2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：3.4　基本不等式：ab≤a＋b2 Word版含解析

1、34基本不等式：目標(biāo) 1.了解基本不等式的代數(shù)式和幾何背景；2.會(huì)用基本不等式進(jìn)行代數(shù)式大小的比較及證明不等式；3.會(huì)用基本不等式求最值和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題重點(diǎn) 基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用難點(diǎn) 基本不等式的理解與應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一 兩個(gè)不等式 填一填1重要不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立2基本不等式：如果a，br，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立其中為a，b的算術(shù)平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù)所以兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)答一答1不等式a2b22ab和基本不等式成立的條件有什么不同？提示：不等式a2b22ab對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都成立；中要求a，b都是正實(shí)數(shù)知

2、識(shí)點(diǎn)二 基本不等式與最值 填一填已知x，y都是正數(shù)，(1)若xys(和為定值)，則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值 (2)若xyp(積為定值)，則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值答一答2利用基本不等式求最值時(shí)，我們應(yīng)注意哪些問題？提示：(1)在利用基本不等式具體求最值時(shí)，必須滿足三個(gè)條件：各項(xiàng)均為正數(shù)；含變數(shù)的各項(xiàng)的和(或積)必須是常數(shù)；當(dāng)含變數(shù)的各項(xiàng)均相等時(shí)取得最值三個(gè)條件可簡(jiǎn)記為：一正、二定、三相等這三個(gè)條件極易遺漏而導(dǎo)致解題失誤，應(yīng)引起足夠的重視(2)記憶口訣：和定積最大，積定和最小3在多次使用基本不等式求最值時(shí)，我們應(yīng)注意什么問題？提示：在連續(xù)多次應(yīng)用基本不等式時(shí)，我們要注意各次應(yīng)用時(shí)不等式取等號(hào)

3、的條件是否一致，若不能同時(shí)取等號(hào)，則需換用其他方法求出最值4兩個(gè)正數(shù)的積為定值，它們的和一定有最小值嗎？提示：不一定應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)還要求等號(hào)能取到如sinx與，x(0，)，兩個(gè)都是正數(shù)，乘積為定值但是由0<sinx<1，且sinx在(0,1)上為減函數(shù)，所以sinx>15，等號(hào)不成立，取不到最小值類型一 利用基本不等式證明不等式例1(1)已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：abc>.(2)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：8.分析(1)左邊是和式，右邊是帶根號(hào)的積式之和，所以用基本不等式，將和變積，并證得不等式(2)不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左

4、邊因式分別使用基本不等式，可得三個(gè)“2”連乘，又1，可由此變形入手證明(1)a>0，b>0，c>0，ab2>0，bc2>0，ca2>0.2(abc)2()，即abc.由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立abc>.(2)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，1，同理1，1.由上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得··8.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立1.利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果.2.注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取

5、到.3.解題時(shí)要注意技巧，當(dāng)不能直接利用不等式時(shí)，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿足能使用基本不等式的形式.變式訓(xùn)練1已知a>0，b>0，c>0，且abc1.求證：9.證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，且abc1，所以3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)類型二 利用基本不等式求最值例2(1)若x>0，求f(x)4x的最小值；(2)設(shè)0<x<，求函數(shù)y4x(32x)的最大值；(3)已知x>2，求x的最小值；(4)已知x>0，y>0，且1，求xy的最小值分析利用基本不等式求最值，當(dāng)積或和不是定值時(shí)，通過變形使其和或積為定值

6、，再利用基本不等式求解解(1)x>0，由基本不等式得f(x)4x2212，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x時(shí)，f(x)4x取最小值12.(2)0<x<，32x>0，y4x(32x)22x(32x)22.當(dāng)且僅當(dāng)2x32x，即x時(shí)取“”y的最大值為.(3)x>2，x2>0，x(x2)2226.當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時(shí)，x取最小值6.(4)x>0，y>0，1，xy(xy)1010216.當(dāng)且僅當(dāng)且1時(shí)等號(hào)成立即x4，y12時(shí)等號(hào)成立當(dāng)x4，y12時(shí)，xy有最小值16.求最值問題第一步就是“找”定值，觀察、分析、構(gòu)造定值是問題的突破口.找到定值后還要看“”是否成立，不

7、管題目是否要求寫出符號(hào)成立的條件，都要驗(yàn)證“”是否成立.變式訓(xùn)練2(1)已知lgalgb2，求ab的最小值；(2)已知x>0，y>0，且2x3y6，求xy的最大值解：(1)由lgalgb2可得lgab2，即ab100，且a>0，b>0，因此由基本不等式可得ab2220，當(dāng)且僅當(dāng)ab10時(shí)，ab取到最小值20.(2)x>0，y>0,2x3y6，xy(2x·3y)·2·2，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y，且2x3y6時(shí)等號(hào)成立，即x，y1時(shí)，xy取到最大值.類型三 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例3特殊運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按規(guī)定

8、限制50x100(單位：千米/時(shí))假設(shè)汽油的價(jià)格是每升6元，而送貨卡車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)140元(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值解(1)設(shè)所用時(shí)間為t(小時(shí))，y×6×140×，x50,100所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y，x50,100(2)y，當(dāng)且僅當(dāng)，即x450,100時(shí)，等號(hào)成立故當(dāng)x4千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為元解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按

9、如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)正確寫出答案. 變式訓(xùn)練3要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是160(單位：元)解析：設(shè)該長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為x m，則寬為 m又設(shè)該容器的總造價(jià)為y元，則y20×42×10，即y8020(x>0)因?yàn)閤24，所以ymin8020×4160(元)1給出下列條

10、件：ab>0；ab<0；a>0，b>0；a<0，b<0，其中能使2成立的條件有(c)a1個(gè) b2個(gè)c3個(gè) d4個(gè)解析：當(dāng)，均為正數(shù)時(shí)，2，故只須a、b同號(hào)即可所以、均可以2若a，br，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(d)aa2b2>2ab bab2c> d2解析：a，br，且ab>0，>0，>0，22.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取等號(hào)3設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值為(b)a6 b4c2 d8解析：2a2b224.4已知0<x<1，則當(dāng)x時(shí)，x(33x)取最大值為.解析：3x(1x)3()2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x即x時(shí)等號(hào)成立5已知a>0，b>0，c>0，求證：(1)6；(2)··8.證明：(1)()()()2226(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)(2)····8(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)本課須掌握的兩大問題1基本不等式成立的條件：a>0且b>0；其中等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，即若ab時(shí)，則，即只能有<.2利用基本不等式求最值，必須