數(shù)列高三復習筆記

1、等差數(shù)列：(1)通項公式：an=ai+(n-1)d ; a 產(chǎn)am+(n-m)d(2)前 n 項的和：Sn = n(a1 *an) =a1n + n(n -1)d , Sn-Sn-i=an (n>2) 22(3)中項公式：2B=A+C 或 B= (A+C) /2a_ _ a_(4)性質(zhì)：中項2an=an-m +a n+m ,公差 d= amn.m - n對于 m,n,p,q C N .假設 m+n=p+q ,貝U am+an=ap+aq ,am+n=ap+q .(反之,不定成立)假設am , am+k , am+2k ,.成等差數(shù)列,那么其公差d'=kd .假設 a1+a2+.+

2、am , am+1 +am+2 + .+a2m , a2m+1+a2m+2 + .+a3m ,.為等差數(shù)列,那么其公差d'=m2d .假設 an=m,am=n,那么 am+n=0 ；假設 Sn=m,Sm=n,那么 Sm+n= -(m+n)；假設 Sn=Sm,那么 Sm+n=0.假設 an為等差數(shù)列,那么數(shù)列入an+b(入,b為常數(shù))仍為等差數(shù)列,且公差為入d.S偶 a nS 奇 a n 11假設an, bn均為等差數(shù)列,那么 an土 bn也為等差數(shù)列.假設項數(shù)為 2n ( ne n ),那么 S2n =n(a+a?n) =.- n(an +an書)假設項數(shù)為2n+1 (MN*),那么S

3、(fn"2,e 0cs奇n5奇一S 偶一a n ,二 一 S 偶 n -1假設Sn是等差數(shù)列前n項的和,那么Sn, S2n-Sn, ., Skn-S( k-1)n,.,.成等差數(shù)列 an為關于n的一次式,即an=pn+q.dd Sn為關于 n的一次式,即 Sn=pn +qn,其中 p= , q=a1 212等比數(shù)列：(1)通項公式：an=a1qn-1 ; an=amqn-m ; an+m=anqm=amqn 前 n 項的和：Sn= a1(1 q)= a1 anq (q ¥ 1) , Sn=na1 (q=1), Sn-Sn-1=an (n>2) 1 - q 1 - q(

4、3)中項公式：B2=AC 或 B=± (A+C) 0.5(4)性質(zhì)：中項an2=an-m , Hn+m ,公比 q= an .a n -1對于 m,n,p,q C N .假設 m+n=p+q,那么 am , an=ap , aq ,am+n=ap+q.(反之,不一定成立)假設am , am+k , am+2k ,.成等比數(shù)列,那么其公比q'=qk .2假設 a1,a2 ,. ' am,am+1,am+2 ' . 'a2m,a2m+1 ' a2m+2' . 'a3m ,.為等比數(shù)列,那么其公比q'= q有 Sm+n=Sn+

5、qnSm； Sn=abn+c (a+c=0)假設 an, bn均為等比數(shù)列,那么數(shù)列入an(入W0), an bn, 、,.都也為等差數(shù)列anbn假設項數(shù)為2n ( n C N ),那么 S = q .S奇數(shù)列求和問題：(1)倒序相加法【適用】用于等差數(shù)列求和公式的推導01n 1n求 Sn = Cn 2Cn . nC n +(n 1)C n2錯位相減法用于等比數(shù)列求和公式的推導對于數(shù)列 an - bn,其中 an是等差數(shù)列 bn是等比數(shù)列,那么求和方式為“乘公比或除以公比 再錯位相減.(3)裂項拆項法1.常用裂項技巧1 二1.n( n 1) n n -11(二一)(2n -1)(2n1)22n

6、 1 2n 11二( ab).,a b a -bn(n 1)( n 2)1n(n 1) (n 1)(n 2).(n 1)!n!(n 1)! n *n! = (n 1)! -n!an =Sn -SnJ.(n .2)2.要掌握以下數(shù)列求和SnSn二1n(n T)( n - 2)1. (n )2n,Sn.1223n v n 1111=1 - - - . -1212 3123.n用于求、kmk W如求 Sn = 12+22+.【常用根本公式】用k+1m+1展開差分4差分法*+n2用n+1 3展開為n3+3n2+3n+1 ,從n=1至U n=n將n個式子相減. 1 2 3 . n=n 2 1 3 23

7、33 . n3 =nln_2 22 1 3 5 . (2n-1) = n 122232. n2=(n 1)(2n 1)n6(n 1)2 =n2 2n 1(n 1)3 = n3 3n2 3n 1(a+b)n =C0an +Cnan"b + .+C；bn(nW N*)an -bn =(a -b)(an4 an" . aibn,. a2bn" abn" bn")遞推公式求通項的幾種形式重點?形如an41 -an =d等差數(shù)列&an41 =qan 等比數(shù)列【直接使用相關數(shù)列公式求通項1?形如an書-an = f(n)的形式【可使用累加法求通項】?形如an書=f(n)an的形式【可使用累乘法求通項】形如an書=pan +q( p=1,q #0)的形式【可先化為an書+ot = p(an +a),其中ap -1即構造 an+a 為等比數(shù)列,之后根據(jù)公式即可求得】?形如an中 = pan +qn的形式, an中 , p , an ,1 a n：;1n-1 , p ,a n n ,q ：qq q q【可先化為 * = _p+1,進而用第種形式求解,此時qnq qn q? *形如