mathematics第7講

1、軟 件 介 紹第7講 數(shù)列與級(jí)數(shù)2/637.1 引言引言極限是微積分中最重要的基本內(nèi)容之一。遠(yuǎn)在公元前極限是微積分中最重要的基本內(nèi)容之一。遠(yuǎn)在公元前3世紀(jì)，古希臘人阿基米德就采用了數(shù)列極限的思想來世紀(jì)，古希臘人阿基米德就采用了數(shù)列極限的思想來計(jì)算曲邊三角形的面積。計(jì)算曲邊三角形的面積。本講的目的是通過計(jì)算機(jī)來發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律與極限狀本講的目的是通過計(jì)算機(jī)來發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律與極限狀態(tài)的性質(zhì)。態(tài)的性質(zhì)。3/637.1 引言引言所謂一個(gè)無窮數(shù)列是指按一定順序排列的一組數(shù)所謂一個(gè)無窮數(shù)列是指按一定順序排列的一組數(shù)a1，a2，an， (1)而一個(gè)無窮級(jí)數(shù)則是由無窮項(xiàng)構(gòu)成的和式而一個(gè)無窮級(jí)數(shù)則是由無窮項(xiàng)構(gòu)成的

2、和式. (2)數(shù)列與極限有著密不可分的關(guān)系。數(shù)列與極限有著密不可分的關(guān)系。給定一個(gè)無窮級(jí)數(shù)給定一個(gè)無窮級(jí)數(shù)(2)，它唯一確定了一個(gè)無窮數(shù)列，它唯一確定了一個(gè)無窮數(shù)列S1，S2，.其中其中Sn = a1+an，n = 1，2，。.211 aaann4/637.1 引言引言所謂一個(gè)無窮數(shù)列是指按一定順序排列的一組數(shù)所謂一個(gè)無窮數(shù)列是指按一定順序排列的一組數(shù)a1，a2，an， (1)而一個(gè)無窮級(jí)數(shù)則是由無窮項(xiàng)構(gòu)成的和式而一個(gè)無窮級(jí)數(shù)則是由無窮項(xiàng)構(gòu)成的和式. (2)數(shù)列與極限有著密不可分的關(guān)系。數(shù)列與極限有著密不可分的關(guān)系。反之，給定一個(gè)無窮數(shù)列反之，給定一個(gè)無窮數(shù)列(1)，它也唯一地確定了一個(gè)，它也

3、唯一地確定了一個(gè)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù) ，這里，這里b1= a1, bn = an an-1, n = 2, 3, 。而且無窮級(jí)數(shù)的和就是相應(yīng)的無窮數(shù)列的極限而且無窮級(jí)數(shù)的和就是相應(yīng)的無窮數(shù)列的極限.因此，無窮數(shù)列與無窮級(jí)數(shù)是可以轉(zhuǎn)化的。因此，無窮數(shù)列與無窮級(jí)數(shù)是可以轉(zhuǎn)化的。.211 aaann 1nnb5/637.1 引言引言對(duì)于給定的數(shù)列對(duì)于給定的數(shù)列an, 需要研究的問題是：需要研究的問題是：(1) 數(shù)列數(shù)列an有什么規(guī)律和性質(zhì)。有什么規(guī)律和性質(zhì)。(2) 當(dāng)當(dāng)n時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列an的極限是什么。的極限是什么。(3) 如果極限是無窮大如果極限是無窮大,那么它趨向于無窮大的階是多大那么它趨向于無窮

4、大的階是多大(4) 如果數(shù)列的極限不存在如果數(shù)列的極限不存在, 那么它在無窮大時(shí)的極限那么它在無窮大時(shí)的極限狀態(tài)怎樣狀態(tài)怎樣?對(duì)于給定一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，也具有以上類似的問題。對(duì)于給定一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，也具有以上類似的問題。本講首先以斐波那契數(shù)列和調(diào)和級(jí)數(shù)為例來探討上述本講首先以斐波那契數(shù)列和調(diào)和級(jí)數(shù)為例來探討上述問題，然后討論自然對(duì)數(shù)的底問題，然后討論自然對(duì)數(shù)的底e。6/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.1 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的由來數(shù)列的由來13世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作算盤算盤書書中記載著這樣

5、一個(gè)問題：中記載著這樣一個(gè)問題：一對(duì)剛出生的幼兔經(jīng)過一個(gè)月后可長成成兔，成兔再一對(duì)剛出生的幼兔經(jīng)過一個(gè)月后可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個(gè)月后可以繁殖出一對(duì)幼兔。假設(shè)兔子不會(huì)死經(jīng)過一個(gè)月后可以繁殖出一對(duì)幼兔。假設(shè)兔子不會(huì)死亡，問一年后總共有多少對(duì)兔子亡，問一年后總共有多少對(duì)兔子?易知，兔子總數(shù)為以下數(shù)列：易知，兔子總數(shù)為以下數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，7/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.1 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的由來數(shù)列的由來易知，兔子總數(shù)為以下數(shù)列：易知，兔子總數(shù)為以下數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21

6、，34，55，89，其遞推關(guān)系式由其遞推關(guān)系式由 Fn+2=Fn+1+Fn，n= 1，2，F(xiàn)1 = 1，F(xiàn)2 = 1 (3)給出，該數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列。給出，該數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列。8/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列 Fn+2=Fn+1+Fn，n= 1，2，F(xiàn)1 = 1，F(xiàn)2 = 1 (3)該數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列。該數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列。p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限為考察斐波那契數(shù)列的極限與規(guī)律，我們用計(jì)算機(jī)算為考察斐波那契數(shù)列的極限與規(guī)律，我們用計(jì)算機(jī)算出斐波那契數(shù)列每一項(xiàng)的值，并在平面上畫出順次連出斐波那契數(shù)列每一項(xiàng)的值，并在平面

7、上畫出順次連接點(diǎn)接點(diǎn)(n，F(xiàn)n)，n=1，2，N的折線圖，其中的折線圖，其中N是一個(gè)是一個(gè)大整數(shù)。大整數(shù)。9/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限【例【例7-1】取】取N=20，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。輸入如下輸入如下Mathematica程序：程序：fn_ := fn - 1 + fn - 2; f0 = 1; f1 = 1;fib = Tablefi, i, 1, 20;g1 = ListPlotfib, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPlotfib

8、, PlotJoined - True;Showg1, g2;10/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限【例【例7-1】取】取N=20，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。輸入如下輸入如下Mathematica程序：程序：fib = TableFibonaccii, i, 1, 20;g1 = ListPlotfib, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPlotfib, PlotJoined - True;Showg1, g2;11/637.2 斐波那契斐波那契(Fib

9、onacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限【例【例7-1】取】取N=20，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。斐波那契數(shù)列的折線圖：斐波那契數(shù)列的折線圖： 12/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限練習(xí)練習(xí) 分別取分別取N = 50, 100, 200, 500，觀察斐波那契數(shù)列，觀察斐波那契數(shù)列的折線圖。斐波那契數(shù)列是否單調(diào)遞增的折線圖。斐波那契數(shù)列是否單調(diào)遞增?它是否趨向于它是否趨向于無窮無窮?它增加的速度是快還是慢它增加的速度是快還是慢?13/637.2 斐波那契斐波那

10、契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限為進(jìn)一步研究斐波那契數(shù)列為進(jìn)一步研究斐波那契數(shù)列Fn的特性，將的特性，將Fn取對(duì)數(shù)，取對(duì)數(shù)，在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接點(diǎn)(n，lnFn)，n = 1，2，N的折線圖的折線圖14/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限【例【例7-2】取】取n = 20，畫出，畫出(n，lnFn)的折線圖，并對(duì)以的折線圖，并對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接(n，lnFn)，n =

11、1，2，20的折線圖。的折線圖。fib = TableFibonaccii, i, 1, 20;lgf = Logfib;g1 = ListPlotlgf, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPiotlgf, PlotJoined - True;Showg1, g2;15/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.2 斐波那契數(shù)列的極限斐波那契數(shù)列的極限【例【例7-2】取】取n = 20，畫出，畫出(n，lnFn)的折線圖，并對(duì)以的折線圖，并對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接在直角坐標(biāo)系中畫出順次連接(n

12、，lnFn)，n = 1，2，20的折線圖。的折線圖。16/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.3 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式斐波那契數(shù)列滿足遞推關(guān)系斐波那契數(shù)列滿足遞推關(guān)系Fn+2 = Fn+1 + Fn (3)稱這樣的遞推關(guān)系為二階線性稱這樣的遞推關(guān)系為二階線性(齊次齊次)差分方程。差分方程。怎樣尋找斐波那契數(shù)列精確的通項(xiàng)公式呢怎樣尋找斐波那契數(shù)列精確的通項(xiàng)公式呢?17/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.3 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)前面的觀察，可以猜測數(shù)列根據(jù)前面的觀察，可以猜測數(shù)列

13、Fn的通項(xiàng)具有指數(shù)形的通項(xiàng)具有指數(shù)形式，不妨設(shè)式，不妨設(shè)Fn = n，將，將Fn = n代入遞推關(guān)系式代入遞推關(guān)系式(3)，得到，得到 n+2 = n+1 + n。消去非零因子消去非零因子 n，有，有 2= +1。從而解得。從而解得設(shè)設(shè)Fn = c1 1n + c2 2n ，代入，代入(3)式，并由式，并由F1 = 1，F(xiàn)2 = 1即即可確定常數(shù)可確定常數(shù)c1和和c2為為251,25121 2211515251,511055 cc18/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.3 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)設(shè)Fn = c1 1n + c2 2n ，

14、代入，代入(3)式，并由式，并由F1 = 1，F(xiàn)2 = 1即即可確定常數(shù)可確定常數(shù)c1和和c2為為因此，斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為因此，斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (4)251,25121 2211515251,511055 cc 11221125125151)(51nnnnnF 19/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.4 斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子斐波那契數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象，如植物的枝干斐波那契數(shù)列與自然界中的許多現(xiàn)象，如植物的枝干與葉子的生長，有密切聯(lián)系。與葉子的生長，有密切聯(lián)系。它在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)極為成功的應(yīng)用是協(xié)助蘇聯(lián)數(shù)它在純數(shù)學(xué)

15、領(lǐng)域的一個(gè)極為成功的應(yīng)用是協(xié)助蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂雅舍維奇解決了著名的希爾伯特學(xué)家馬蒂雅舍維奇解決了著名的希爾伯特(Hilbert)第十第十問題。問題。此外，它在優(yōu)化、運(yùn)籌以及計(jì)算機(jī)科學(xué)與藝術(shù)領(lǐng)域都此外，它在優(yōu)化、運(yùn)籌以及計(jì)算機(jī)科學(xué)與藝術(shù)領(lǐng)域都有著極大的應(yīng)用價(jià)值，下面給出斐波那契數(shù)列的幾個(gè)有著極大的應(yīng)用價(jià)值，下面給出斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子。例子。20/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.4 斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子(蜜蜂的蜜蜂的“家譜家譜”)蜜蜂的繁殖規(guī)律十分有趣。蜂后所產(chǎn)的卵，受精的孵蜜蜂的繁殖規(guī)律十分有趣。蜂后所產(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂化為雌蜂

16、(即工蜂或蜂后即工蜂或蜂后)，未受精的孵化為雄蜂。，未受精的孵化為雄蜂。在追溯雄蜂的家譜時(shí)，一只雄蜂的第在追溯雄蜂的家譜時(shí)，一只雄蜂的第n代子孫數(shù)目剛好代子孫數(shù)目剛好就是斐波那契數(shù)列的第就是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)項(xiàng)Fn。21/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.4 斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子(樹的分枝樹的分枝)如果一棵樹每年都在生長，第二年有兩個(gè)分枝，通常如果一棵樹每年都在生長，第二年有兩個(gè)分枝，通常第 三 年 就 有 三 個(gè) 分 枝 ， 第 四 年 五 個(gè) ， 第 五 年 八第 三 年 就 有 三 個(gè) 分 枝 ， 第 四 年 五 個(gè) ， 第 五

17、 年 八個(gè)，個(gè)，每年的分枝數(shù)都是斐波那契數(shù)。每年的分枝數(shù)都是斐波那契數(shù)。22/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.4 斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子(楊輝三角形與斐波那契數(shù)列楊輝三角形與斐波那契數(shù)列)把楊輝三角形中的數(shù)據(jù)排列在表格中，自左下至右上把楊輝三角形中的數(shù)據(jù)排列在表格中，自左下至右上斜線相加，就可以得到斐波那契數(shù)列，如表斜線相加，就可以得到斐波那契數(shù)列，如表23-1所示。所示。楊輝三角形與斐波那契數(shù)列楊輝三角形與斐波那契數(shù)列112358132111112113311464115101051161520156117213535217123/6

18、37.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)數(shù)列數(shù)列p7.2.4 斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子斐波那契數(shù)列的幾個(gè)例子練習(xí)練習(xí)4 對(duì)斐波那契數(shù)列，設(shè)對(duì)斐波那契數(shù)列，設(shè)觀察數(shù)列觀察數(shù)列g(shù)n的變化趨勢。的變化趨勢。1 nnnFFg24/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.1 調(diào)和級(jí)數(shù)的定義調(diào)和級(jí)數(shù)的定義我們熟知，數(shù)學(xué)分析中的我們熟知，數(shù)學(xué)分析中的p-級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)： (5)當(dāng)當(dāng)p 1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散。時(shí)發(fā)散。特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)p = 1時(shí)，級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)(5)稱為調(diào)和級(jí)數(shù)。稱為調(diào)和級(jí)數(shù)。 11npn25/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度一個(gè)令人

19、感興趣的問題是，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到無窮的速一個(gè)令人感興趣的問題是，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散到無窮的速度有多快度有多快?或者說數(shù)列或者說數(shù)列趨于無窮的速度有多快趨于無窮的速度有多快?一個(gè)直觀的方法仍然是畫出由點(diǎn)一個(gè)直觀的方法仍然是畫出由點(diǎn)(n，Sn)，n = 1，2，N構(gòu)成的折線圖。構(gòu)成的折線圖。nSn1.31211 26/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快

20、?取取n = 30，分別畫出調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖、與，分別畫出調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖、與的比較圖如下。的比較圖如下。4,xyxyxy 4,xyxyxy 27/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?Clearn; sn_ := NSum1/i, i, n; n = 30;sn = Tablesi, i, 1, n;g1 = ListPlotsn, Plo

21、tStyle - PointSize0.02, DisplayFunction - Identity;g2 = ListPlotsn, PlotJoined - True, DisplayFunction - Identity;g3 = Showg1, g2, DisplayFunction - $DisplayFunction;4,xyxyxy 28/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖

22、形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?4,xyxyxy 29/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?4,xyxyxy 30/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)散的

23、速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?f1x_ := x; f2x_ := Sqrtx; f3x_ := x(1/4);gf1 = Plotf1x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction - Identity;gf2 = Plotf2x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor0, 1, 0, DisplayFunction - Identity;gf3 = Plotf3x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1,

24、DisplayFunction - Identity;4,xyxyxy 31/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?4,xyxyxy 32/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺得它發(fā)

25、散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?Showg3, gf1, DisplayFunction - $DisplayFunction;Showg3, gf2, DisplayFunction - $DisplayFunction;Showg3, gf3, DisplayFunction - $DisplayFunction;4,xyxyxy 33/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你，觀察調(diào)和級(jí)數(shù)的折線圖。你覺得它發(fā)散的速度是快還是慢覺

26、得它發(fā)散的速度是快還是慢?將它的圖形與將它的圖形與作比較，誰的發(fā)散速度快作比較，誰的發(fā)散速度快?4,xyxyxy 34/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度從以上結(jié)果可看出，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的速度較慢。但是，從以上結(jié)果可看出，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的速度較慢。但是，它到底以什么樣的速度發(fā)散到無窮它到底以什么樣的速度發(fā)散到無窮?讓我們再做下面的讓我們再做下面的練習(xí)。練習(xí)。35/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度練習(xí)練習(xí)5 對(duì)充分大的一系列對(duì)充分大的一系列n，計(jì)算，計(jì)算S2n Sn，你能否猜測，你能否猜測出出S2n Sn當(dāng)當(dāng)n

27、趨于無窮的極限趨于無窮的極限?更一般地，更一般地， 趨于無窮的速度是什么趨于無窮的速度是什么?反過來，反過來，固定固定n，讓，讓k趨于無窮，趨于無窮， 趨于無窮的速度是什么趨于無窮的速度是什么?你你能否由此得出能否由此得出Sn當(dāng)當(dāng)n趨于無窮的極限階趨于無窮的極限階?nnSSk 2nkS236/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度感覺級(jí)數(shù)增長速度的一種方法是定義函數(shù)感覺級(jí)數(shù)增長速度的一種方法是定義函數(shù)J(n)，它是不，它是不小于級(jí)數(shù)部分和小于級(jí)數(shù)部分和的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。例如例如J(1) = 1，J(3) = 2，J(4) = 3。sn_:=NSum

28、1/i, i, n;jn_:=Ceilingsn;nSn1.31211 37/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度練習(xí)練習(xí)6 對(duì)對(duì)n = 1，2，N(N是某個(gè)較大整數(shù)是某個(gè)較大整數(shù))，計(jì)算，計(jì)算J(2n) J(n)。你能作出什么猜測。你能作出什么猜測?n = 400;p = Tablei, j2 i - ji, i, 1, n;TableFormpx = pAll, 2;ListPlotxJ(2n)J(n)成立嗎成立嗎?給定給定n，你能找到，你能找到m作為作為n的函數(shù)，它能的函數(shù)，它能保證保證J(m)=J(n)+1嗎嗎?38/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)

29、數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度練習(xí)練習(xí)6 對(duì)對(duì)n = 1，2，N(N是某個(gè)較大整數(shù)是某個(gè)較大整數(shù))，計(jì)算，計(jì)算J(2n) J(n)。你能作出什么猜測。你能作出什么猜測?n = 400;p = Tablei, j2 i - ji, i, 1, n;TableFormpx = pAll, 2;ListPlotx39/637.3 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)p7.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)n，設(shè)，設(shè)J(m) = J(n)+1，則，則mn的范圍是什么的范圍是什么?sn_:=NSum1/i, i, n;jn_:=Ceilingsn;mn_:=Modulek, i,

30、 (k = jn; i=n; Whileji None, m, n=10m, an, Annnna 11111 nnnA47/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：(1) 求出當(dāng)求出當(dāng)n = 10m，m = 1，2，6時(shí)時(shí)an，An的值并的值并觀察變化趨勢。觀察變化趨勢。解：解：(1) 輸入如下代碼：輸入如下代碼：nnna 11111 nnnA48/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于

31、無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：(1) 求出當(dāng)求出當(dāng)n = 10m，m = 1，2，6時(shí)時(shí)an，An的值并的值并觀察變化趨勢。觀察變化趨勢。解：解：(1)計(jì)算出計(jì)算出an，An的值如下表的值如下表nnna 11111 nnnA49/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：(1) 求出當(dāng)求出當(dāng)n = 10m，m = 1，2，6時(shí)時(shí)an，An的值并觀的值并觀察變化趨勢。察變化趨勢。解：解：(1) 輸入如下代碼：輸入如下代碼：t1 = Tablek, Na10k

32、, k, 0, m;t2 = Tablek, NA10k, k, 0, m;ListPlott1, PlotStyle - PointSize0.02;ListPlott2, PlotStyle - PointSize0.02;nnna 11111 nnnA50/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：(1) 求出當(dāng)求出當(dāng)n = 10m，m = 1，2，6時(shí)時(shí)an，An的值并觀的值并觀察變化趨勢。察變化趨勢。解：解：(1) 輸入如下代碼：輸入如下代碼：nnna 1111

33、1 nnnA51/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：(1) 求出當(dāng)求出當(dāng)n = 10m，m = 1，2，6時(shí)時(shí)an，An的值并的值并觀察變化趨勢。觀察變化趨勢。解：解：(1) 畫出其散點(diǎn)圖畫出其散點(diǎn)圖nnna 11111 nnnA52/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：(2) 在同一坐標(biāo)系中畫出下面三個(gè)函數(shù)在區(qū)間在同一坐標(biāo)系中畫出下面

34、三個(gè)函數(shù)在區(qū)間1，4上上的圖像：的圖像： ， ，y = e觀察當(dāng)觀察當(dāng)x增大時(shí)圖像的走向。增大時(shí)圖像的走向。nnna 11111 nnnAxxy101011 1101011 xxy53/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：解：解：(2) 輸入如下代碼：輸入如下代碼：y1x_ := (1 + 1/10 x)(10 x); y2x_ := (1 + 1/10 x)(10 x + 1); y = E;Ploty, y1x, y2x, x, 0, 4, PlotStyle

35、- RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1;nnna 11111 nnnA54/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：解：解：(2) 輸入如下代碼：輸入如下代碼：nnna 11111 nnnA55/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來【例【例7-4】觀察當(dāng)】觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 和和 的變化趨勢：的變化趨勢：解：解：(2) 畫出三個(gè)函數(shù)在區(qū)間畫出三個(gè)函數(shù)在

36、區(qū)間1，4上的圖像上的圖像nnna 11111 nnnA56/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.1 e的由來的由來練習(xí)練習(xí)9 將例將例7-4中的作圖區(qū)間換成中的作圖區(qū)間換成2，4, 或或3，5, 或或5，6，觀察所得到的圖像。，觀察所得到的圖像。通過觀察可以看到通過觀察可以看到, 當(dāng)當(dāng)n增大時(shí)增大時(shí) 遞增，遞增， 遞減。遞減。隨著隨著n的無窮增大，的無窮增大，an，An無限接近，并趨于共同的極無限接近，并趨于共同的極限限e：2.718 28。nnna 11111 nnnA57/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.2 用級(jí)數(shù)的部分和近似用級(jí)數(shù)的部分和近似e將以將以e為底的指數(shù)函數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)y = ex展開成冪級(jí)數(shù)，有展開成冪級(jí)數(shù)，有可以證明該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為可以證明該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為( -，+)。令。令x = 1，得，得 (7)記記我們可以選擇適當(dāng)?shù)奈覀兛梢赃x擇適當(dāng)?shù)膎，通過計(jì)算，通過計(jì)算Sn得到得到e的近似值。的近似值。.!.! 212 nxxxenx 1!11.!1.! 2111kknenknkS1!1158/637.4 自然對(duì)數(shù)的底自然對(duì)數(shù)的底ep7.4.2 用級(jí)數(shù)的部分和近似用級(jí)數(shù)的部分和近似e【例【例7-5】利用】利用(7)式計(jì)算式計(jì)算e的近