小學思維數(shù)學講義：完全平方數(shù)及應用(二)-含答案解析

1、完全平方數(shù)及應用（二）教學目標1 .學習完全平方數(shù)的性質；2 .整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程3 .掌握完全平方數(shù)的綜合運用。知識點撥、完全平方數(shù)常用性質1 .主要性質1 .完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。2 .在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3 .完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4 .若質數(shù)p整除完全平方數(shù)a2,則p能被a整除。2 .性質性質1:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9.性質2:完全平方數(shù)被3, 4, 5, 8, 16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù).性質3:自然數(shù)N為完全

2、平方數(shù) -自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù).因為完全平方數(shù)的質因數(shù)分解中每個質因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)、次,所以，如果p是質數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且 p2n|N ,則2np |N .性質4:完全平方數(shù)的個位是 6u它的十位是奇數(shù).性質5:如果一個完全平方數(shù)的個位是 0,則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù).如果一個完全平方數(shù)的個位是5,則其十位-一定是 2,且其百位-一定是 0, 2, 6中的一個.性質6:如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù).3 .一些重要的推論1 .任何偶數(shù)的平方一定能被 4整除；任何奇數(shù)的平方被 4 （或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定 不是完全

3、平方數(shù)。2 .一個完全平方數(shù)被 3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3 .自然數(shù)的平方末兩位只有：00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49, 69,89, 16, 36, 56, 76, 96。4 .完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1,5, 9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5 .完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0, 4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6 .完全平方數(shù)的個位數(shù)字為 6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7 .凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是 25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個 “0勺自然數(shù)不是完全平方數(shù)；

4、個位數(shù)字為1,4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點公式回顧：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）例題精講模塊一、平方差公式運用例1 將兩個自然數(shù)的差乘上它們的積，能否得到數(shù)45045?【考點】平方差公式運用【難度】2星 【題型】解答【解析】設這兩個數(shù)分別是 a和b,那么有ab(a-b)=45045，分析奇偶性可知這是不可能的。因此不可能得到 45045?！敬鸢浮坎荒艿玫竭@樣的數(shù)【例2】 一個數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去 63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？【考點】平方差公式運用【難度】2星 【題型】解答【解析】設這個數(shù)減去63為A2 ,減去100為B2,則A2 -

5、B2 =(A + B j A _ B )=100-63=37 =37父1 , 可知 A + B=37 ,且 AB =1 ,所以 A=19 , B=18,這樣這個數(shù)為 182 +100 = 424.【答案】424 【鞏固】能否找到這么一個數(shù)，它加上 24,和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？【考點】平方差公式運用【難度】3星【題型】解答【解析】假設能找到，設這兩個完全平方數(shù)分別為A2、B2,那么這兩個完全平方數(shù)的差為54=(A+B(AB5由于(A + B加(AB )的奇偶性質相同，所以(A+B(AB )不是4的倍數(shù), 就是奇數(shù)，不可能是像 54這樣是偶數(shù)但不是 4的倍數(shù).所以54不可能等于兩個

6、平方數(shù)的差，那么 題中所說的數(shù)是找不到的.【答案】不存在這樣的數(shù) 【鞏固】能否找到這么一個數(shù)，它加上 24,和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？【考點】平方差公式運用【難度】3星【題型】解答【解析】假設能找到，設這兩個完全平方數(shù)分別為A2、 B2,那么這兩個完全平方數(shù)的差為 54=(A+Bp-B),由于(A + B )和(A B )的奇偶性質相同，所以 (A + B'(A B )不是4的倍數(shù)， 就是奇數(shù)，所以54不可能等于兩個平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到.【答案】不存在這樣的數(shù)【鞏固】一個正整數(shù)加上132和231后都等于完全平方數(shù)，求這個正整數(shù)是多少？【考點】平方差公式運用【難度】

7、3星【題型】解答【解析】設該正整數(shù)為a,根據(jù)題意得a+132=m2, a+231 =n2兩式相減得(n+m1n m ) = 99 ,注意到n+m 和nm的奇偶性相同，都是奇數(shù).因為99=99X1 =33父3=11父9 ,所以n+m=99, n m = 1或n +m =33, n -m =3 或 n+m =11, nm = 9.解得 n=50, m = 49 或 n=18, m = 15 或 n =10 , m = 1, 但是n =10, m=1不符合是正整數(shù)白條件.因此a =492 -132 = 2269 ,或者152 -132 = 97.所以這個正整數(shù)是2269或97.【答案】2269或97

8、 【例3兩個完全平方數(shù)的差為 77,則這兩個完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？【考點】平方差公式運用【難度】3星【題型】解答【解析】設這兩個完全平方數(shù)分別是 A2和B2,且A2 -B2 =77 ,則兩個完全平方數(shù)的和可以表示為77 + 2B2 ,所以B越大，平方和越大，B越小，平方和越小，而 (A + BRA B) = 77 , 77 = 7父11 =1黑77 ,當A+B=77, AB=1時，B取得最大值38 ,此時兩個完全平方數(shù)的和最大，為2965 ;當A + B =11 ,A-B=7時，B取得最小值2,此時兩個完全平方數(shù)的和最小，為85.【答案】最小85,最大2965例4三個自然數(shù)，它

9、們都是完全平方數(shù)，最大的數(shù)減去第二大的數(shù)的差為80,第二大的數(shù)減去最小的數(shù)的差為60,求這三個數(shù).【考點】平方差公式運用【難度】3星 【題型】解答【解析】設這三個數(shù)從大到小分別為A2、B2、C2 ,那么有(A + B'j( AB )=80 , (A + C'jf AC ) = 140 ,因為 140=2父2M5M7, A+C、A C 同奇同偶，所以有 A + C=14, AC =10 或 A+C =70 , A C=2, 分別解得A =12, C=2和A=36, C=34,對于后者沒有?t足條件的B,所以A只能等于12, C =2 ,繼而求得B =8,所以這三個數(shù)分別為 122

10、=144、82=64、22=4.【答案】三個數(shù)分別為144、64、4例5 有兩個兩位數(shù)，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)(個位數(shù)和十位數(shù)) 相同，那么這兩個兩位數(shù)是 .(請寫出所有可能的答案)【考點】平方差公式運用【難度】4 M 血型】填空【關鍵詞】2008年，清華附中【解析】設這兩個兩位數(shù)中較小的那個為n,則另外一個為n+14,由題知，22(n +14) -n =100k (k 為正整數(shù))，即 7(n+7)=25k,由于(7,25 )=1 ,所以 25 (n+7),由于 n 與 n+14均為兩位數(shù)，所以17 Mn+7 M92,故n+7可能為25、50或者75, n可

11、能為18、43或者68.經 檢驗，n=18、43、68均符合題意，所以這兩個兩位數(shù)為 18、32,或者43、57,或者68、82.【答案】這兩個兩位數(shù)為 18、32,或者43、57,或者68、82【例6】A是一個兩位數(shù)，它的 6倍是一個三位數(shù) B,如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個不同的五 位數(shù)，并且這兩個五位數(shù)的差是一個完全平方數(shù)(整數(shù)的平方)，那么 A的所有可能取值之和為.【考點】平方差公式運用【難度】4星【題型】填空【解析】如果把B放在A的左邊，得到的五位數(shù)為 100B+A=601A；如果把B放在A的右邊，得到的五位數(shù) 為1000A+B=1006A;這兩個數(shù)的差為 1006A601A

12、= 405A,是一個完全平方數(shù)，而 405 = 92x5, 所以A是5與一個完全平方數(shù)的乘積.A又是一個兩位數(shù)，所以可以為5父22、5父32、5M42,A的所有可能取值之和為5M22 +5父32 + 5 X 42 =145 .【答案】145【例7】一個自然數(shù)與自身相乘的結果稱為完全平方數(shù).已知一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7.如果把組成它的數(shù)字都加上 3,便得到另外一個完全平方數(shù)，求原來的四位數(shù).【考點】平方差公式運用【難度】2星【題型】解答【解析】設這個四位數(shù)為abcd=m2，由于其各位數(shù)字都小于7,所以每位數(shù)字都加 3,沒有發(fā)生進位，故2222(a +3)(b +3)(c+3)(

13、d +3) =n 由一得：3333 =n2 -m3 =(n-m)(n+m)將3333分解質因數(shù)，有3333 = 3父11父101,其有(1+1不(1+1/(1+1 )=8個約數(shù)，但是有n+mn m, 所以只有4種可能，即3333=1父3333=3父1111=11父303=33父101.由于 m2 =abcd >1000 ,故 m >30 ,所以(n +m )(n -m )=2m >60 ；又 n2 =(a +3)(b +3)(c +3)(d +3) <10000 ,所以 n <100,故(n +m )+(n -m )=2n<200 ；檢驗，只有 33101

14、滿足 101-33>60且 101 +33<200,所以 n+m=101 , nm = 33,得 m = 34, 原來的四位數(shù)為342 =1156 .【答案】1156模塊二、完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【例 8】 如果 + = a , - =b, 必=c, =d, a+b+c+d=100,那么， =.【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第 5題【解析】根據(jù)題意，a =2A , b=0, c =2 , d =1 , a +b+c+d 124+1 =(+1)2=100 ,則+1 二10 , =9.【答案】 二9【例9】 已

15、知ABCA是一個四位數(shù)，若兩位數(shù)AB是一個質數(shù)，BC是一個完全平方數(shù)， CA是一個質數(shù)與一 個不為1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是 .【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】3星【題型】填空【解析】本題綜合利用數(shù)論知識，因為 AB是一個質數(shù)，所以 B不能為偶數(shù)，且同時 BC是一個完全平方數(shù),則符合條件的數(shù)僅有 16和36,所以可以確定B為1或3, C =6 .由于CA是一個質數(shù)與一個不為 1 的完全平方數(shù)之積， 在6169中只有63和68符合條件，那么A為3或8.那么而可能為31, 33, 81, 83,其中是質數(shù)的有 31和83,所以滿足條件的四位數(shù)有 3163和8368

16、.【答案】3163和8368有一個四位數(shù) N,它既是三角數(shù)，又是完全【題型】填空【例10】稱能表示成1+2+3+|+k的形式的自然數(shù)為三角數(shù). 平方數(shù).則N =.【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】4星 【關鍵詞】2007年， 走美【解析】依題有1+2+3+H|+k =a即k(k +1)+2 =a2 .因為k與k+1是兩個連續(xù)自然數(shù)，其中必有一個奇數(shù)，有奇數(shù)X相鄰偶數(shù)=a2 .又由相鄰自然數(shù)互質知,2相鄰偶數(shù)2”也互質,于是奇數(shù)5/|口 內外 222 ,2 .一=n (a =mxn )，而 a 為四位數(shù)，有 32 <a <99 ,即 32 <mx n <99

17、,又 m 與 2n 相鄰，有 7Mm <12 .當m=7時，m2=49,相鄰偶數(shù)為50時，n=5滿足條件，這時a2 =(7 m 5)2 =1225 ,即N =1225 ;當m =9時，m2 =81 ,相鄰偶數(shù)為80和82都不滿足條件；2當m =11時，m =121,相鄰偶數(shù)為120和122都不滿足條件.所以，N =1225.1225【例11】自然數(shù)的平方按大小排成 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,，問：第612個位置的數(shù)字是幾？【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】4星【題型】解答【解析】1到3的平方是一位數(shù)，占去 3個位置；4到9的平方是二位數(shù)，占去12個位置

18、；10到31的平方是三位數(shù)，占去 66個位置；32到99的平方是四位數(shù)，占去 272個位置；將1到99的平方排成一行，就占去 353個位置，從612減去353,還有259個位置.從100到300的平方都是五位數(shù)，因此，第612個位置一定是其中某個數(shù)的平方中的一個數(shù)字.因為259=51x5+4,即從100起至U 150,共51個數(shù)，它們的平方都是五位數(shù)，要占去 255個位置, 而151M151 =22701,它的第4個數(shù)字是0,所以第612個位置的數(shù)字是0.【答案】0149162536,則從左向右的第 16個【題型】填空【鞏固】不是零的自然數(shù)的平方按照從小到大的順序接連排列，是:數(shù)字是【考點】完

19、全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】3星【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，11題【解析】 通過列舉可得1?！敬鸢浮?【例12由26 =12 +52 =12 +32 +42 ,可以斷定26最多能表示為3個互不相等的非零自然數(shù)的平方和，請你 判定200最多能表示為 個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和.【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】4星【題型】填空【解析】12 +22乜+82 =204>200 ,所以200不能表示成 8個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，而2204 -2 =200,所以200可以表不成7個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，所以200最多能表不為7個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和.【答案】7【例13】有4個不同的數(shù)字共可組成 18個不同的4位數(shù).將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排， 其中 第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù).那么這18個數(shù)的平均數(shù)是： .【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級 ，初賽，第12題【解析】一般而言，4個不同的數(shù)字共可組成 P43 =24 （個）不同的4位數(shù).如果只能組成18個不同的4位數(shù),說明其