雙因素試驗的方差分析

1、第二節(jié)雙因素試驗的方差分析進行某一項試驗,當影響指標的因素不是一個而是多個時,要分析各因素的作用是否顯著,就要用到多因素的方差分析 .本節(jié)就兩個因素的方差分析作一簡介 .當有兩個因素時,除 每個因素的影響之外,還有這兩個因素的搭配問題 .如表9-7中的兩組試驗結(jié)果,都有兩個表 9-7(a)因素A和B,每個因素取兩個水平表 9-7(b)A、AiA2Bi3050B2i0080表9-7 a中,無論B在什么水平Bi還是B2,水平A2下的結(jié)果總比 A下的高20; 同樣地,無論 A是什么水平,B2下的結(jié)果總比Bi下的高40.這說明A和B單獨地各自影響 結(jié)果,互相之間沒有作用.表9-7b中,當B為Bi時,A

2、2下的結(jié)果比Ai的高,而且當B為B2時,A1下的結(jié)果比 A2的高；類似地,當 A為Ai時,B2下的結(jié)果比Bi的高70,而A為A2時,B2下的結(jié)果比 B1的高30.這說明A的作用與B所取的水平有關,而B的作用也與A所取的水平有關.即A和B不僅各自對結(jié)果有影響,而且它們的搭配方式也有影響.我們把這種影響稱作因素A和B的交互作用,記作A X B.在雙因素試驗的方差分析中,我們不僅要檢驗水平 A和B的作用,還要檢驗它們的交互作用.1 .雙因素等重復試驗的方差分析設有兩個因素A, B作用于試驗的指標, 因素A有r個水平Ai,A2,Ar,因素B有s個水 平Bi,B2,Bs,現(xiàn)對因素A, B的水平的每對組合

3、Ai,Bj,i=i,2,r； j=i,2,s都作tt>2次試 驗稱為等重復試驗,得到如表9-8的結(jié)果：表9-8因BiB2Bs,素AiXiii, Xii2,XiitXi2i ,Xi22,Xi2tXisi, Xis2,XistA2X2ii, X2i2 ,X2itX22i ,X222,X22tX2si, X2s2,X2stArXrii, Xri2,XritXr2i, Xr22 ,Xr2tXrsi, Xrs2 ,Xrst設 XjkN口,b2, i=i,2,r； j=i,2,s；k=i,2,t,各 xijk獨立.這里科 ij, b2均為未知參數(shù).或?qū)憺閄ijk = : 小,j =i,2,r; j

4、=i,2,s, 2(9.i6),嘛 N(0,.),k=i,2,t,#時相互獨立.i=1,2,-,r,1 r s Lij,rs i 4 j j1 r一 二一' ' ,j=1,2,- -,s,r i 4%=出.一也,i=1,2, - r, Bj=N. -N,j=1,2, §于是W ij =+ a i+ 3 j + 丫 ij.(9-17)稱科為總平均,a i為水平Ai的效應,3 j為水平Bj的效應,丫 j為水平Ai和水平Bj的交互 效應,這是由Ai,Bj搭配起來聯(lián)合作用而引起的.易知Z %=0,工 3 =0,i 4j 二rZ Zj =0, j=1,2,s,1 1s'

5、、：ij =0, i=1,2,r,j 1這樣(9. 16)式可寫成xijk = N + a i + P j + 4 + &ijk , rsrsZ % =0, Z Pj 0, Z % = 0, Z ,I = 0,ijm坦j 工(9.18)2 一一一標N(0尸),1 =1,2,r; j =1,2,s;k=1,2,t,各qjk相互獨立.其中W,ai,3j,Yij及b2都為未知參數(shù).(9. 18)式就是我們所要研究的雙因素試驗方差分析的數(shù)學模型.我們要檢驗因素 A, B及交互作用AXB是否顯著.要檢驗以下3個假設：j Hoi ：% =% =% =0,Hii :%,%,=%不全為零.'H

6、o2 : A =P2 d =Ps =Q尸12書,鼠=Bs不全為零.H03 : *1 = y 12 ='s =0,用1371了12,=%不全為零.記類似于單因素情況,對這些問題的檢驗方法也是建立在平方和分解上的Xj.= 1£xjjk,i=1,2,r； j=1,2,s,t k 41stxi'xijk ,仁1,2,r,st j 1 k 4_1r JX<j = 1 "' Xijk ,rt i 4 k Jj=1,2,s,r s t 2St=Z Z Z (& -x).i =1 j 4 k=1不難3證X, X蝙X. Xj 分別是,i -,j,ij的無

7、偏估計.由Xijk-1=(XijF%)ij <X-X -( X.j-X_(XTij-X.i- X.,j)x1< i< r,1< j< s,1< k< t 得平方和的分解式：St=Se+Sa+SB+Sxxb,(9.19)其中r s tSe=£££ (乂派一招.2,i 1 j T k =1rSA=stZ (Xq X)2 , i 1sSB=rtZ (X. X)2, jTr sSaX B= t 乙(%Xi g X <j * x)i W j =1SE稱為誤差平方和,Sa, Sb分別稱為因素 效應平方和.A, B的效應平方和,S

8、AX B稱為A, B交互當 H01： 口 1= " 2= - = a r=0 為真時,一 SaSea (r -1)Lrs(t -1)1F(r-1,rs(t-1);當假設H02為真時,Fb=SbSe(s-1) rs(t -1)iF(s-1,rs(t-1);當假設H 03為真時,SabSeFaxb=A -rEi F(r-1)(s-1),rs(t-1).(r -1)(s-1)l.rs(t -1)1當給定顯著性水平a后,假設H01, Ho2, H03的拒絕域分別為：FA-F.(r-1,rs(t-1);Fb - F.(s -1,rs(t -1);(9.20)Fab -F.(r - 1)(s-1

9、),rs(t -1).經(jīng)過上面的分析和計算,可得出雙因素試驗的方差分析表9-9.表9-9方差來源平方和自由度均方和f比因素ASar-1-Sa =-1FSaFa=Se因素BSbs-1s-1OQ I UJIS ISIIOQLL交互作用Sax b(r-1)(s-1)QSaxb1-1)lSAxBFax b=Se誤差Sers(t-1)Se=4rs(t -1)總和Strst-1在實際中,與單因素方差分析類似可按以下較簡便的公式來計算St, Sa, Sb, Sab,Se.r s t,己 T = X X XXjk ?i 1 j J kJ tTij = Z xjk , i=1,2,r; j=1,2,s, k 1

10、s tTi =£ £ Xjk , i=1,2,r, j =1 k 3r tT j =Z Z xjk , j=1,2,s, i W k £即有(9.21), =178.44, rstc 1 12SA=- T蜻st idy =15.44,r s t22 I _ St匚匚匚Xijk2 -: i 4 j 4 k_1rst 1 r 2 T 2sa=/ t；t, st i 4rst& =-i TUrt j 3rst1 r s 2 T 2SA>B =-£ 工 Tij S SA SB , t i4 j4 rstI SE = ST - SA - SB _ S

11、a B.例9. 5用不同的生產(chǎn)方法不同的硫化時間和不同的加速劑制造的硬橡膠的抗牽拉 強度以kg cm-2為單位的觀察數(shù)據(jù)如表9-10所示.試在顯著水平0.10下分析不同的硫化時間A,加速劑B以及它們的交互作用AXB對抗牽拉強度有無顯著影響.表 9-10140 c下硫化 時間秒加速劑甲乙丙4039, 3641, 3540, 306043, 3742, 3943, 368037, 4139, 4036, 38解按題意,需檢驗假設H01 ,H02,H03.r=s=3, t=2, T.,Tij,TiT.j.的計算如表 9-11.加速劑Tij .硫化時間甲乙丙Ti40758078233607681792

12、3680707974223Tj221240231692表 9-112r s tST= - - -xijki 1 j m k TSb=1Z T.：=30.11,rt jd rst1/ . s 丁 2T:- cSAX B= 一乙乙 Tj.- SA - SB =2.89,t i t j f rstSe=St-Sa-Sb-Saxb=130,得方差分析表9-12.表 9-12方差來源平方和自由度均方和F比因素A 硫化時間15.4427.72因素B 加速劑30.11215.56Fa=0.53交互作用AXB2.8940.7225Fb=1.04誤差130914.44Faxb=0.05總和178.44由于 F0

13、.i02,9=3.01>Fa,F0.i02,9>Fb,F0.i04,9=2.69>Faxb,因而接受假設 H0i,H02,H03,即硫化時間、加速劑以及它們的交互作用對硬橡膠的抗牽拉強度的影響不顯著2.雙因素無重復試驗的方差分析在雙因素試驗中,如果對每一對水平的組合Ai,Bj只做一次試驗,即不重復試驗,所得結(jié)果如表9-13.表 9-13因素A因素BB1B2BsA1X11X12X1sA2X21X22X2sArXr1Xr2Xrs這時可£Xijk,SE=0,SE的自由度為0,故不能利用雙因素等重復試驗中的公式進行方差分析但是,如果我們認為 A, B兩因素無交互作用,或交互

14、作用對試驗指標影響很小,那么可將SAX B取作Se,仍可利用等重復的雙因素試驗對因素A, B進行方差分析.對這種情況下的數(shù)學模型及統(tǒng)計分析表示如下：由9. 18式,x =1+% + Pj +1 rs9.22E % =0,£ % =0,'id：j=1島 N0,Q2,i =1,2,111,r;j =1,2,川,s,各,相互獨立.要檢驗的假設有以下兩個:'H01：%=豆2=一 二口r=0,但11：%,%I=%不全為零.% ： 3 =3 =£ =0,H 12"凡,=久不全為零.1?1 /xij , xi - Xij , X . xij ,平方和分解公式為:

15、St=Sa+Sb+Se ,(9.23)r ss其中St='、v(%-又)2,Sa=s-(xit-x)2,i 4 j 4j 4sr sSb (X. -X)2,Se - '、(Xj -Xi,-XX)2,j 1i 4 j 4分別為總平方和、因素A, B的效應平方和和誤差平方和 .取顯著性水平為a,當H01成立時,(s-1)SaFa=A F(r-1),(r-1)(s-1),SeH01拒絕域為Fa> F“(r-1),(r-1)(s-1).(9.24)當H02成立時,FB=(1SBSe-F(s-1),(r-1)(s-1),H02拒絕域為(s-1),(r-1)(s-1).(9.25)Fb>F得方差分析表9-14.表 9-14方差來源平方和自由度均方和f比因素A 因素B 誤差Sa sbSer-1s-1(r-1)(s-1)Sa Sa=- r -1q SbSb=s-1SeSe=E(r-1)(s-1)Fa= Sa/ SeFb= Sb/Se總和Strs-1例9. 6 測試某種鋼不同含銅量在各種溫度下的沖擊值單位：kg m cm-1,表9-15列出了試驗的數(shù)據(jù)沖擊值,問試驗溫度、含銅量對鋼的沖擊值的影響是否顯著a =0.01表 9-15銅含量沖擊值試驗溫度0.2%0.4%0.8%20 c10.611.614.50C7.011