勾股定理的證明和應(yīng)用0001

1、知識結(jié)構(gòu)：第 3 章 勾股定理1）直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方1.勾股定理2）勾股定理的驗證用拼圖法 ,借助面積不變的關(guān)系來證明1.在直角三角形中已知兩邊求第三邊3）應(yīng)用2.在直角三角形中已知兩邊求第三邊上的高（1）如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三 角形勾股定理2.勾股定理 的逆定理2）勾股數(shù)1.滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a,b,c稱為勾 股數(shù)1)3,4,52.常見的勾股數(shù)（2） 5,12,133)8,15,17求幾何體表面上兩點間的最短距離1）勾股定理的簡單應(yīng)用3.應(yīng)用解決實際應(yīng)用問題2）勾股定理逆定理的應(yīng)用判定某個三角形是否為直角

2、三角形3.1 勾股定理 一、求網(wǎng)格中圖形的面積求網(wǎng)格中圖形的面積，通常用兩種方法：割”或“補”。二、勾股定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。所以必須注意 “在直角三角形中 ”拓展延伸 ：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三邊關(guān)系， 這一前提。2）勾股定理主要用于求線段的長度，因此，遇到求線段的長度問題時，首先想到的是把所求線段轉(zhuǎn)化為某一直角三角形的邊，然后利用勾股定理求解。三、勾股定理的驗證 運用拼圖的方式，利用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積來驗證勾股定理。3.2勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長分別為a,b,c且a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角

3、形。斜邊”直角邊”。注意：（1）還沒確定一個三角形是否為直角三角形時，不能說（2）不是所有的c都是斜邊，要根據(jù)題意具體分析。當滿足a2+b2=c2時，c是斜邊，它所對的角是直角。勾股定理與勾股定理的逆定理之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系，如下表所示:勾股定理勾股定理的逆定理在 RtAABC 中，/ C=90 , a, b, c在 ABC 中，a2+b2=c2, a, b, c 分別條件分別為/ A , / B, / C的對邊為/ A, / B, /C的對邊結(jié)論a2+b2=c2/ C=90°勾股定理是以一個三角形是直角勾股定理的逆定理是以一個三角形的三角形”為條件，進而得到 這個三三邊滿足a2+

4、b2=c2”為條件，進而得到區(qū)別角形的三邊滿足a2+b2=c2”，即由這個三角形是直角三角形”，即由 數(shù)”形”到數(shù)”到形”聯(lián)系都與一個三角形的三邊關(guān)系a2+b2=c2”及 直角三角形”有關(guān)二、勾股數(shù)滿足關(guān)系a2+b2=c2的3個正整數(shù)a, b, c稱為勾股數(shù)。詳解：（1）如：32+42=52，所以3,4,5是一組勾股數(shù)，常見的勾股數(shù)有3,4,5; 5,12,13; 6,8,10等。勾股數(shù)必須是正整數(shù)。一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同的正整數(shù)倍也是一組新的勾股數(shù)。記住常用的勾股數(shù)可以提高做題速度。3.3勾股定理的簡單應(yīng)用一、勾股定理的應(yīng)用應(yīng)先運用勾股定理可以解決生活中的一些實際問題。在應(yīng)用勾股定理解決實際

5、問題時, 構(gòu)造出直角三角形，然后把直角三角形的某兩條邊表示出來。注意:應(yīng)用勾股定理解決實際問題時，先弄清直角三角形中哪邊是斜邊，哪兩條邊是直角邊, 以便進行計算或推理。對于實際問題，應(yīng)從中抽象出直角三角形或通過添加輔助線構(gòu)造出直 角三角形，以便正確運用勾股定理。二、勾股定理的逆定理的應(yīng)用在日常生活中，經(jīng)常遇到要求一些不規(guī)則圖形的面積問題。解決這樣的問題常常需要借助輔助線將其轉(zhuǎn)化成三角形的相關(guān)問題。有時圖形中并沒有明顯地給出直角三角形，但是其 中一些已知的邊長滿足直角三角形的條件，所以可考慮利用勾股定理的逆定理解決?！竟垂啥ɡ淼淖C明】C,請你動動腦筋，將它們例1如圖，是用硬紙版作成的兩個小直角三

6、角形和一個大直角三角形，兩個小直角三角形直角邊長分別為 a和b，斜邊為C,大直角三角形直角邊都為拼成一個能證明勾股定理的圖形。畫出所拼圖形的示意圖，說出圖形的名稱。(2)用這個圖形證明勾股定理。例22數(shù)學(xué)實驗室: 實驗材料：硬紙板、剪刀、三角板 實驗方法：剪裁、拼圖、探索實驗?zāi)康模候炞C勾股定理，拼圖填空。操作：剪裁出若干個全等的直角三角形，三邊長分別記為a、b、C,如圖。(1)拼圖一：分別用4張直角三角形紙片，拼成如圖、圖的形狀，觀察圖、圖可發(fā) 現(xiàn)，圖中兩個小正方形的面積之和 圖中小正方形的面積(填 大 于”“于”等于”，用關(guān)系式可表示為(2)拼圖二：用4張直角三角形紙片拼成如圖的形狀，觀察圖

7、形可以發(fā)現(xiàn)，圖中共有 正方形，它們的面積按大小順序分別記為 S大、S中、S小，其關(guān)系是 用a、b、c可表示為，用a、b、c可表示(3)拼圖三：用8張直角三角形紙片拼成如圖的形狀，圖中3個正方形的面積按大小順序分別記為S大、S中、S小，其關(guān)系是(思考題)如圖，在 ABC中AB 2=AC 2=3, D是BC上一點，且AD=1 ,則BD?DC=【勾股定理的應(yīng)用】例1(基礎(chǔ)題)利用勾股定理求三角形的邊長 已知 ABC中，/ C=90 , AB=c , AC=b (c為斜邊、a、b為直角邊)(1)如果 a=7, b=24,求 c；(2)如果 a=15, c=17，求 b.例2已知直角三角形的一邊和另外兩

8、邊的關(guān)系，求另外兩邊的長 填空:(1)直角三角形的一條直角邊和斜邊的比是3:5,已知這條直角邊的長是12,則斜邊長(2)在 RtA ABC 中，/ C=90 ° , / B=60 ° , b=6 (c 為斜邊，a、b 為直角邊)貝U c=a=_例3利用勾股定理說明邊的關(guān)系如圖,AD是ABC的中線，試說明:AB2 + AC2=2(AD2 + CD2)I利用勾股定理求面積：如圖,有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC = 6cm,BC = 8cm,現(xiàn)將直角邊,AC沿直線折疊，使它落在斜邊 AB上，且點C落到E點,求 ACD的面積是多少？例5求等腰三角形底邊上的高如圖，在 ABC中，

9、AB=AC=5,BC=6,AD 是BC邊上的中線，求 AD的長。利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形已知a、b、c為 ABC的三邊，且滿足a2+ b2 + C2+ 338=10a + 24b + 26cDC宜試說明:這個三角形是直角三角形。勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用:(1)如圖，”四邊形ABCD中，AB=3 ,BC=4 , CD=12 , AD=13 ,/ B=90，求四邊形 ABCD的面積。(2)、下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的是132、42、52 5、12、13 一、34 (填序號)1 1 -、一 0.9、1.2、1.55D(3)如圖，在 RtA ABC中，/ ACB = 90&#

10、176; AD、BE、CF分別是三邊上的中若 AC = 1, BC =7?.求證：AD2 + CF2= BE2 ;是否存在這樣的 Rt ABC，使得它三邊上的中線 AD、BE、CF的長恰好£是一組勾股數(shù)請說明理由.(提示：滿足關(guān)系 a2+ b2= c2的3個正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù).)例8構(gòu)造直角三角形求角的度數(shù)如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC ,卩是ABC 內(nèi)的一點，且 PB=1 ,PC=2, PA=3.把 ACP繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°使點A和點B重合，得到四邊形 ABDC，求/ BPC的度數(shù)。例9勾股定理在實際生活中的應(yīng)”用A市接到臺風(fēng)警報時，臺

11、風(fēng)中心位于A市正南方向125 km的B處,正以15km/h的速度沿BC方向移動。(1)已知A市到BC的距離AD=35 km，那么臺風(fēng)中心從 B點移到D點經(jīng)過多長時間？(2)如果在距臺風(fēng)中心 40 km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)影響，那么A市受到臺風(fēng)影響的時間是多長(結(jié)算結(jié)果精確到1分鐘)?例10最短路徑問題1、有一圓柱體如圖，高 4cm，底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到蟻爬行的最短距離2、如圖1,長方體的長為 20,寬為10,高為25,點B離點C的距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是多少3、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為2

12、0cm、3cm、2cm. A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程>1C處，求螞CSSB處4、如圖所示：有一個長、寬都是 2米，高為盒，一只小螞蟻從 A點爬到B點，那么這只螞蟻爬行的最短路3米的長方體紙徑為米。圈1總結(jié)1利用勾股定理求最短路徑問題都轉(zhuǎn)化為兩個方面:（1）兩點之間線段最短；（2）垂線段最短。總結(jié)2:利用勾股定理求最短路徑問題一般步驟:（1）畫出展開圖；（2）確定點的位置；（3）連接線段；（4）用勾股定理求解。簡化步驟 是：畫圖 定點 連線 求解注意：如果不是兩個相對頂點 的最短路徑，不能用之前給的公 式去求解。例11 探究題1、探索與研究：方法1：如圖（a）,對任意的符合條件的直角三角形繞其銳角頂點旋轉(zhuǎn)90。所得，所以/ BAE = 90°,且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于 Rt BAE和Rt BFE的面積之和,根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程;方法2:如圖（b），是任意的符合條件的兩個全等的Rt BEA和Rt ACD拼成的，你能AcAI L b FABCb)口 D對的邊分別記作a、b、根據(jù)圖示再寫一種證明勾股定理的方法嗎2、已知：在Rt ABC中，/ C=90 / A、/ B、/ C 所c.如圖1,分別以 ABC 的