋物線方程中整理化簡,然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求.(2)表示出斜率,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡可求得定值.【解析】(1)依題意,設(shè)ab的方程為x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,從而y1y2=-8.(2)設(shè)m(x3,y3),n(x4,y4),k1k2=y3-y4x3-x4×x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y42

10、4×y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,設(shè)直線am的方程為x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)y1y2=-8,所以k1k2=2為定值.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016·成都高二檢測)設(shè)f為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),a,b,c為拋物線上不同的三點(diǎn),點(diǎn)f是abc的重心,o為坐標(biāo)原點(diǎn),ofa,ofb,ofc的面積分別為s1,s2,s3,則s12+s22+s32=()a.9b.6c.3d.2【解析】選c.設(shè)

11、a,b,c三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(1,0),所以s1=12|y1|,s2=12|y2|,s3=12|y3|,所以s12+s22+s32=14(y12+y22+y32)=x1+x2+x3,因?yàn)辄c(diǎn)f是abc的重心,所以x1+x2+x3=3,所以s12+s22+s32=3.2.拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()a.43b.75c.85d.3【解析】選a.設(shè)拋物線y=-x2上一點(diǎn)為(m,-m2),該點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離為|4m-3m2-8|5,當(dāng)m=23時,取得最小值為43.【一題多

12、解】選a.設(shè)與4x+3y-8=0平行的直線l的方程為4x+3y+m=0,由y=-x2,4x+3y+m=0,消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-43.所以l的方程為4x+3y-43=0.因此拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=|-8-43|42+32=43.二、填空題(每小題5分,共10分)3.已知點(diǎn)p是拋物線y2=4x上的動點(diǎn),點(diǎn)p在y軸上的射影是m,點(diǎn)a(4,6),則|pa|+|pm|的最小值是.【解題指南】將p到y(tǒng)軸的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p到焦點(diǎn)的距離,當(dāng)a,p,f共線時,|pa|+|pm|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以

13、f(1,0),如圖,|pm|=|pf|-p2=|pf|-1,所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|-1|af|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-14.(2016·南昌高二檢測)已知點(diǎn)a(2,0),拋物線c:x2=4y的焦點(diǎn)為f,射線fa與拋物線c相交于點(diǎn)m,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)n,則|fm|mn|=.【解析】因?yàn)閽佄锞€c:x2=4y的焦點(diǎn)為f(0,1),點(diǎn)a坐標(biāo)為(2,0),所以拋物線的準(zhǔn)線方程為l:y=-1,直線af的斜率為k=0-12-0=-12.過m作mpl于p,根據(jù)拋物線的定義得|fm|=|pm|.因?yàn)閞tmpn中,tanmnp=-k=12,所以|p

14、m|pn|=12,可得|pn|=2|pm|,得|mn|=|pn|2+|pm|2=5|pm|.所以|pm|mn|=15,可得|fm|mn|=|pm|mn|=15.答案:15三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2016·長春高二檢測)點(diǎn)m(m,4)(m>0)為拋物線x2=2py(p>0)上一點(diǎn),f為其焦點(diǎn),已知|fm|=5.(1)求m與p的值.(2)以m點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線的切線,交y軸于點(diǎn)n,求fmn的面積.【解析】(1)由拋物線定義知,|fm|=p2+4=5,所以p=2.所以拋物線的方徎為x2=4y,又由m(m,4)在拋物線上,所以m=4.故p=2,m=4.(2)設(shè)過m

15、點(diǎn)的切線方程為y-4=k(x-4),代入拋物線方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,其判別式=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,切線方程為y=2x-4,切線與y軸的交點(diǎn)為n(0,-4),拋物線的焦點(diǎn)f(0,1),所以sfmn=12|fn|·m=12×5×4=10.6.(2016·福州高二檢測)如圖,拋物線e:y2=4x的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為a.點(diǎn)c在拋物線e上,以c為圓心,|co|為半徑作圓,設(shè)圓c與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)m,n.(1)若點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為2,求|mn|.(2)若|af|2=|am|·|an|,求圓c的半徑.【解析】(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1.由點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為2,得點(diǎn)c的坐標(biāo)為(1,2),所以點(diǎn)c到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|co|=5.所以|mn|=2|co|2-d2=25-4=2.(2)設(shè)cy024,y0,則圓c的方程為x-y0242+(y-y0)