異面直線（三）

1、第12課時 異面直線（三）教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握反證法的證題步驟，會用反證法證明簡單的問題，掌握異面直線的證明方法；通過對簡單問題的證明，使學(xué)生掌握證題規(guī)律、方法和步驟，并從中學(xué)會認(rèn)識事物、分析問題、轉(zhuǎn)化矛盾. 教學(xué)重點：反證法、異面直線的證明教學(xué)難點：反證法、異面直線的證明. 教學(xué)過程：.課題導(dǎo)入師上節(jié)課我們在研究異面直線所成的角與異面直線間距離的定義的基礎(chǔ)上，通過具體問題，討論了異面直線所成角與異面直線的距離的計算.清楚了求角、求距離的關(guān)鍵是生甲求異面直線所成角的關(guān)鍵是找到一個恰當(dāng)?shù)狞c，通過平移，把異面直線所成的角化為相交直線所成的角，然后在含這個角的某一三角形中，運用解三角形的知識，求得角的

2、大小.生乙求異面直線的距離，關(guān)鍵是找到含公垂線段在內(nèi)的某一三角形，仍是運用解三角形的知識，求得線段的長.生丙角所在的三角形，線段所在的三角形，都要能較好的聯(lián)系已知，這兩類問題解決的方法都是將空間問題化成了平面問題.師好！對這兩類問題的解法，同學(xué)們都要切實增強(qiáng)化歸意識，理清化歸思路，具體問題具體分析，設(shè)法使所求與已知產(chǎn)生聯(lián)系，尋求到好的解題途徑.這節(jié)課我們來討論異面直線的證明.新課討論師關(guān)于異面直線的證明，常用反證法，請同學(xué)們回憶一下，反證法是怎樣的一種推理方法？生反證法是通過否定命題結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題結(jié)論的一種推理方法.師反證法證題的步驟是怎樣的？生首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，其次在假設(shè)

3、的基礎(chǔ)上，按照正確的推理，推出矛盾(與已知矛盾、與真命題矛盾、與定理公理矛盾、自相矛盾等)，第三否定假設(shè)肯定結(jié)論.師好！下面我們來看個例子.例1求證：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.師為了證題過程表述的方便，先把文字語言寫成符號語言.生已知：a、A、B、Ba.求證：直線AB和a是異面直線.師觀察原題、圖形，已知、求證寫得正確嗎？生正確.師好.下面我們一起用反證法來給出證明.證明：假設(shè)直線AB和a共面于.即AB，a 于是A，Ba，B，Ba過a和B有且僅有一個平面于是與是同一平面，即由假設(shè)知A，A這與已知A矛盾假設(shè)錯誤，故直線AB與a是異面直線.例2已知a，b，a

4、bA，c，ca，求證b、c是異面直線.師仍然采用反證法來證.請同學(xué)動手證明(教師巡視，發(fā)現(xiàn)有兩種證明方法，指派各一人板書于黑板上).證法一：假設(shè)b、c共面于，則b，cAb，b，A，即c，AAa，ac，Ac，且c，A而經(jīng)過直線c與其外一點A的平面有且只有一個.與重合.a，與重合，a.又b且abAa、b是內(nèi)的兩條相交直線.由已知，a、b是內(nèi)的兩條相交直線.而經(jīng)過兩條相交直線a、b的平面有且只有一個與重合，又與重合與重合，這與a矛盾.假設(shè)錯誤，故b、c是異面直線.證法二：假設(shè)b、c共面，則bc或b、c相交若bc，又ac，ab，這與abA矛盾.若bcP，又c，b，Pa，acP，這與ac矛盾.由上可知，

5、b、c既不平行又不相交b、c是異面直線.師由上面兩題的證明可以看出，在假設(shè)的基礎(chǔ)上，按照正確的推理，都要推出矛盾，這是反證法證題必然出現(xiàn)的結(jié)果.之所以出現(xiàn)矛盾，原因都是假設(shè)錯誤，因而才有否定假設(shè)，才能肯定結(jié)論之說.至于究竟與什么矛盾，這要在假設(shè)的基礎(chǔ)上，即把假設(shè)作為一個條件，理清思路，再去推理，千萬不能漫無目標(biāo)，信手做來.反證法證題三步曲，推出矛盾是反證法證題的關(guān)鍵所在.例3如圖，不共面的三條直線a、b、c相交于點O，點Ma，點Nb，點Qb，N、Q不是同一點，點Pc. 求證：MN與PQ異面師請同學(xué)們來討論、分析怎樣進(jìn)行證明？(學(xué)生討論、分析之后讓學(xué)生匯報討論結(jié)果.匯報時，要求其余學(xué)生注意聽，待

6、匯報完畢，再讓其他學(xué)生補(bǔ)充，必要時，教師再作提示，直至分析完整為止.)證明：假設(shè)MN與PQ共面于，則M、N、P、Q， 又Q、Nb，b又Ob，O 又P，c同理a，a、b、c共面. 這與已知a、b、c不共面矛盾.假設(shè)錯誤，故MN、PQ是異面直線.課堂練習(xí)已知：平面=l，Al、Dl、AC，BD.求證：AC和BD是異面直線.證明：假設(shè)AC與BD共面于A、D、C既在內(nèi)又在內(nèi)，且A、D、C三點不共線與重合.A、B、D既在內(nèi)又在內(nèi)，且A、B、D三點不共線.與重合.綜上與重合，這與l矛盾.假設(shè)錯誤，故AC和BD是異面直線.課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了異面直線的證明，應(yīng)用的方法是反證法，請同學(xué)們注意，反證法證題的三

7、步曲是：第一步，假設(shè)結(jié)論的反面成立；第二步，在假設(shè)的基礎(chǔ)上，按照正確的推理，推出矛盾；第三步，否定假設(shè)，肯定結(jié)論.三步曲中，關(guān)鍵是第二步，它是反證法證題的核心所在，至于與什么矛盾，要認(rèn)真做好分析，不能盲目亂推，造成到處碰壁的局面.關(guān)于哪些命題宜用反證法來證.這里又補(bǔ)充進(jìn)了一個內(nèi)容：異面直線的證明一般用反證法來證.課后作業(yè)(一)補(bǔ)充1.a、b是異面直線，且分別在平面、內(nèi)，l.求證：a、b至少有一條與l相交.證明：假設(shè)a、b都與l不相交.a，l，al同理blab，這與a、b是異面直線矛盾.假設(shè)錯誤，故a、b中至少有一條與l相交.2.如圖，a、b是異面直線，A、Ba，C、Db，E、F分別是線段AC和

8、BD的中點，判斷EF與a、EF與b的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.證明：假設(shè)EF與a共面于則EF，AB A、B、E、FEA、FB，則A、B、C、DCD，AB，即a、b共面這與已知a、b是異面直線矛盾.假設(shè)錯誤，故EF與a是異面直線.同理可證：EF與b也是異面直線3.求證：空間四邊形的兩條對角線是異面直線.已知：ABCD是空間四邊形.求證：AC、BD是異面直線.證明：假設(shè)AC、BD不是異面直線，即AC、BD共面于則AC，BDA、B、C、D即A、B、C、D都在平面內(nèi).這與ABCD是空間四邊形(四個頂點不在同一平面內(nèi))相矛盾.假設(shè)錯誤，故AC、BD是異面直線.4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，P、

9、Q分別是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.(1)求證：A1Q與D1P是異面直線；(2)求異面直線A1Q與D1P所成角的余弦值.(1)證明：連結(jié)A1B、BC1、A1C1，則PA1B，QBC1 A1Q面A1BC1PA1B，A1B面A1BC1 P面A1BC1又D1面A1BC1，PA1Q.由過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線D1P與A1Q是異面直線.(2)解：設(shè)BQ的中點為R，連結(jié)PR，則PRA1QD1P與PR所成的銳角(或直角)為異面直線D1P與A1Q所成的角.連結(jié)D1R，在RtD1C1R中D1R2D1C12C1R2設(shè)正方體的棱長為a.則D1R2a2(a)2a2

10、(因為Q是BC1的中點，R是BQ的中點)在RtD1A1P中，D1P2D1A12A1P2a2(a)2a2在RtA1QB中，A1Q而D、R分別為A1B、BQ的中點PRA1QacosD1PR0.故異面直線A1Q與D1P所成角的余弦值為 .5.S是矩形ABCD所在平面外的一點，SABC、SBCD、SA與CD成60°角，SD與BC成30°角，SAa.(1)求證：AD是異面直線SA、CD的公垂線段，并求SA與CD之間的距離；(2)求證：AB是異面直線SB、AD的公垂線段，并求SB與AD之間的距離.證明：(1)在矩形ABCD中，BCADSABC，SAAD. 又CDAD，AD是異面直線SA與CD的公垂線段.其長度為異面直線SA與CD的距離.在RtSAD中，SDA是SD與BC所成的角 SDA30°又SAa ADa.(2)在矩形ABCD中，ABCDSBCD，SBAB 又ABADAB是異面直線SB、AD的公垂線段.其長度為異面直線SB與AD的距離.在RtSBA中，SAB是SA與CD所成的角SAB60° 又SAaABacos60°a即直線SB與AD的距離為 a.(二)1.預(yù)習(xí)課本直線與平面的