一元二次方程知識點總結(jié)及典型習(xí)題

1、一元二次方程、本章知識結(jié)構(gòu)框圖數(shù)學(xué)問題2 axbx c 0(a0)設(shè)未知數(shù)，列方程開平方法配方法公式法實際問題的答案分解因式法數(shù)學(xué)問題的解xb y'b2 4ac2a二、具體容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)2(1)明確只有當(dāng)二次項系數(shù) a 0時，整式萬程ax bx c 0才是一元二次方程。(2)各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù) ).(3)熟練整理方程的過程3 . 一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解4 .列出實際問題的一元二次方程(

2、二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個問題：22(1)開平萬法：對于形如x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解 形如x2 n的方程的解法:當(dāng)n 0時，x當(dāng) n 0 時，入 X2 0;當(dāng)n 0時，方程無實數(shù)根。2(2)配萬法：通過配萬的萬法

3、把一兀二次萬程轉(zhuǎn)化為(x m)n的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x m)2 n的形式；求解：若n 0時，方程的解為x m 布，若n 0時，方程無實數(shù)解。(3)公式法：一元二次方程2ax bx c 0(a 0)的根 xb b2 4ac2a當(dāng)b2 4ac 0時，方程有兩個實數(shù)根2當(dāng)b 4ac 0時，萬程有兩個實數(shù)根當(dāng)b2 4ac 0時，方程無實數(shù)根.,且這兩個實數(shù)根不相等；，且這兩個實數(shù)根相等，寫為 x

4、i x22a，公式法的一般步驟： 把一元二次方程化為一般式； 確定a,b,c的值；代入b2 4ac中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；若b2 4ac 0代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。(因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一 元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0,那么這兩個因式至少有一個為0,即:若 ab 0,貝U a 0或b 0；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得 到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程

5、的解可得到原方程的兩個解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次 根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；(2)對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。(三)、根的判別式1. 了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值圍。.2.1

6、 1)=b 4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程2ax bx c 0 ( a 0)_ , a當(dāng)方程有實數(shù)根;a方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根；)當(dāng)a方程無實數(shù)根;從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。(四)相關(guān)練習(xí)(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的項與各項系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：2(1) 5x 2 3x(2) 2 6x2 15x 0(3) 3y(y 1) 7(y 2) 5(4) (m m)(m . m) (m 2)2 7 5m(5) (5a 1)24(a 3)22 .應(yīng)用一元二次方程

7、的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(x 8)(1) m為何值時，關(guān)于 x的方程(m J2)xm(m 3)x 4m是一元二次方程。(m 五)(2)若分式3 .由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2 xa210有一個根為0,則a (a 1)2(2)已知關(guān)于x的一兀二次萬程ax bxc0(a 0)有一個根為1, 一個根為1,則ab c a b c (0, 0)22(3)已知c為實數(shù)，并且關(guān)于x的一兀二次方程 x 3x c 0的一個根的相反數(shù)是方程 x 3x c的一個根，求方程 x2 3x c 0的根及c的值。(0,-3, c=0 )(二)一元二次方程的解法1.開平方法解下

8、列方程：(2) 169(x 3)22892(3) y2 361 0(1) 5x2 125 0(4) (1 J3)m202.配方法解方程：(1) x2 2x 5 02 y 5y 1 02 2y 4y 33.公式法解下列方程:一 2 一 一(1) 3x 6x 22(2) p 3 2,3p,、r 2(3) 7y 11y2(4) 9n 5n 2(5) x 2 (x 2)(2x 1) 34.因式分解法解下列方程:1 2(1 x 9 042(2) y 4y 45 0(3) 8x2 10x 3 02(4) 7x2.21x 0(5) 6x2 3 3x 2、2x -6， 一、2(6) (x 5)2(x 5) 1

9、(x2 3x)2 2(x2 3) 85.解法的靈活運用（用適當(dāng)方法解下列方程）(1) .2(2x 7:128222(2) 2m m 1 2(m2m)(3) 6x(x 2) (x 2)(x 3)(3)y2 3y(3 2y) y(3y 1)23(4) 81(2x 5)2144(x 3)26.解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于x的方程）：/、2 c22 c(1) x 2mx m n 02_2_,(2) x 3a 4ax 2a 12(3) (m n)x 2nx m n2 , 2(4) a (xx 1) a(x2 1) (a2 1)x（三）一元二次方程的根的判別式1.不解方程判別方程根的情況： 4x2 5 4.5x（1） 4x2 x 3 7x 3（x2 2） 4x2 一一一2.k為何值時，關(guān)于x的二次方程kx 6x90(1)有兩個不等的實數(shù)根(2)有兩個相等的實數(shù)根(3)無實數(shù)根23.已知關(guān)于x的萬程 4x(m 2