雙曲線中焦點三角形的探索

1、雙曲線中焦點三角形的探索根本條件：1:該三角形一邊長為焦距2c,另兩邊的差的約對值為定值 2a.2222:該三角形中由余弦定理得cos/FFF2=51PF21 一|FlF21結合定義,有 2|PFJ IPF2I22工工-1.一 2. 2性質一、設假設雙曲線方程為a b(a >0, b >0), F1,F2分別為它的左右焦點,P為雙曲線上任意一點,那么有: J* t2假設4iPF2=Q那么SF1PF22；特別地,當&1出=90'時,有 'Lb2.證實：記1 PFi Uri/PF?卜2,由雙曲線的定義得在 F1PF2中,由余弦定理得：22c1 -2 -21285

2、122配方得：(1 一12)2r1r2 -2r1r2cos? - 4c .即 4a2 2r1r2(1 -cosu)=4c2.由任意三角形的面積公式得：1 S&PF2 =2r1r2sin 二-b2sin1 -cose e2 sin cos-2_2 ) b22口 b2 sin 一2e cot2特別地,當8 = 90時,Q cot 2=1,所以2 y2同理可證,在雙曲線ab2二1(a>0, b>0)中,公式仍然成立.例4積.假設P是雙曲線64 36 上的一點,F1、F2是其焦點,且/F1PF2=60,求 F1PF2的面中,a=8,b=6,c=10,而日=60：記1 PF1 F r

3、1,|PF2 1=r2.22匕=1解法一：在雙曲線64 36丁點P在雙曲線上,二由雙曲線定義得:r1 - r2=2a =16.在 F1PF2中,由余弦定理得:22_. 一、2rr2 -2r1 r2 cos ? _ (2c).配方,得：(ri -12)2 - rir2 =400400ri/2 =256.從而 rir2 =144.2 x解法二：在雙曲線642匕=136 中,b2 =36 ,而9=60口.考題欣賞(2021全國卷1理)(9)Fi、F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,/ FPF2 =60°,那么P到x軸的距離為(A) (B) 逅 (C) 耳 (D) 用22

4、【答案】B(2021全國卷1文)(8)Fi、F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,/ Fi P F?二 600,那么 IPF1LJPF2U(A)2(B)4(C) 6(D) 8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos/ F1PF2二1PFi |2 +|PF2, TFiF212 2|PFi|PF2|PFi |b PF2|=4【解析2】由焦點三角形面積公式得:SapF2 =b2cot；=向好二百二1伊B |PF2 sin600 =1|PF1 |PF2|；y| PF |_| PF2 |=4性質一推論：在雙曲線22J匕=12 一 2a b(a>0, b>0)中,左右焦點分別

5、為Fi、F2 ,當點P是雙曲線左支上任意一點,假設b2csin )“訐2=日,那么S*F近口0后.特別地,當“肝2=9.口時,有S.FiPF2b2ca .當點P是雙曲線右支上任意一點,假設ZPFiF2=° (8(雙曲線漸近線的傾斜角),那么S.FiPF2_ b2csin 1ccos 二-a證實：i、當P為左支上一點時,記|PF1尸1,尸巳尸2 (1 </2),由雙曲線的定義得r2 -r1 = 2a,r22a22-2在 F1PF2 中,由余弦定理得：ri +4C - 4rlecos8=r2 .2代入得r14C2一4rlecos 二-(r1 2a).b X2 - y 中,a = i

6、 ,b =2,c =對5,而 8 = 60 記 I PF |= r ,| PF? |=%.ri 求得 a - c cos 二S.FiPF2=1r1 F1 F2 sin - 1b2a ccos?b2csin r2csin1二a +ccos6 得證一S F df特別地,當日=90時,& 2b2cii、當 P為右支上一點時,記I PFi l=ri,l pf2 l=r2( r1 a2),由雙曲線的定義得 r1 2 =2a,r2 = ri 2a ,22.2在 FiPF2 中,由余弦定理得：ri +4C -4rlecos8=r2 .2,22代入得 ri4c -4riccosi - (ri -2a)

7、.ri求得b2ccos9 -a 0S.FFF21一 1r F1F2 sin 二22b2ccos【-a2csin 二2_ b csin1 ccosB -a 得證(i)假設P是雙曲線64- 36=1左支上的一點,Fi、F2是其焦點,且/PFF2=60求 FPF2的面積.2 x (2)假設P是雙曲線面積.2匕=i4右支上的一點,Fi、F2是其焦點,且2PFF2 =60求 FPF2的=1 八,CL , 一«-,(D解法一：在雙曲線 丁點P在雙曲線上,64 36中,a=8,b=6,c = i0,而日=60'.記 IPF1 l=r J PF2 l= r2.二由雙曲線定義得：上-n = 2

8、a =i6.r2 =i6*ri222在 FPF2 中,由余弦定理得：ri +4c -4riccos6=r2 .36 -ri = 解得： i322-y-(2)解法一：在雙曲線解法二：在雙曲線 64 36 中,a=8,b=6,c=i0,b2=36,而 8=601丁點P在雙曲線上,二由雙曲線定義得：A _2 =2a=2.2 =12在 F1PF2中,由余弦定理得:224c -4iccos? -r2 .解得：1=8( .5 .2)22a =8,b =6,c=10, b2 =36 ,而 H = 60=J -中,解法二：在雙曲線64 36性質二、雙曲線的焦點三角形PF1F2中,祈=：,PF2F1 ：當點P在雙曲線右支上時,有tan 三 cot一 三; 22 e 1:工I-'e -1cot tan -=當點P在雙曲線左支上時,有2