倍數(shù)和因數(shù)的教學(xué)建議

1、“倍數(shù)和因數(shù)”的教學(xué)建議蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材四年級（下冊）“倍數(shù)和因數(shù)”單元，教學(xué)非零自然數(shù)的一些特點(diǎn)以及相互關(guān)系，進(jìn)一步充實(shí)有關(guān)自然數(shù)的知識，并為教學(xué)分?jǐn)?shù)知識作些準(zhǔn)備。與過去的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容相比，本單元把“約數(shù)與倍數(shù)”改成“倍數(shù)和因數(shù)”，盡量使中小學(xué)的數(shù)學(xué)概念相銜接；兼顧學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系，重新組織知識體系，精簡了整除、質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等內(nèi)容，保留了學(xué)生必需掌握的基礎(chǔ)知識和基本方法,促進(jìn)學(xué)生主動建構(gòu)新知。本單元的知識結(jié)構(gòu)和編排線索如下：一、 在操作活動中得出乘法算式，舉一反三體會倍數(shù)和因數(shù)的意義倍數(shù)和因數(shù)的概念是本單元的重要知識，其他內(nèi)容的教學(xué)都以此為基礎(chǔ)。教材的例題先

2、安排了小組活動，讓學(xué)生用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，并用乘法算式把不同的拼法表示出來，之后教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)的意義。教材安排用正方形拼成長方形的活動引入倍數(shù)和因數(shù)有三點(diǎn)原因：第一，倍數(shù)和因數(shù)是抽象的數(shù)學(xué)概念，動手操作能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，有利于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。第二，倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的概念，共同反映非零自然數(shù)之間的關(guān)系。長方形里每行正方形的個數(shù)、擺的行數(shù)以及正方形的總個數(shù)三者之間蘊(yùn)含了這些關(guān)系，有助于學(xué)生體會概念的含義。第三，用同樣大的正方形拼成長方形這一活動，學(xué)生曾經(jīng)在三年級（下冊）的學(xué)習(xí)中進(jìn)行過，因而會有不同的拼法和思考，從而得出不同的乘法算式，為教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)的意義提供豐富的現(xiàn)

3、實(shí)素材。例題充分利用寫出的三道乘法算式教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)的意義，為學(xué)生設(shè)計(jì)了“接受、領(lǐng)會模仿、理解”的學(xué)習(xí)過程：先結(jié)合算式4 3 = 12 介紹“12是4的倍數(shù)，12也是3的倍數(shù)，4和3都是12的因數(shù)”，讓學(xué)生讀讀、想想這幾句話的意思，初步感受倍數(shù)和因數(shù)的意義是與乘法有聯(lián)系的，表達(dá)的是自然數(shù)之間的關(guān)系；接著要求學(xué)生根據(jù)6 2 = 12、12 1 = 12說說哪一個數(shù)是哪一個數(shù)的倍數(shù)（或因數(shù)），在遷移中進(jìn)一步認(rèn)識倍數(shù)和因數(shù)的意義。其中12是12的因數(shù)、1是12的因數(shù)，12是12的倍數(shù)等特例，為后面的教學(xué)掃除難點(diǎn)。研究倍數(shù)和因數(shù)，如果不排除0這個數(shù)，就會帶來一些既麻煩又沒有多大價值的問題，如“0是不是

4、其他自然數(shù)的倍數(shù)”，“0是不是0的因數(shù)”等，最主要的是會涉及到今后學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)的概念。所以，教材在第70頁的底注中作了說明：“所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)?！边@一規(guī)定不必對學(xué)生作解釋，只要教學(xué)時不涉及0就可以了?！跋胂胱鲎觥钡?、3題聯(lián)系實(shí)際問題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會倍數(shù)和因數(shù)的意義，體會倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系存在于具體的數(shù)量關(guān)系中。在填表之后要組織學(xué)生討論“茄子”和“白菜”卡通提出的問題，分別從“乘坐人數(shù) 4 = 應(yīng)付元數(shù)”和“每排人數(shù) 排數(shù) = 24”的角度進(jìn)行解釋。二、 應(yīng)用倍數(shù)和因數(shù)的概念，探索找一個數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的方法找一個數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)，既能鞏固倍數(shù)和因數(shù)的概念，也為研究2、5、3的倍數(shù)的特

5、征以及建構(gòu)素?cái)?shù)和合數(shù)的意義作準(zhǔn)備。探索找一個數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的方法，教學(xué)重點(diǎn)是建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型解釋應(yīng)用”的過程。第71頁的兩道例題分別教學(xué)找3的倍數(shù)、36的因數(shù)，利用“你能找出多少個3的倍數(shù)”和“你能找出36的所有因數(shù)嗎”這些有挑戰(zhàn)性的問題，鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索。教學(xué)找3的倍數(shù)，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)3的倍數(shù)的意義建立“3 （ ） = （ ）”這一數(shù)學(xué)模型，依次得到3 1 = 3、3 2 = 6并在從小到大有序地寫出3的倍數(shù)過程中，體會3的倍數(shù)有無數(shù)多個。教學(xué)找36的因數(shù)，可引導(dǎo)學(xué)生先想什么樣的數(shù)是36的因數(shù)，從“（） （ ） = 36”推出“36 （ ） = （ ）”的

6、模型。為了不重復(fù)、不遺漏地找到36的全部因數(shù)，除數(shù)可依次選1、2、3進(jìn)行嘗試。先通過已經(jīng)寫出的36 1 = 36和36 2 = 18，體會在沒有余數(shù)的除法算式中，每次計(jì)算能找到36的兩個因數(shù)；再通過36 3 =（ ）和36 （ ） =（ ），試著自己找36的因數(shù)，體會在有余數(shù)的除法算式中，除數(shù)和商都不是被除數(shù)的因數(shù)；最后在36 6 = 6這道算式中，看到它的除數(shù)和商相同，體會根據(jù)這道算式只能找到36的一個因數(shù)，而且找到這個算式就找出36的所有因數(shù)了。教材在兩道例題之后各安排一次“試一試”，既能幫助學(xué)生及時鞏固在例題里學(xué)習(xí)找一個數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)的方法，又能為學(xué)生提供更多發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)的規(guī)律

7、的素材。這樣安排，使得一個數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)的規(guī)律不再是機(jī)械記憶的知識，而是學(xué)生在充分經(jīng)歷找倍數(shù)和因數(shù)的過程中形成的體驗(yàn)。這些體驗(yàn)，豐富了學(xué)生對倍數(shù)和因數(shù)概念的認(rèn)識。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）明確要求：在1100的自然數(shù)中，找出10以內(nèi)某個自然數(shù)的所有倍數(shù)；在1100的自然數(shù)中，找出某個自然數(shù)的所有因數(shù)。教材在編排練習(xí)題時，嚴(yán)格遵守這些規(guī)定。第73頁第5題寫7的倍數(shù)，只要從小到大寫出若干個，并用省略號表示個數(shù)無限。而6的倍數(shù)，只要寫出40以內(nèi)的。第8題讓學(xué)生體會倍數(shù)、因數(shù)是相對的，如16是8的倍數(shù)，16又是48的因數(shù)。在說倍數(shù)與因數(shù)的時候，要表達(dá)完整，不能說成“16是倍數(shù)”或“16是因數(shù)”。三、 選擇

8、適宜的方式教學(xué)2、5、3的倍數(shù)的特征教學(xué)2、5、3的倍數(shù)的特征，能進(jìn)一步理解倍數(shù)的意義，掌握找一個數(shù)的倍數(shù)的方法，還能發(fā)展抽象思維，培養(yǎng)探索規(guī)律的能力。2和5的倍數(shù)的特征都表現(xiàn)在數(shù)的個位上，比較明顯，容易發(fā)現(xiàn)。教材編排了一道例題，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、比較、分析，主動發(fā)現(xiàn)和歸納特征。例題呈現(xiàn)了百數(shù)表，讓學(xué)生在百數(shù)表里5的倍數(shù)上畫“”，2的倍數(shù)上畫“”。先觀察5的倍數(shù)，個位上的數(shù)是5或0，再把視線轉(zhuǎn)移到2的倍數(shù)上，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)個位上的數(shù)是2、4、6、8或0。最后，學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)，百數(shù)表里有一列數(shù)上畫了“”，也畫了“”，這些數(shù)既是5的倍數(shù)，也是2的倍數(shù)。在教學(xué)2的倍數(shù)特征的基礎(chǔ)上，教材介紹了偶數(shù)和奇

9、數(shù)的概念。3的倍數(shù)的特征比較隱蔽，學(xué)生一般想不到從“各位上數(shù)的和”去研究，教材注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索的過程。首先，在百數(shù)表里圈出3的倍數(shù)，這些數(shù)的個位上有的是1，有的是2，還有3、48、9、0。讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征與2和5的倍數(shù)不同，不表現(xiàn)在數(shù)的個位上。在此基礎(chǔ)上，利用計(jì)數(shù)器轉(zhuǎn)移探索的方向。讓學(xué)生從百數(shù)表里找出幾個大小不同的3的倍數(shù)，并在計(jì)數(shù)器上表示出來，看看各用了幾顆珠，發(fā)現(xiàn)在計(jì)數(shù)器上表示3的倍數(shù)，所用的數(shù)珠是3顆、6顆、9顆、12顆數(shù)珠的顆數(shù)都是3的倍數(shù)。在各個計(jì)數(shù)器下面的加法算式2 + 7 = 9、4 + 2 = 6、7 + 5 = 12，算的是撥出每個數(shù)所用數(shù)珠的顆數(shù)，也是每個數(shù)

10、各位上數(shù)的和。把數(shù)珠顆數(shù)抽象成各位上數(shù)的和，是理解3的倍數(shù)特征的關(guān)鍵?！霸囈辉嚒笔墙虒W(xué)的第三步，如果一個數(shù)不是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)各位上數(shù)的和不是3的倍數(shù)。利用反例進(jìn)一步證實(shí)3的倍數(shù)的特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生掌握2、5、3的倍數(shù)的特征，教材在兩次“想想做做”中都設(shè)計(jì)了有層次的練習(xí)。第一層次是前兩題，讓學(xué)生根據(jù)特征直接作出判斷；第二層次是應(yīng)用特征開展簡單的推理活動，發(fā)展思維。如，在0、5、6、7四張數(shù)字卡片中選出兩張組成偶數(shù)，學(xué)生只要根據(jù)2的倍數(shù)的特征，思考四張數(shù)字卡片中能放在個位上的只有0或6，如果把0放在個位上，可以組成50、60、70三個偶數(shù)；如果把6

11、放在個位上，可以組成56、76兩個偶數(shù)。又如，在0、5、6、7四張數(shù)字卡片中選出三張組成3的倍數(shù)的三位數(shù)，解決這個問題既應(yīng)用了3的倍數(shù)的特征，又利用了第六單元“找規(guī)律”里獲得的知識和經(jīng)驗(yàn)。四、 引導(dǎo)建構(gòu)對素?cái)?shù)和合數(shù)的認(rèn)識素?cái)?shù)和合數(shù)的知識是在找一個數(shù)的因數(shù)的基礎(chǔ)上安排的。大于1的自然數(shù)，不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。第78頁的例題先讓學(xué)生分別寫出2、3、5、6、8、9這六個數(shù)的所有因數(shù)，不但復(fù)習(xí)了舊知識，還體會了各個數(shù)的因數(shù)個數(shù)有時并不相同，從而產(chǎn)生研究自然數(shù)的因數(shù)個數(shù)的需求。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生把六個數(shù)按因數(shù)的個數(shù)分類，進(jìn)一步了解有些自然數(shù)只有兩個因數(shù)，有些自然數(shù)的因數(shù)超過兩個。在把六個數(shù)分類的時候，可讓學(xué)

12、生適當(dāng)嘗試，然后引導(dǎo)學(xué)生明確教材分類的標(biāo)準(zhǔn)，體會這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性。教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生討論只有兩個因數(shù)的數(shù)，它們的因數(shù)有什么特點(diǎn)。突出兩個因數(shù)中一個因數(shù)是1，另一個因數(shù)是它本身，這樣的數(shù)叫素?cái)?shù)；如果一個數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)。最后，還要讓學(xué)生體會為什么1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)，進(jìn)一步明確素?cái)?shù)和合數(shù)概念的內(nèi)涵。“試一試”和“想想做做”第1題，都要先寫出一些自然數(shù)的所有因數(shù)，再指出它們是素?cái)?shù)還是合數(shù)，幫助學(xué)生重溫素?cái)?shù)和合數(shù)概念形成的過程，學(xué)會判斷一個自然數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)的基本方法。第2題用“篩法”在250的自然數(shù)中逐漸去掉合數(shù)，剩下素?cái)?shù)。在劃掉2、3、5、7的倍數(shù)的時候，要提醒學(xué)生把2、3、5、7這四個數(shù)留下來不能劃去，并體會劃去的都是什么數(shù)，留下的又是什么數(shù)，還要看一看50以內(nèi)有哪些素?cái)?shù)，盡量記憶20以內(nèi)的素?cái)?shù)。第3題在給定的自然數(shù)中辨認(rèn)素?cái)?shù)和合數(shù)，可以根據(jù)素?cái)?shù)和合數(shù)的概念分析每個數(shù)各有幾個因數(shù)，作出相應(yīng)的判斷。其實(shí)，對于某個自然數(shù)，只要在1和它本身外，再找到一個因數(shù)，就能確定這個自然數(shù)是合數(shù)。也可以對照第2題數(shù)表里劃掉的數(shù)和留下的數(shù)回答問題。本單元教學(xué)的概念比較多，有些概念往往會相互混淆，如質(zhì)數(shù)與奇數(shù)，合數(shù)與偶數(shù)。第81頁第6題在120的數(shù)表中畫“”圈出所有素?cái)?shù)，畫“”圈出所有偶數(shù)，復(fù)習(xí)了素?cái)?shù)和偶數(shù)的意義。在2的上面既