(含答案)排列組合二項(xiàng)式定理概率分布與選修系列

1、 計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1. (選修23P8練習(xí)3改編某班級有男生5人，女生4人，從中任選一人去領(lǐng)獎，有_種不同的選法答案：9解析：不同選法種數(shù)共有N549種2. (選修23P8例4改編書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書，從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有_種不同的取法答案：30解析：共有5×630種不同取法3. (選修23P8練習(xí)5改編5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有_種答案：32解析：每位同學(xué)有2種不同的報名方法，故5位同學(xué)有2532種不同的報名方法4. (選修23P

2、9習(xí)題3改編從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通則從甲地到丙地共有_種不同的走法答案：14解析：共有2×34×214種不同的走法5. 如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為_答案：84解析：分兩類：A、C種同種花有4×3×336種不同的種法； A、C種不同種花有4×3×2×248種不同的種法故共有364884種不同的種法題型1分類計數(shù)原理例1滿足AB1，2的集合A、B共有

3、多少組？解：集合A、B均是1，2的子集：，1，2，1，2，但不是隨便兩個子集搭配都行，本題尤如含A、B兩元素的不定方程，其全部解分為四類： 當(dāng)A時，只有B1，2，得1組解； 當(dāng)A1時，B2或B1，2，得2組解； 當(dāng)A2時，B1或B1，2，得2組解； 當(dāng)A1，2時，B或1或2或1，2，得4組解根據(jù)分類計數(shù)原理，共有12249組解如下圖，共有多少個不同的三角形？解：所有不同的三角形可分為三類：第一類：其中有兩條邊是原五邊形的邊，這樣的三角形共有5個；第二類：其中有且只有一條邊是原五邊形的邊，這樣的三角形共有5×420個；第三類：沒有一條邊是原五邊形的邊，即由五條對角線圍成的三角形，共有5

4、510個由分類計數(shù)原理得，不同的三角形共有5201035個題型2分步計數(shù)原理例2用五種不同顏色給圖中四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色(1 共有多少種不同的涂色方法？(2 若要求相鄰(有公共邊的區(qū)域不同色，那么有多少種不同的涂色方法？1234解：(1 每一個區(qū)域都有5種不同的涂色的方法，所以涂完四個區(qū)域共有5×5×5×5625種不同的涂色方法(2 若2號，4號區(qū)域同色，有5×4×360種涂法；若2號，4號區(qū)域異色，有5×4×3×2120種涂法所以共有60120180種涂法用三種不同的顏色填涂下圖3×3方格中

5、的9個區(qū)域，要求每行、每列的三個區(qū)域都不同色，則不同的填涂方法共有_種答案：12解析：可將9個區(qū)域標(biāo)號如圖：123456789用三種不同顏色為9個區(qū)域涂色，可分步解決：第一步，為第一行涂色，有3×2×16種方法；第二步，用與1號區(qū)域不同色的兩種顏色為4、7兩個區(qū)域涂色，有2×12種方法；剩余區(qū)域只有一種涂法綜上由分步計數(shù)原理可知共有6×212種涂法題型3兩個基本原理的聯(lián)系例3某同學(xué)有12本課外參考書，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館去閱讀(1 若從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？(2 若帶外

6、語、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？(3 若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？解：(1 完成的事情是帶一本書，無論是帶外語書，還是帶數(shù)學(xué)書、物理書，事情都已經(jīng)完成，從而應(yīng)用加法原理，結(jié)果為54312種(2 完成的事情是帶三本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理中各選一本后，才能完成這件事，因此應(yīng)用乘法原理，結(jié)果為5×4×360種(3 要完成的這件事是帶2本不同的書，先乘法原理，再用加法原理，結(jié)果為5×45×33×447種選法三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為7的三角形的個數(shù)為_答案：16解析：另兩邊長

7、用x、y表示，且不妨設(shè)1xy7，要構(gòu)成三角形，必須有xy8.當(dāng)y取值7時，x1，2，3，7，可有7個三角形；當(dāng)y取值6時，x2，3，4，5，6，可有5個三角形；當(dāng)y取值5時，x3，4，5，可有3個三角形；當(dāng)y取值4時，x4，可有1個三角形，所求三角形的個數(shù)合計為16個1. (2013·山東理用0，1，9這十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為_答案：252解析：組成三位數(shù)的個數(shù)為9×10×10900.沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有CA648，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900648252.2. (2013·福建理滿足a、b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程a

8、x22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b的個數(shù)為_答案：13解析：方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解，分析討論 當(dāng)a0時，很顯然為垂直于x軸的直線方程，有解此時b可以取4個值故有4種有序數(shù)對； 當(dāng)a0時，需要44ab0，即ab1.顯然有3個實(shí)數(shù)對不滿足題意，分別為(1，2，(2，1，(2，2 (a，b共有16種實(shí)數(shù)對，故答案應(yīng)為16313.3. 將字母a、a、b、b、c、c，排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有_種答案：12解析：第一步先排第一列有A6，再排第二列，當(dāng)?shù)谝涣写_定時，第二列有2種方法，如圖abbccaacbacb，所以共有6×212種4

9、. (2013·四川理從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lgalgb的不同值的個數(shù)是_答案：18解析：首先從1，3，5，7，9這五個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)排列，共有5×420種排法因?yàn)?，所以?，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a、b，共可得到lgalgb的不同值的個數(shù)是20218.1. 某賽季足球比賽的規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分一球隊打完15場，積33分若不考慮順序，該隊勝、負(fù)、平的情況共有_種答案：3解析：利用加法原理，考慮勝11場、勝10場、勝9場等情況2. 一棟7層的樓房備有電梯

10、，在一樓有甲、乙、丙三人進(jìn)了電梯，則滿足有且僅有一人要上7樓，且甲不在2樓下電梯的所有可能情況種數(shù)有_答案：65解析：分兩類：第一類，甲上7樓，有52種；第二類：甲不上7樓，有4×2×5種故524×2×565.3. 現(xiàn)有5位同學(xué)準(zhǔn)備一起做一項(xiàng)游戲，他們的身高各不相同現(xiàn)在要從他們5個人當(dāng)中選擇出若干人組成A、B兩個小組，每個小組都至少有1人，并且要求B組中最矮的那個同學(xué)的身高要比A組中最高的那個同學(xué)還要高則不同的選法共有_種答案：49解析：給5位同學(xué)按身高的不同由矮到高分別編號為1，2，3，4，5，組成集合M1，2，3，4，5 若小組A中最高者為1，則能使

11、B中最矮者高于A中最高者的小組B是2，3，4，5的非空子集，這樣的子集有CCCC24115個， 不同的選法有15個；若A中最高者為2，則這樣的小組A有2個：2、1，2，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是3，4，5的非空子集，這樣的子集(小組B有2317個， 不同的選法有2×714個；若A中最高者為3，則這樣的小組A有4個：3、1，3、2，3、1，2，3，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B是4，5的非空子集，這樣的子集(小組B有2213個， 不同的選法有4×312個；若A中最高者為4，則這樣的小組A有8個：4、1，4、2，4、3，4、1，2，4、1，3，4、2，3，4、

12、1，2，3，4，能使B中最矮者高于A中最高者的小組B只有5 1個， 不同的選法有8個 綜上，所有不同的選法是151412849個4. 75 600有多少個正約數(shù)？有多少個奇約數(shù)？解：75 600的約數(shù)就是能整除75 600的整數(shù)，所以本題就是分別求能整除75 600的整數(shù)和奇約數(shù)的個數(shù)由于 75 60024×33×52×7.(1 75 600的每個約數(shù)都可以寫成2i·3j·5k·7l的形式，其中0i4，0j3，0k2，0l1.于是，要確定75 600的一個約數(shù)，可分四步完成，即i，j，k，l分別在各自的范圍內(nèi)任取一個值，這樣i有5種取

13、法，j有4種取法，k有3種取法，l有2種取法，根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為5×4×3×2120個(2 奇約數(shù)中不含有2的因數(shù)，因此75 600的每個奇約數(shù)都可以寫成3j·5k·7l的形式，同上奇約數(shù)的個數(shù)為4×3×224個第2課時排列與組合1. (選修23P17練習(xí)2改編5人站成一排照相，共有_種不同的站法答案：1202. (選修23P18習(xí)題3改編已知9！362 880，那么A_答案：181 440解析：9！A2A，所以A181 440.3. (選修23 P24習(xí)題7改編從5名女同學(xué)和4名男同學(xué)中選出4人參加演講比賽，男

14、、女同學(xué)分別至少有1名，則有_種不同選法答案：120解析：C·CC·CC·C120.4. (選修23P24練習(xí)2改編計算：CCCC_答案：210解析：原式CCCCCCC210.5. 有4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有_種答案：432解析：分三類：第一類，4張卡片所標(biāo)數(shù)字為1、2、3、4有24×A384種不同的排法；第二類，4張卡片所標(biāo)數(shù)字為1、1、4、4有24種不同的排法；第三類，4張卡片所標(biāo)數(shù)字為2、2、3、3有

15、24種不同的排法所以，共有3842424432種不同的排法題型1排列與排列數(shù)例1用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成多少個分別符合下列條件的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：奇數(shù)；偶數(shù)；大于3125的數(shù)解：先排個位，再排首位，共有A·A·A144個；以0結(jié)尾的四位偶數(shù)有A，以2或4結(jié)尾的四位偶數(shù)有A·A·A，共有AAAA156個；要比3125大，4、5作千位時有2A個；3作千位，2、4、5作百位時有3A個；3作千位1作百位時有2A個，所以共有2A3A2A162個用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：(解法1用分步計數(shù)原理：所求的三位數(shù)的

16、個數(shù)是A·A9×9×8648.(解法2從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為A，其中以0為排頭的排列數(shù)為A，因此符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是AA648.題型2組合與組合數(shù)例2一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球(1 從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？(2 若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？解：(1 將取出4個球分成三類情況：第一類：取4個紅球，沒有白球，有C種；第二類：取3個紅球1個白球，有CC種；第三類：取2個紅球2個白球，有CC種CCCCC115種(2 設(shè)取x個紅球，y個白球，則得或

17、或符合條件的取法有CCCCCC186種有6個球，其中3個黑球，紅、白、藍(lán)球各1個，現(xiàn)從中取出4個球排成一列，共有多少種不同的排法？解：分三類：若取1個黑球，和另三個球排4個位置，有A24；若取2個黑球，從另三個球中選2個排4個位置，2個黑球是相同的，自動進(jìn)入，不需要排列，即有CA36；若取3個黑球，從另三個球中選1個排4個位置，3個黑球是相同的，自動進(jìn)入，不需要排列，即有CA12；所以有24361272種題型3組合數(shù)的性質(zhì)例3(1 化簡：1×1！2×2！3×3！n×n??；(2 化簡：；(3 解方程：CC；(4 解方程：CCA.解：(1 由階乘的性質(zhì)知n&

18、#215;n！(n1！n！，所以，原式(n1！1.(2 原式1！1.(3 由原方程得x12x3，或x12x313， x4或x5，又由得2x8且xN*， 原方程的解為x4或x5.(4 原方程可化為CA，即CA， ， ， x2x120，解得x4或x3.經(jīng)檢驗(yàn)：x4是原方程的解設(shè)xN， 求CC的值解： 由題意可得解得2x4. xN， x2或x3或x4.當(dāng)x2時原式值為4；當(dāng)x3時原式值為7；當(dāng)x4時原式值為11. 所求值為4或7或11.規(guī)定C，其中xR，m是正整數(shù)，且C1這是組合數(shù)C(n、m是正整數(shù)，且mn的一種推廣(1 求C的值；(2 組合數(shù)的兩個性質(zhì)：CC，CCC是否都能推廣到C(xR，mN*的

19、情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；(3 已知組合數(shù)C是正整數(shù)，求證：當(dāng)xZ，m是正整數(shù)時，CZ.(1 解：CC11 628.(2 解：CC不能推廣，例如x時，有定義，但無意義；CCC能推廣，它的推廣形式為CCC，xR，mN*.證明如下：當(dāng)m1時，有CCx1C；當(dāng)m2時，有CCC.(3 證明：當(dāng)x0時，組合數(shù)CZ；當(dāng)x<0時， xm1>0， C(1m(1mCZ.1. (2013·浙江將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A、B在C的同側(cè)，則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答答案：480解析：按C的位置分類，在左1，左2，左3，或者在右1，右2

20、，右3，因?yàn)樽笥沂菍ΨQ的，所以只看左的情況最后乘以2即可當(dāng)C在左邊第1個位置時，有A；當(dāng)C在左邊第2個位置時AA，當(dāng)C在左邊第3個位置時，有AAAA，共為240種，乘以2，得480.則不同的排法共有480種2. (2013·重慶理從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_(用數(shù)字作答答案：59解析：骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人，則名額分配為：1，1，3；1，3，1；3，1，1或1，2，2；2，1，2；2，2，1.所以共有CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.3. (2013·北京

21、理將序號分別為1、2、3、4、5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是_答案：96解析：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其他號碼各為一組，分給4人，共有4×A96種4. (2013·大綱版理6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答答案：480解析：6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法：排列好甲、乙兩人外的4人，有A種方法，然后把甲、乙兩人插入4個人的5個空位，有A種方法，所以共有A·A480.1. 用1、

22、2、3、4、5、6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_(用數(shù)字作答答案：40解析：由題先排除1和2的剩余4個元素有2A·A8種方案，再向這排好的4個元素中插入1和2捆綁的整體，有A種插法， 不同的安排方案共有2A·A·A40種2. 有4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒中，則只有1個空盒的放法共有_種(用數(shù)字作答答案：144解析：符合條件的放法是：有一個盒中放2個球，有2個盒中各放1個球因此可先將球分成3堆(一堆2個，其余2堆各1個，即構(gòu)造了球的“堆”，然后從4個盒中選出3個盒放3堆球，依分步計

23、算原理，符合條件的放法有CA144種3. 某?，F(xiàn)有男、女學(xué)生黨員共8人，學(xué)校黨委從這8人中選男生2人、女生1人分別擔(dān)任學(xué)生黨支部的支部書記、組織委員、宣傳委員，共有90種不同方案，那么這8人中男、女學(xué)生的人數(shù)分別是_、_答案：35解析：設(shè)有男生x人，女生8x人，則有CCA90，即x(x1(8x30，解得x3.4. 從不同號碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為_答案：120解析：先從5雙鞋中任取1雙，有C，再從8只鞋中任取2只，即C，但需要排除4種成雙的情況，即C4，則共計C(C4120.第3課時二項(xiàng)式定理1. (選修23P32練習(xí)5改編在(x10的展開式中，x6的系數(shù)是_答案：1

24、890解析：Tr1Cx10r(r，令10r6，r4，T59Cx61 890x6.2. (選修23P32練習(xí)6改編12的展開式的常數(shù)項(xiàng)是_答案：495解析：展開式中，Tr1Cx12r·r(1rCx123r，當(dāng)r4時，T5C495為常數(shù)項(xiàng)3. (選修23P35習(xí)題2改編若CCCC363，則自然數(shù)n_答案：13解析：CCCCC3631，CCCC364，CCCC364，n13.4. (選修23P36習(xí)題12改編已知(12x7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a7_答案：2解析：設(shè)f(x(12x7，令x1，得a0a1a2a7(1271，令x0，得a01，a1a2a71a02.5. (選修

25、23P35習(xí)題10改編在(xyn的展開式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則n的值可能為_答案：11，12，13解析：分三種情況： 若僅T7系數(shù)最大，則共有13項(xiàng)，n12； 若T7與T6系數(shù)相等且最大，則共有12項(xiàng)，n11； 若T7與T8系數(shù)相等且最大，則共有14項(xiàng)，n13，所以n的值可能等于11，12，13.題型1二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)例1如果的展開式中，第四項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求：(1 展開式的中間項(xiàng)；(2 展開式中所有的有理項(xiàng)解：(1 展開式中，第四項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是C，C，由CC，得n9，所以展開式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，即T5(14C(x34(x25，T6(15C(x35(x2

26、4.(2 通項(xiàng)為Tr1C(8rCx(r0，1，2，8，為使Tr1為有理項(xiàng)，必須r是4的倍數(shù)，所以r0，4，8，共有三個有理項(xiàng)，分別是T1Cx4x4，T5Cxx，T9Cx2.(1 若(1xn的展開式中，x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n；(2 已知(ax17(a0的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求a；(3 已知(2xxlgx8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1 120，求x.解：(1 C7C，7n，即n23n400.由nN*，得n8.(2 Ca2Ca42Ca3，21a235a470a3，a0，得5a210a30 a1±.(3 C(2x4(xlgx41 12

27、0，x4(1lgx1，所以x1，或lgx1，x.題型2二項(xiàng)式系數(shù)例2已知(x3x2n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求：(1 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：令x1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(13n22n.又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n， 22n2n992，n5.(1 n5，展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3、4兩項(xiàng)， T3C(x3(3x2290x6，T4C(x2(3x23270x.(2 設(shè)展開式中第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則Tr1C(x5r(3x2r3rCx， r， r4，即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T5C(x(3x24405x.已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成

28、等差數(shù)列設(shè)a0a1xa2x2anxn.求：(1 a5的值；(2 a0a1a2a3(1nan的值；(3 ai(i0，1，2，n的最大值解：(1 由題設(shè)，得C×C2××C， 即n29n80，解得n8，n1(舍Tr1Cx8r，令8r5 r3，所以a57.(2 在等式的兩邊取x1，得a0a1a2a3a8 .(3 設(shè)第r1的系數(shù)最大，則即解得r2或r3. 所以ai系數(shù)最大值為7.題型3二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例3已知n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和比(3a2b7展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和大128，求n展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)解：2n27128，n8，8的通項(xiàng)Tr1C(x28r

29、r(1rCx163r，當(dāng)r4時，展開式中的系數(shù)最大，即T570x4為展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；當(dāng)r3，或5時，展開式中的系數(shù)最小，即T456x7，T656x為展開式中的系數(shù)最小的項(xiàng)已知(2x50a0a1xa2x2a50x50，其中a0，a1，a2，a50是常數(shù)，計算(a0a2a4a502(a1a3a5a492.解：設(shè)f(x(2x50，令x1，得a0a1a2a50(250，令x1，得a0a1a2a50(250，(a0a2a4a502(a1a3a5a492(a0a1a2a50(a0a1a2a50(250(2501.1. (2013·新課標(biāo)已知(1ax(1x5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a_

30、答案：1解析：已知(1ax(1x5的展開式中x2的系數(shù)為Ca·C5，解得a1.2. (2013·天津理6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_答案：15解析：展開式的通項(xiàng)公式為Tk1Cx6k·kCx6k(1k.由6k0，得k4.所以常數(shù)項(xiàng)為T41C(1415.3. (2013·大綱版理(1x3(1y4的展開式中x2y2的系數(shù)是_答案：18解析：(x13的展開式的通項(xiàng)為Tr1Cxr，令r2得到展開式中x2的系數(shù)是C3.(1y4的展開式的通項(xiàng)為Tr1Cyr，令r2得到展開式中y2的系數(shù)是C6，(1x3(1y4的展開式中x2y2的系數(shù)是3×618.4. (201

31、3·遼寧理使得n(nN的展開式中含有的常數(shù)項(xiàng)最小的n為_答案：5解析：展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(3xnk·kC3nkxn.由n0，得n，所以當(dāng)k2時，n有最小值5.1. 若n是奇數(shù)，則7nC7n1C7n2C7被9除的余數(shù)是_答案：7解析：原式(71n1(91n19k29k7(k和k均為正整數(shù)2. 0.9915的近似值是_(精確到0.001答案：0.956解析：0.9915(10.009515×0.00910×(0.009210.0450.000 810.956.3. 用二次項(xiàng)定理證明32n28n9能被64整除(nN證明：32n28n99n18n9(81

32、n18n9C8n1C8nC82C8C8n964(C8n1C8n2C8(n118n9M×64(記MC8n1C8n2C M為整數(shù)， 64M能被64整除4. (1 在(1xn的展開式中，若第3項(xiàng)與第6項(xiàng)系數(shù)相等，則n等于多少？(2 的展開式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)解：(1 由已知得CC n7.(2 由已知得CCC128，2n1128，n8，而展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是T41C(x470x4.一般地，對于多項(xiàng)式g(x(pxqna0a1xa2x2anxn，則有：(1 g(x的常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為g(0；(2 g(x的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1；(3 g(x的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

33、為g(1g(1；(4 g(x的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(1g(1第4課時離散型隨機(jī)變量及分布列、超幾何分布1. (選修23P52習(xí)題1改編下列問題屬于超幾何分布的有_(填序號 拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的概率分布列； 有一批種子的發(fā)芽率為70%，現(xiàn)任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為X，求X的概率分布列； 一盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，現(xiàn)任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X，求X的概率分布列； 某班級有男生25人，女生20人，現(xiàn)選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布列答案：解析：注意超幾何分布的特征，

34、其中涉及三個參量，、屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題2. (選修23P47例題3改編設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk(k1，2，3，4，5，則P_.答案：解析：PP(X1P(X2.3. (選修23P52習(xí)題4改編口袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標(biāo)有數(shù)字0，5個球標(biāo)有數(shù)字1.若從袋中摸出5個球，那么摸出的5個球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是_答案：解析：數(shù)字之和小于2或大于3的對立事件為數(shù)字之和為2或者3，發(fā)生的概率為2·，所以數(shù)字之和小于2或大于3的概率為12·.4. (選修23P51練習(xí)2改編設(shè)50件商品中有15件一等品，其余為二等品現(xiàn)從中隨機(jī)選購2件，則所購2件商品中恰有一件

35、一等品的概率為_答案：解析：N50，M15，n2，r1，P(X1H(1，2，15，50.5. (選修23P50例1改編某班級有男生12人、女生10人，現(xiàn)選舉4名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團(tuán)支部書記和體育班委，則至少兩名男生當(dāng)選的概率為_答案：解析：把選出的4人中男生的人數(shù)記為X，顯然隨機(jī)變量X滿足超幾何分布，所求事件的概率可以表示為P(X2有P(X2P(X2P(X3P(X4題型1離散型隨機(jī)變量的概率分布例1隨機(jī)地將編號為1，2，3的三個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子放入一個小球，當(dāng)球的編號與盒子的編號相同時叫做“放對球”，否則叫做“放錯球”，設(shè)放對球的個數(shù)為.求的分布列解：的分

36、布列為0123P0在0，1，2，3，9這十個自然數(shù)中，任取三個不同的數(shù)字將取出的三個數(shù)字按從小到大的順序排列，設(shè)為三個數(shù)字中相鄰自然數(shù)的組數(shù)(例如：若取出的三個數(shù)字為0，1，2，則相鄰的組為0，1和1，2，此時的值是2，求隨機(jī)變量的分布列解：隨機(jī)變量的取值為0、1、2，的分布列為012P題型2超幾何分布例2已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品需要從中取出2只正品，每次取一個，取出后不放回，直到取出2個正品為止設(shè)X為取出的次數(shù)，求X的概率分布列解：P(X2·，P(X3····，P(X41P(X2P(X3，所以X的概率分布列如下表X234P

37、一盒中有9個正品和3個次品零件，每次取一個零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)X的概率分布，并求P.解：易知X的可能取值為0、1、2、3這四個數(shù)字，而Xk表示，共取了k1次零件，前k次取得的都是次品，第k1次才取得正品，其中k0、1、2、3.故X的分布列為X0123PPP(X1P(X2.題型3實(shí)際問題例3已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球(1 求取出的4個球均為黑球的概率；(2 求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；(3 設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列解：(1 設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為

38、黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B.由于事件A、B相互獨(dú)立，且P(A，P(B.故取出的4個球均為黑球的概率為P(A·BP(A·P(B×.(2 設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D.由于事件C、D互斥，且P(C·，P(D·.故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P(CDP(CP(D.(3 可能的取值為0，1，2，3.由(1，(2得P(0，P(1，P(3·.從而P(21P(0P

39、(1P(3.的分布列為0123P黃山旅游公司為了體現(xiàn)尊師重教，在每年暑假期間對來黃山旅游的全國各地教師和學(xué)生，憑教師證和學(xué)生證實(shí)行購買門票優(yōu)惠某旅游公司組織有22名游客的旅游團(tuán)到黃山旅游，其中有14名教師和8名學(xué)生但是只有10名教師帶了教師證，6名學(xué)生帶了學(xué)生證(1 在該旅游團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人的概率；(2 在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名學(xué)生，設(shè)其中持有學(xué)生證的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列解：(1 記事件A為“采訪3名游客中，恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人”，則該事件分為兩個事件A1和A2，A1為“1名教師有教師證，1名學(xué)生有學(xué)生證”； A2為“1名教

40、師有教師證，0名學(xué)生有學(xué)生證”P(AP(A1P(A2， 在隨機(jī)采訪3人，恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人的概率為. (2 由于8名學(xué)生中有6名學(xué)生有學(xué)生證， 的可能取值為1，2，3 ，則P(1，P(2，P(3， 的分布列為123P1. (2012·廣東理從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是_答案：解析：兩位數(shù)共有90個，其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)有45個，個位數(shù)為0的有5個，所以概率為.2. (2013·新課標(biāo)從n個正整數(shù)1，2，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_答案：8解析：從n個正整數(shù)1，2，

41、n中任意取出兩個不同的數(shù)，取出的兩數(shù)之和等于5的情況有：(1，4，(2，3共2種情況；從n個正整數(shù)1，2，n中任意取出兩個不同的數(shù)的所有不同取法種數(shù)為C，由古典概型概率計算公式，得從n個正整數(shù)1，2，n中任意取出兩個不同的數(shù)，取出的兩數(shù)之和等于5的概率為P.所以C28，即28，解得n8.3. (2013·江蘇現(xiàn)在某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_答案：解析：m可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7個，n可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9個，所以總共有7×963種可能，符合題意的m可以取1，3，

42、5，7共4個，符合題意的n可以取1，3，5，7，9共5個，所以總共有4×520種可能符合題意，所以符合題意的概率為.4. 如圖，從A1(1，0，0、A2(2，0，0、B1(0，1，0、B2(0，2，0、C1(0，0，1、C2(0，0，2這6個點(diǎn)中隨機(jī)選取3個點(diǎn)，將這3個點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V0(1 求V0的概率；(2 求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V解：(1 從6個點(diǎn)中隨機(jī)選取3個點(diǎn)總共有C20種取法，選取的3個點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個平面內(nèi)的取法有CC12種，因此V0的概率為P(V0.(2

43、V的所有可能取值為0、，因此V的分布列為V0P則V的數(shù)學(xué)期望E(V0×××××.1. 現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是_答案：解析： 以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列的10個數(shù)為1，3，9，27，其中有5個負(fù)數(shù)，1個正數(shù)1計6個數(shù)小于8， 從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，它小于8的概率是.2. 在一次面試中，每位考生從4道題a、b、c、d中任抽兩題做，假設(shè)每位考生抽到各題的可能性相等，且考生相互之間沒有影響(1 若甲考生抽到a、b題，求乙考生與甲考生恰好有一題相同的概率；

44、(2 設(shè)某兩位考生抽到的題中恰好有X道相同，求隨機(jī)變量X的概率分布解：(1 P.(2 X的可能取值為0、1、2，P(X0，P(X2，P(X11P(X0P(X2，所以隨機(jī)變量X的概率分布為X012P1/62/31/63. 袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù)(1 求袋中原有白球的個數(shù)；(2 求隨機(jī)變量的概率分布；(3 求甲取到白球的概率解：(1 設(shè)袋中原有n個白球，由題意知，n(n16，得n3或n2(

45、舍去，即袋中原有3個白球(2 由題意，的可能取值為1、2、3、4、5.P(1；P(2；P(3； P(4；P(5.所以的分布列為：12345P(3 因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?次、第3次和第5次取球，記“甲取到白球”為事件A，則P(AP(“1”，或“3”，或“5”事件“1”，或“3”，或“5”兩兩互斥，P(AP(1P(3P(5.4. 老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1 抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；(2 他能及格的概率解：(1 設(shè)隨機(jī)抽出的3篇課文中該同學(xué)能背誦的篇數(shù)為X，則X是一個隨機(jī)變量，它可能的取值為0、1、

46、2、3，且X服從超幾何分布，分布列如下：X0123P即 X0123P(2 該同學(xué)能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率為P(X2P(X2P(X30.667.第5課時獨(dú)立性及二項(xiàng)分布1. (選修23P59練習(xí)2改編省工商局于2003年3月份，對全省流通領(lǐng)域的飲料進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)督抽查，結(jié)果顯示，某種剛進(jìn)入市場的x飲料的合格率為80%，現(xiàn)有甲、乙、丙3人聚會，選用6瓶x飲料，并限定每人喝2瓶則甲喝2瓶合格的x飲料的概率是_答案：0.64解析：記“第一瓶x飲料合格”為事件A1，“第二瓶x飲料合格”為事件A2，A1與A2是相互獨(dú)立事件，“甲喝2瓶x飲料都合格就是事件A1、A2同時發(fā)生，根據(jù)相互獨(dú)立事

47、件的概率乘法公式得P(A1·A2P(A1·P(A20.8×0.80.64.2. (選修23P63練習(xí)2改編某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為_答案：解析：本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是二項(xiàng)分布問題，所以此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為C(0.62·(10.6.3. 甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)天氣預(yù)報記錄知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在這段時間內(nèi)兩市是否降雨相互之間沒有影響，則甲、乙兩市同時下雨的概率為_答案：0.036解析：設(shè)甲市下雨為事件A，乙市下雨為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P(A

48、0.2，P(B0.18，則P(ABP(AP(B0.2×0.180.036.4. (選修23P63練習(xí)2改編某單位組織4個部門的職工旅游，規(guī)定每個部門只能在韶山、衡山、張家界3個景區(qū)中任選一個，假設(shè)各部門選擇每個景區(qū)是等可能的則3個景區(qū)都有部門選擇的概率是_答案：解析：某單位的4個部門選擇3個景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為34.由于是任意選擇，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.3個景區(qū)都有部門選擇可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為C·3！(從4個部門中任選2個作為1組，另外2個部門各作為1組，共3組，共有C6種分法，每組選擇不同的景區(qū)，共有3！種選法，記“3個景區(qū)都有部門選擇”為事件A1，那么事件A1的概

49、率為P(A1.5. 在4次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是_答案：解析：設(shè)A發(fā)生概率為P，1(1P4，P.題型1相互獨(dú)立事件例1A高校自主招生設(shè)置了先后三道程序：部分高校聯(lián)合考試、本校專業(yè)考試、本校面試在每道程序中，設(shè)置三個成績等級：優(yōu)、良、中若考生在某道程序中獲得“中”，則該考生在本道程序中不通過，且不能進(jìn)入下面的程序考生只有全部通過三道程序，自主招生考試才算通過某中學(xué)學(xué)生甲參加A高校自主招生考試，已知該生在每道程序中通過的概率均為，每道程序中得優(yōu)、良、中的概率分別為p1、p2.(1 求學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試的概率；(

50、2 設(shè)為學(xué)生甲在三道程序中獲優(yōu)的次數(shù)，求的分布列解：由題意，得解得p1p2.(1 設(shè)事件A為學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試，則P(A×××.答：學(xué)生甲不能通過A高校自主招生考試的概率為.(2 由題意知：0，1，2，3.P(0×××××，P(2××××××××，P(3××，P (i1，P(11P(0P(2P(3.故的分布列為0123P有一種闖三關(guān)游戲規(guī)則規(guī)定如下：用拋擲正四面體型骰子(各面上分別有1，2，3，4點(diǎn)數(shù)的

51、質(zhì)地均勻的正四面體決定是否過關(guān)，在闖第n(n1，2，3關(guān)時，需要拋擲n次骰子，當(dāng)n次骰子面朝下的點(diǎn)數(shù)之和大于n2時，則算闖此關(guān)成功，并且繼續(xù)闖關(guān)，否則停止闖關(guān)每次拋擲骰子相互獨(dú)立(1 求僅闖過第一關(guān)的概率；(2 記成功闖過的關(guān)數(shù)為，求的分布列解：(1 記“僅闖過第一關(guān)的概率”這一事件為A，則P(A·.(2 由題意得，的取值有0，1，2，3，且P(0，P(1，P(2··，P(3··，即隨機(jī)變量的概率分布列為0123P題型2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布例2設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買

52、乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的(1 求進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(2 求進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(3 記表示進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列解：記A表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品；記B表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品；記C表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種；記D表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種(1 CA·BA·B，P(CP(A·BA·BP(A·BP(A·BP(A·P(BP(·P(B0.5×0.40.5×0.60.5.(2 DA·B，P(DP(A·BP(A·P(B0.5×0.40.