二次函數(shù)恒成立問(wèn)題

1、精品辦公文檔二次函數(shù)恒成立問(wèn)題20XX年8月東莞莞美學(xué)校、恒成立問(wèn)題的基本類型:類型2f(x)=ax+bx十c(a00),(1)f(x)>0在xwR上恒成立ua>0且4<0;(2)f(x)<0ftxwR上恒成立ua<0且Ac。類型2:設(shè)2f(x)=axbxc(a；0)(1)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>0在xwa,B上恒成立A或,J(a)>0b<_<2a:二0或2aJ(B)0f3) <0J(B) <0'f(a)>0f(P) >0f(x)<OExwa,P上恒成立之當(dāng)a<0時(shí)，f(x)0在乂1口，向上恒

2、成立f(x)<OftxEB,B上恒成立二b1<aa<-2a或(/(«)>0(A<0<-2a或卜如J(P)<0類型3:f(x)>3對(duì)一切xWI包成立uf(x)minf(x)對(duì)一切xWI包成立Uf(x)max0類型4:f(x)>g(x)對(duì)一切xwHB成立(xI)二、恒成立問(wèn)題常見(jiàn)的解題策略：策略一：利用二次函數(shù)的判別式=f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方或f(x)ming(x)max對(duì)于一元二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+ca0(a00,xeR)有:(1) f(x)A0在xWR上恒成立uaA0且<0;(2) f(x)<0

3、4xWR上恒成立Ua<0且&<02例1.右不等式(m1)x+(m1)x+2>0的解集是r,求m的范圍。m所以要討論解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m-1是否是0。(1)當(dāng)m-1=0時(shí)，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；(2) m-1 #0時(shí)，只需 J"m -1 > 02，所以，mw1,9)。 =(m-1) -8(m-1) <0策略二：利用函數(shù)的最值(或值域)(1) f (x) >m 對(duì)任意 x 都成立 二 f (x)min > m ；(2) f (x) <m對(duì)任意x都成立u m

4、> f (x) max o簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。本類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問(wèn)題。例2.已知f (x) =x2+ax+3 _a ,若x w 22, f (x)22恒成立，求 a的取值范圍.解析本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，只要對(duì)于任意xE/,2, f(x)min之2.若x 且 22, f(x)至2 恒成立 二 Vx2,2, f (x)min>2- H ""2 f (x)min= f(_2) =7_3a ,2-2 _-a,三 222aaf (x) min =f( 一 ) =3 -a _224,即a的取值范圍為_(kāi)5 +

5、 2，2.策略三：利用零點(diǎn)分布f(x)min =f(2) =7 a2例 3.已知 f(x)=x2 +ax+3a,若 xW22, f(x)之0恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無(wú)零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間- ：.-0的右側(cè)三種情況，即 A W0或f (-2) >0f (2) -0-_22 ，即a的取值范圍為-7 , 2.f (-2) _0f (2) _0,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況，要點(diǎn)評(píng)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問(wèn)題求對(duì)應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.變式：設(shè)f(x)=x2-2mx+2,當(dāng)xw-+=

6、c)時(shí)，f(x)之m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：設(shè)F(x)=x2-2mx+2-m,則當(dāng)x仆1,")時(shí)，F(xiàn)(x)之0恒成立當(dāng)A=4(m1)(m+2)<0即2<m<1時(shí)，F(xiàn)(x)a0顯然成立;當(dāng)上0時(shí)，如圖，F(xiàn)(x)占0恒成立的充要條件為:-0F(-1)之0解得-3MmM-2。綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為一3,1)。-2m一_T2策略四：分離參數(shù)法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1) f(x)Hg(a)(a為參數(shù))恒成立Ug(a)

7、f(x)max2) f(x)>g(a)(a為參數(shù))恒成立gg(a)<f(x)max2x2xa例4.函數(shù)f(x)=,xw1,十比)，右對(duì)任息xw1,+g),f(x)>0恒成立，求頭數(shù)a的取值氾x圍。解：若對(duì)任意xw1,+oc),f(x)>0恒成立，2x-2x-a即對(duì)xw1,),f(x)=)式>0恒成立，x考慮到不等式的分母xw1,),只需x2+2x+a>0在xw1,十比)時(shí)恒成立而得22x+2x+a>0在xu1,+8)時(shí)恒成立，只要a>-x-2x在x=1,+s)時(shí)恒成立。而易求得二次2函數(shù)h(x)=x-2x在1,)上的最大值為3,所以a>3。

8、變式：已知函數(shù)f(x)=ax-Y4x-x2,xw(0,4時(shí)f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。4x-x2解：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a<對(duì)x(0,4恒成立。x八4x-x2令g(x)=，則a<g(x)minx4x-x24由g(x)=1.1-1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故g(x)min=g(4)=0x;xa<0即a的取值范圍為(g,0)。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量x看成是主元(未知數(shù))，而把另一個(gè)變量a看成參數(shù)，在有些問(wèn)題中這樣的解題過(guò)程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求

9、取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。例5.若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足2Em42的所有m都成立，求x的范圍。m(x2 1) (2x-1) <0,；'f (m) <0f (n) < 0恒成立，令，、-2g(a) =2ta -t ,只要g(f <01) 為 'At «-2或t 之2或t =0.解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化?令f(m)=m(x21)(2x1),則2EmE2時(shí)，f(m)<0恒成立,-2(x2-1)-(2x-1)<0而,的*國(guó)日1+"1+73、J,所以x的范圍

10、是x()2(x2-1)-(2x-1)<02'2總結(jié)：利用了一次函數(shù)f(x)=kx+b,xwm,n有：f(x)>0何成立u1"m)。f(x)<0恒成立uf(n)>0變式：對(duì)任意aw1,1,不等式x2+(a4)x+4-2aa0恒成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式2(x-2)a+x-4x+4>0在aw-1,1上恒成立的問(wèn)題。解：令f(a)=(x2)a+x24x+4,則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(a)>0恒成立(a=-1,1)°當(dāng)x=2時(shí)，可得f(a)=0,不合題意。當(dāng)x#2時(shí)

11、，應(yīng)有f(1”。解之得x<1或x>3oJ(-1)>0故x的取值范圍為(*,1)U(3,也)。策略六：消元轉(zhuǎn)化例6.已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m,n可一1,1,m+n,0時(shí)f(m)f(n)>0,若f(x)Wt2-2at+1對(duì)于所有的xw-1,1,aW-1,1恒成立，求實(shí)數(shù)mnt的取值范圍.解析本題不等式中有三個(gè)變量，因此可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個(gè)變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù)，故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則f(x)<t2-2at+1對(duì)于所有的xE7,1,aW1,1恒成立U1<t2-2a

12、t+1對(duì)于所有的aW1,1恒成立,即2ta-t2<0對(duì)于所有的a=-1,1點(diǎn)評(píng)對(duì)于含有兩個(gè)以上變量的不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問(wèn)題，使問(wèn)題得到解決以上介紹的幾種常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，只是分別從某個(gè)側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問(wèn)題得以順利解決。三、鞏固練習(xí)1 .(1)若關(guān)于x的不等式x2axa>0的解集為(3,y),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式x2-ax-a<-3的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.w-m解：(1

13、)設(shè)f(x)=x2-ax-a.則關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(*,y)=f(x)>04aa2在(_9止恒成立U3(x)>0,即m(x)=>0,解得-4<a<0(2)設(shè)f(x)=x2-ax-a.則關(guān)于x的不等式x2-ax-a工-3的解集不是空集uf(x)<-3在4a-a2,、(-00,+oc)上能成立Ufmin(x)<一3,即fmin(x)=<一3,斛得aE-6或a至2.2 .若函數(shù)y=，mx2+6mx+m+8在R上包成立，求m的取值范圍。分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開(kāi)方數(shù)mx2+6mx+m+820在R上包成立問(wèn)題，并且注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的

14、討論。略解：要使y=Jmx2+6mx+m+8在R上恒成立,即mx2+6mx+m+8±0在R上包成立。1m=0時(shí)，8>0，m=0成立2,m0一.m#0時(shí)，42,0<m<136m-4m8；=32mm-1-0由1,2；可知，0£mM1*d_-3 .已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.解：依定義f(x)=x2(1-x)t(x1)-x3x2txt,則f(x)=-3x2+2x+t.f(x堆區(qū)間(-1,1升是增函數(shù)等價(jià)于f'(x)>0在區(qū)間(-1,1)上包成立；而f"

15、(x)>0在區(qū)間(-1,1止恒成立又等價(jià)于t>3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上包成立；設(shè)g(x)=3x2-2x,xW(-1,1)進(jìn)而t>g(x設(shè)區(qū)間(T,1止恒成立等價(jià)于t之gmax(x)xW(-1,1)考慮到g(x)=3x22x,xw(1,1)在1,1；上是減函數(shù)，在1,1:上是增函數(shù),則<3；;3Jgmax(x)=g(1)=5.于是，t的取值范圍是t之5.4 .已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f1x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)滿足1EaW1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；解法1.由題意g(x)=3x2-ax

16、+3a-5,這一問(wèn)表面上是一個(gè)給出參數(shù)a的范圍，解不等式g(x)<0的問(wèn)題，實(shí)際上，把以x為變量的函數(shù)g(x),改為以a為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的包成立的問(wèn)題，即令5(a)=(3x)a+3x2-5,(-1<a<1),則對(duì)-1«a«1,何有g(shù)(x)<0,即邛(a)<0,從而轉(zhuǎn)化為對(duì)-1<a<1,平(a)<0包成立，又由中(a)是a的一次函數(shù)，因而是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到.為此20co只需L()0即3、x2<0,解得，<x<1.故xJ-21時(shí),對(duì)滿足-1«a«1-1：二0

17、3x2x-8<0.33,的一切a的值,都有g(shù)(x)<0.解法2.考慮不等式g(x)=3x2-ax+3a-5<0.由一1<aW1知，A=a236a+60>0,于是，不等式的解為a一.a2-36a60a、.a2-36a60:x:二.66但是，這個(gè)結(jié)果是不正確的，因?yàn)闆](méi)有考慮a的條件，還應(yīng)進(jìn)一步完善.a-<a2-36a60axa2-36a60為止匕，設(shè)g(a戶，h(a)=.66不等式化為g(a)<x<h(a),TaM1包成立，即g(a1ax<x<h(a)min,-1<a1.由于g(a戶a_Ja236a+60在-1EaE1上是增函數(shù)，則

18、g(aLlx=g(1)=二，632.h(a)=在-1-a41上是減函數(shù)，則h(a焉=h(1)=1.所以，一一<x<1.61min3故x“2,l時(shí)，對(duì)滿足-1MaM1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0.5.若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,sin2x+2kcosx_2k2<0包成立，求k的取值范圍。解法一：原不等式化為cos2x-2kcosx2k10/一，I-c2c令t=cosx，貝UtW1,即f(t)=t2-2kt+2k+1=(tk)k2+2k+1在tw-1,1上恒大于0。1若k<-1,要使f(t)>0,即f(-1)>0,k>二k不存在2若一1MkM1,若使f(t)A0,即f(k)=-k2+2k+1>0A1-V2<k<1+721-V2<k<1若k>1,要使f(t)>0,即f(1)>0,k>1由，可知，,k>1點(diǎn)。解法二：f(t)=t2-2kt+2k+1>0,在L1,1上恒成立。.：=k2-2k-1：0.1-,2：k：1v2“2&=k-2k-1>0f(1)0.k_1、.2f(-1)<0k1或k：-1由，可知，k1-Jo6 .已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1至0對(duì)于一切xw(0,1成立，求a