全等三角形輔助線(xiàn)技巧

1、注意全等三角形的構(gòu)造方法搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問(wèn)題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái),再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了.下面舉例說(shuō)明幾例1 .如圖（1）已知：正方形ABCD中，/ BAC的平分線(xiàn)交 BC于E,種常見(jiàn)的構(gòu)造方法，供同學(xué)們參考.1 .截長(zhǎng)補(bǔ)短法求證：AB+BE=AC解法（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法）延長(zhǎng) AB至F使AF=AC由已知 AEFA AEC, /F=/ ACE=45）, BF=BE - AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截長(zhǎng)法或分割法）在A(yíng)C上截取AG=AB,由已知 ABEBA AGE, EG=BE, / AGE=/ AB

2、E,： / ACE=45o, CG=EG, AB+BE=AG+CG=AC2 .平行線(xiàn)法（或平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線(xiàn)或中位線(xiàn)，對(duì)Rt ,有時(shí)可作出斜邊的中線(xiàn).例 2. ABC中，/ BAC=60 , / C=40° AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q, 求證：AB+BP=BQ+AQ證明：如圖（1），過(guò) O 作 0D/ BC交 AB于 D, / ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80。，又/ AQO=/ C+/ QBC=80°, / ADO=/ AQO，又/ DAO=/

3、 QAO, OA=AO, ADOBA AQO,. OD=OQ, AD=AQ，又t OD/ BP,/ PBO=/ DOB，又/ PBO=/ DBO, / DBO=/ DOB, BD=OD,. AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ說(shuō)明：本題也可以在 AB截取AD=AQ,連0D,構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下:如圖（2），過(guò)0作0D/ BC交AC于D,則 ADOBA ABO來(lái)解決.如圖（3）,過(guò)0作DE/ BC交AB于D,交 AC于 £,則 ADOBA AQO,A ABOA AEO來(lái)解決.如圖（4）,過(guò)P作PD/ BQ交AB的延

4、長(zhǎng)線(xiàn)于D,則 APDB APC來(lái)解決.如圖（5），過(guò)P作PD/ BQ交AC于D,則 ABPBA ADP來(lái)解決.圖（5）（本題作平行線(xiàn)的方法還很多，感興趣）D的同學(xué)自己研究）.3 旋轉(zhuǎn)法對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線(xiàn)段時(shí)，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。例3.已知：如圖（6）,卩為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 PA=3, PB=4, PC=5,求/ APB的度數(shù).分析：直接求/ APB的度數(shù)，不易求，由 PA=3, PB=4, PC=5,聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形.C略解：將 BAP繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°至 ACD,連接PD,則 BAPBA ADC,. DC=BP=4AP=AD,/ PAD=6

5、0°,2 2 2圖（6）又 PC=5 PD +DC =PC PDC為 RtA , / PDC=90oA/ APB=/ ADC=/ ADP+/ PDC=60° +90o=150o.4.倍長(zhǎng)中線(xiàn)法題中條件若有中線(xiàn)，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。例4.如圖（7） AD是 ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE求證：AC=BF證明：延長(zhǎng) AD至H使DH=AD,連BH,v BD=CD,/ BDH=/ ADC, DH=DA,C BDHBA CDA BH=CA / H=/ DAC,又t AE=EF/ DAC=/ AFE,v/ AFE=/ BFD, / AFE=圖（7）/ BFD=/ DAC=/ H,. BF=BH, AC=BF5 .翻折法若題設(shè)中含有垂線(xiàn)、角的平分線(xiàn)等條件的，可以試用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來(lái)構(gòu)造全等三角形.例5.如圖（8）已知：在 ABC中，/ A=45o, AD丄BC,若 BD=3, DC=2,求： ABC的面積.解：以AB為軸將 ABD翻轉(zhuǎn)1800,得到與它全等的 ABE以AC為軸將 ADC翻轉(zhuǎn)1800,得到與它全等的 AFC, EB FC延長(zhǎng)線(xiàn)交于G,易證FG四邊形AEGF是