四年級奧數(shù)-教師版-方陣問題

1、第三講方陣問題知識導(dǎo)航學(xué)生排隊,士兵列隊,橫著排叫做行,豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等,那么正好排成一個正方形,這種圖形就叫方隊,也叫做方陣亦叫乘方問題.核心公式：1 .方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方方陣問題的核心2 .方陣最外層每邊人數(shù) =方陣最外層總?cè)藬?shù)+ 4 + 13 .方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24 .去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)X2 1例1：學(xué)校學(xué)生排成一個方陣,最外層的人數(shù)是60人,問這個方陣共有學(xué)生多少人解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù).根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù),那么整個方陣隊列 的總

2、人數(shù)就可以求了.方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16 人整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16 X 16=256 人.【穩(wěn)固1】某校五年級學(xué)生排成一個方陣,最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人這個方陣共有五年級學(xué)生多少人解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)書周人數(shù)+ 4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù),那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了.解：方陣最外層每邊人數(shù)：60 + 4+1=16人整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16X16=256 人答：方陣最外層每邊有16人,此方陣中共有256人.【穩(wěn)固2】晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣,最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個解

3、析： 方陣每向里面一層,每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個,就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù),就可以求出各層總數(shù).解法1 :最外邊一層棋子個數(shù)：14-1 X 4=52 個第二層棋子個數(shù)：14-2-1 X 4=44 個第三層棋子個數(shù)：14-2 X 2-1 X 4=36 個.擺這個方陣共用棋子：52+44+36= 132 個解法2:還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=每邊個數(shù)一層數(shù) x層數(shù)X 砧行計算.14-3 X 3X4=132 個答：擺這個方陣共需132個圍棋子.【穩(wěn)固3】一個正方形的隊列橫豎各減少一排共27人,求這個正方形隊列原來有多少人解析：依據(jù)：去掉一行、一列的

4、總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)X2- 1可知每邊的人數(shù)是：27+1 + 2 = 14 人原人數(shù)是：14M14 = 196 人答：略.【穩(wěn)固4】小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子100枚,最外邊的一層共多少枚棋子解析：這要用到方陣的公式逆運算,100必然是一個數(shù)的平方數(shù)由于10x10=100 人,并且是實心的方陣,所以最外層有10人.例2：參加中學(xué)生運動會團體操比賽的運發(fā)動排成了一個正方形隊列.如果要使這個正方形隊列減少一行和一列,那么要減少33人.問參加團體操表演的運發(fā)動有多少人解析：如以下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列.從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5,去一行、一

5、列那么一共要去 9人,因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)X2- 1 , 解：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù). 原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33, 那么去掉的一行或一列人數(shù)=33+1.2 =17 人方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方,所以總?cè)藬?shù)為17M17 =289 人【穩(wěn)固】 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進行隊列表演,他們排成了一個七行七列的正方形隊列, 如果去掉一行一列,請問：要去掉多少名學(xué)生還剩下多少名學(xué)生ABCDEFGHI工KLMN0P解析：如上圖表示的是一個 4行4列的實心正方形隊列,從圖中可以看出正方形隊 列的特點：1正方形隊列每行、每列的人數(shù)相等,因此總?cè)藬?shù)=每行

6、人數(shù)X每列人數(shù).2去掉橫豎各一排時,有且只有 1人是同時屬于被減去的一行和一列的,如 圖中點A所示.因此去掉的總?cè)藬?shù)=原每行人數(shù)X 21,或去掉的總?cè)藬?shù)=減少后 每行人數(shù)X 2+1.此題中所求,即去掉的人數(shù)=7X21 = 13 人或去掉的人數(shù)=71 X 2+1 = 13人還剩的人數(shù)=71 X 71 = 36 人或還剩的人數(shù)=7X 7 13=49 13=36 人答：如果去掉一行一列,要去掉 13名學(xué)生,還剩下 36名學(xué)生.例3:解放軍戰(zhàn)士排成一個每邊 12人的中空方陣,共四層,求總?cè)藬?shù) 解法1:這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù),看作中實方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù).1中實方陣總?cè)藬?shù)：12X12=144

7、人2第四層每邊人數(shù)：12-2 X 4-1 =6 人3空心方陣人數(shù)：6-2 X 6-2 =16 人4中空方陣人數(shù)：144-16=128 人答：總?cè)藬?shù)是128人.小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)X外邊人數(shù)-內(nèi)邊人數(shù)-2 X 內(nèi)邊人數(shù)-2 解法2:這樣想：把中空方陣分成四個相等的長方形.1每個長方形的長=外邊人數(shù)-層數(shù)12-4=8 人2每個長方形的寬是層數(shù)：4人3總?cè)藬?shù)：8X4X 4=128 人答：總?cè)藬?shù)是128人.小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)-層數(shù)X層數(shù)X 4【穩(wěn)固】學(xué)校開展聯(lián)歡會,要在正方形操場四周插彩旗.四個角上都插一面,每邊插7面.一共要準(zhǔn)備多少面旗子解析：依據(jù)求外層個數(shù)的公式：邊數(shù) -1X

8、47-1X4 =24 面答：略.例4： 一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成 .從每個小三角形的頂點開始,到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花整個花園中共栽多少棵花解析：從條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽 9株,那么大三角形邊上栽的棵數(shù)為：9M2-1 =17 棵.又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的,所以大三角形三條邊上共栽花：17-13 = 48 棵.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.再計算大三角形栽花棵數(shù)時已經(jīng)計算過一次,所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：9 2=7

9、 棵解：大三角形三條邊上共栽花：92-1 -1x3 = 48 棵中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：9-2父3 = 21 棵整個花壇共栽花：48 +21=69 棵答：大三角形邊上共栽花 48棵,整個花壇共栽花69棵.【穩(wěn)固】同學(xué)們做早操,排成一個正方形的方陣,從前、后、左、右數(shù),小明都是第5個,這個方陣共有多少人Q解析：如圖,實心圓表示小明的位置,可以知道,$這個隊列每行都是9人.解：每行每列數(shù)： 5 M21=9 人§共有：9 M9 =81 人?例5:小明用圍棋子擺了一個五層中空方陣,一共用了200枚棋子,請問：最外邊一層每邊有多少枚棋子解析1:利用“相鄰兩層之間,每層的總數(shù)相差8的特點

10、,可知最外層共有棋子數(shù)：200+8+8X 2+8X 3+8X4 + 5= 56 個最外層每邊的棋子數(shù)：56+4+1= 15 個解析2:如練習(xí)中的圖,把棋子分成相等的四局部.每一局部的棋子數(shù)：200+4=50 個每一局部每排的棋子數(shù)：50+5=10 (個)最外層每邊的棋子數(shù)：10+5=15 (個)綜合列式為：200-4-5+5= 15 (個)答：最外邊一層每邊有 15枚棋子.【穩(wěn)固】游行隊伍中,手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣,最外邊一層每邊 12人,請問：彩車周圍的少先隊員共有多少人解析1:請同學(xué)們自己畫一個圖,以下圖是一個三層中空方陣的示意圖,不難發(fā)現(xiàn), 有如下特點：(1

11、)外層每邊點的個數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點的個數(shù)多2;(2)每相鄰兩層之間,點的總數(shù)相差8個.最外層隊員的總數(shù)：12 M 44=44 (人)三層共有隊員的總數(shù)：44 (44 -8) (44 -8 2)=44 36 28(12 3) X 3 = 9X 3=27 (人)三層共有隊員數(shù)：27X4= 108 人答：彩車周圍的少先隊員共有108人.這個問題還有別的解法,請同學(xué)們自己試著做一下.課后作業(yè)1、假設(shè)干名同學(xué)排成中實方陣那么多12人,假設(shè)要將這個方陣改擺成縱橫兩個方向各增加1人的方陣那么還差9人排滿,請問：原有學(xué)生多少人解析：由于縱橫兩個方向各增加1人,因此不但將剩余 12人擺上,而且還差 9人,說

12、明一橫行與一豎彳T的人數(shù)總和是12+9=21人.又由于縱橫兩個方向各增加1人,因此只有1人同屬于橫行與縱行,在數(shù)每邊上的人數(shù)時,總被多數(shù)一次,因此可以用21人先加上被重復(fù)數(shù)過的 1人,再除以2,也就得到每邊人數(shù).列式為21 + 1 +2=11人.求出每邊人數(shù),就可求出假設(shè)排滿后的人數(shù),列式為11X11 = 121人,用121人減去差的9人就是原來人數(shù),列式為121 9= 112人.也可以根據(jù)原來的方陣再加上12,請你試一試.答：原有學(xué)生112人.2、有一隊士兵排成一個中實方陣,最外一層有100人,請問：方陣中一共有士兵多少人解析：要想求出方陣中一共有多少士兵,就應(yīng)先求出方陣的最外層每邊有多少人

13、. 方陣最外一層有 100人,用100 + 4= 25人,每邊是不是 25人呢不是的,因 為平均分成4份后,還需要再加上 1,才正好是每邊上的人數(shù),列式應(yīng)該為100 + 4+ 1=26人.因此方陣中一共有 26X26= 676人.答：一共有676人.說明：這道題關(guān)鍵是求出每邊人數(shù).在求每邊人數(shù)時,不要認(rèn)為和“知道了正方形 周長,求邊長 一樣,還必須要加上1.3、小剛用假設(shè)干枚棋子擺成一個中實方陣,最外層每邊擺6枚,請問：要擺成這樣一個中實方陣至少需要多少枚棋子最外一層的棋子總數(shù)是多少解析：如圖,最外一層每邊擺 6枚,根據(jù)方陣每行每列個數(shù)相等特點,因此一共有 6X6=36枚棋子.最外一層每邊有6

14、枚,如果用6X4= 24枚,就認(rèn)為是最外一層棋子數(shù)的答案的 話,那就錯了.由于正方形每個頂點上的棋子分屬于一行一列,這樣棋子在計算總 數(shù)時就被多數(shù)了一次,這樣的頂點一共有4個,需要把多數(shù)的減去,才能得到正確的結(jié)果.列式是 6X44= 20枚.說明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時,可以按上圖先劃分成4個相等的塊,這樣每邊就有5枚了,因此用5X 4= 20枚,也可以得到正確答案.根據(jù)劃分塊的方 法不同,至少還有兩種方法,請同學(xué)們試一試.4、一隊學(xué)生站成 20行20列方陣,如果去掉 4行4列,那么要減少多少人 解析1 :把去掉4行4列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉,就可用例6的結(jié)論：去掉一行一列的總?cè)藬?shù)=原

15、每行人數(shù)X21反復(fù)利用4次這個公式,只要注意“原每行人數(shù)的變化,即可列式為：去掉4行4歹U的總?cè)藬?shù)= 20X2 1+ (20 1) X 2 1 + ( 20 2) X 2 1+ (20 3) X 2 1= 40-1=38- 1+36-1+34- 1=144 (人)解析2:我們還可以這樣想：原來是一個7行7列的方陣,假設(shè)去掉 4行4列后,仍剩下一個小正方形方陣,因此去掉 4行4列的總?cè)藬?shù)=原正方形方陣每邊人數(shù)一4,即去掉的總?cè)藬?shù)= 20X 20 ( 204) X ( 204)= 400-256=144 (人)答：去掉4行4列,要減少144人.5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈,如果四個角都裝一盞且每

16、邊裝12盞,那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞解析(1):自己畫圖可以看出,角上的四盞燈各屬于兩行,所以彩燈總數(shù)應(yīng)為： 12X4-4=44 (盞)(2):還可以把彩燈分成相等的四局部,因此彩燈總數(shù)為：(121) X 4=44 (盞)答：這個舞廳四周共裝彩燈 44盞.6、“六一兒童節(jié)前夕,在校園雕塑的周圍,用 204盆鮮花圍成了一個每邊三層的 方陣,請你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆解析：分析思路參見例6,最外層每邊人數(shù)=總數(shù)+4+層數(shù)+層數(shù)204 - 4- 3+3=20(盆)答：最外面一層每邊有鮮花 20盆7、四年級一班參加運動會入場式,排成一個方陣,最外層一周的人數(shù)為20人,請問：方陣最外層每邊

17、的人數(shù)是多少這個方陣共有多少人解析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+ 4+1,可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù),那么這個方 陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求出來了.解：1方陣最外層每邊的人數(shù)：20 + 4+1=5+1=6 人2整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：6X6=36 人答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6人,這個方陣共有 36人.8、明明用圍棋子擺成一個三層中空方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個,明明擺這個方陣最里層一周共有多少枚棋子擺這個三層空心方陣共用了多少枚棋子解析：1方陣每向里面一層,每邊的個數(shù)就減少2個,知道最外面一層,每邊放15個,可以求出最里層每邊的個數(shù),就可以求出最里層一周放棋子

18、的總數(shù).2根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個中空方陣的層數(shù),再乘以層數(shù),再乘以4,計算出這個中空方陣共用棋子多少個.解：1最里層一周棋子的個數(shù)是：15-2-2-1 X 4=40 個2這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：15-3 X 3X4=144 個答：這個方陣最里層一周有 40個棋子；擺這個中空方陣共用 144個棋子.9、假設(shè)干戰(zhàn)士排成一個四層中空方陣,只知道最外一層每邊有12人,請你求出總?cè)藬?shù).解析：我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進行.解：由于最外層每邊有 12人,因此最外層一共有121 X 4=44人,又根據(jù)方 陣相鄰兩層,外層比內(nèi)層人數(shù)多 8的特點,因此第二層有 44-8=36人,

19、第三層有 36-8=28 A,第四層有 28-8=20 人.因此一共有 44+36+28+20= 128 人.還可以這樣想,把四層中空方陣劃分如例5的形狀,我們發(fā)現(xiàn)每個長方形可以看成四排戰(zhàn)士,每排有 8人組成.因此一個長方形有8X4 = 32人,一共有4個長方形,32X4= 128 人.當(dāng)然還可以先把中空方陣看成中實方陣,然后再減去補上的小中實方陣人數(shù),也可以求出一共有多少人,看成中實方陣后,最外一層每邊12人,因此一共有12X 12= 144人.又由于在方陣中相鄰兩個正方形每邊人數(shù)相差2,因此第二層每邊有122= 10人,第三層每邊有 102= 8人,第四層每邊有 82=6人,第五層每邊 有6 2=4人.因此小的中實方陣有 4X4=16人.14416= 128人就表示一共有 戰(zhàn)士的人數(shù).答：一共有128人.10、有假設(shè)干盆鮮花擺成一個中空方陣,最外層共擺48盆,最內(nèi)層共擺24盆,請問：共擺了多少盆鮮花解析：由于方陣中相鄰兩個正方形每