吉林省農(nóng)安縣新農(nóng)鄉(xiāng)2017屆中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題八數(shù)學(xué)存在性問題教案

1、專題八一數(shù)學(xué)存在性問題中考透視：隨著新課程改革的不斷深入，中考數(shù)學(xué)試題也不斷推舊出新，“選拔性”和“能力性”兼容，命題由“知識(shí)型”立意向“能力型”、“素質(zhì)型”立意轉(zhuǎn)變，題型設(shè)計(jì)思路開闊、內(nèi)容豐富、立意深刻、發(fā)人深省。存在性問題恰恰是這類試題中突出考查學(xué)生能力的典型代表， 由于這類試題大多以函數(shù)圖象為載體，來研究事物的存在性， 理解起來比較抽象， 涉及面較廣，技能性和綜合性也很強(qiáng)，解決起來有一定的難度，對(duì)知識(shí)的遷移能力，靈活運(yùn)用能力和分析問題的能力要求很高，所以幾年來一直是全國各地中考數(shù)學(xué)的壓軸題目。 存在性問題的內(nèi)涵：存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識(shí)覆蓋面較廣

2、,綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求 較高.存在性問題按定性可分為：肯定型和否定型存在性問題在假設(shè)存在以后進(jìn)行的推理或 計(jì)算,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能要求較高，并具備較強(qiáng)的探索性正確、完整地解答這類問題，是 對(duì)我們知識(shí)、能力的一次全面的考驗(yàn)所謂存在性問題是指根據(jù)題目所給的條件，探究是否存在符合要求的結(jié)論，存在性問 題可抽象理解為“已知事項(xiàng) M,是否存在具有某種性質(zhì)的對(duì)象Q”解題時(shí)要說明 Q 存在，通常的方法是將對(duì)象 Q 構(gòu)造出來；若要說明 Q 不存在，可先假設(shè) Q 存在，然后由此出發(fā)進(jìn)行推 論，并導(dǎo)致矛盾，從而否定 Q 的存在，此類問題的敘述通常是“是否

3、存在若存在，請(qǐng)求出 （或證明），若不存在，請(qǐng)說明理由。存在性問題的種類:定性分類：1. 肯定型存在性問題；2. 否定型的存在性問題。定量分類：1. 數(shù)值存在性問題；2. 定值存在性問題；3. 極值存在性問題；4. 點(diǎn)存在性問題；5. 直線存在性問題；6. 三角形存在性問題；7. 平行四邊形存在性問題；8. 圓的存在性問題；9. 時(shí)間存在性問題；10. 位置存在性問題；11. 變化存在性問題；12. 關(guān)聯(lián)存在性問題。 數(shù)學(xué)思想：主要是：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、特殊到一般的思想解題技巧：1、 從數(shù)到形： 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，挖掘發(fā)現(xiàn)特殊角或線段比2、 從形到數(shù)： 找出特殊位置，分段分類討論 思維

4、模式：順向思維 逆向思維 兩頭架線 中間碰火的思維【解題策略】不同的存在性問題解法不同.下面按照解法及設(shè)問方式的不同將存在性問題分為代數(shù)方面的存在性問題（如方程根是否存在、最值是否存在等）、點(diǎn)的存在性問題（如 構(gòu)成特殊圖形的點(diǎn)是否存在）并舉例分析.（1）代數(shù)方面的存在性問題的解法思路是：將問題看成求解題，進(jìn)行求解，進(jìn)而從有解或2無解的條件，來判明數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在，這是解決此類問題的主要方法(2)點(diǎn)的存在性問題的解法思路是：假設(shè)存在T推理論證T得出結(jié)論若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷；若導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷類型一代數(shù)方面的存在性問題例 1 已知兩條平行線11,12之間的距離為 6

5、,截線CD分別交I1,12于C, D兩點(diǎn),一直角的頂點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn) C,D重合),直角的兩邊分別交I1,I2與 AB 兩點(diǎn).(1) 操作發(fā)現(xiàn)：如圖(1),過點(diǎn)P作直線I3/11，作PEL 11,點(diǎn)E是垂足，過點(diǎn)B作BF丄13,點(diǎn)F是垂足.此 時(shí)，小明認(rèn)PEMAPFB你同意嗎？為什么？(2) 猜想論證:將直角/APB從圖(1)的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在這一過程中，試觀察、猜想：當(dāng)AE滿足什么條件時(shí)，以點(diǎn)P,A,B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？在圖(2)中畫出圖形，證明你 的猜想(3) 延伸探究：在的條件下，當(dāng)截線CD與直線11所夾的鈍角為 150。時(shí)，設(shè)CP=x試探究，是否

6、存在 實(shí)數(shù)X,使APAB的邊AB的長(zhǎng)為 4 ?請(qǐng)說明理由.【全解】(1)如圖(1),由題意，得/EPAkAPF=90 , /FPB+/ APF=90, /EPAkFPB.又/PEAkPFB=0,. PEAAPFB.如圖(2),/ kAPB=0,要使PAE為等腰三角形，只能是PA=PB.當(dāng)AE=BF寸,PA=PBvkEPAkFPB/PEAK PFB=0,AE=BFPEA PFB/. PA=PB.(3)如圖(2),在 Rt PEC中 ,CP=x/PCE=0,當(dāng)片船=I 廟時(shí)血題&懈 PA = 2 JIGRtAPEA 中u/J-jj+Ze j-jr=4oT整理,得X2-12x-8=0,解得x

7、=6-2“16+6=12,且CD=2, 點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上，這與點(diǎn)P在線段CC上運(yùn)動(dòng)相矛盾 不合題意綜上，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)x.舉一反三1. (2016 山東煙臺(tái))如圖，點(diǎn)A(n,6),B(n,1)在反比例函數(shù)圖象上，ADL x軸于點(diǎn)D BCLx軸于點(diǎn)C,DC=.(1) 求n n的值并寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2) 連接AB在線段DC上是否存在一點(diǎn)E,使厶ABE的面積等于5?若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由32.dj恭呂AU已知槍物堆亨r+虹+6疥繞過A( (2-0.設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P與工輛的另一玄點(diǎn)為點(diǎn)B.求b的值，求出點(diǎn)P、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖,在直線y= x上是否存在點(diǎn)D,使

8、四邊形OPB為平行四邊形？若存在,求出點(diǎn)D的坐 標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由；在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M使厶AMP2AAMB如果存在,試舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，試說明理由【小結(jié)】 考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換(平移,對(duì)稱)、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對(duì)稱一一最短路線問題等知識(shí)點(diǎn)，還考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大類型二 點(diǎn)的存在性問題 V y %，3 A 與 5iB= 0 時(shí)三， J3=0H 得町三氛斗=札 當(dāng) XQ*y3b二點(diǎn) A 世岳為(仁協(xié)點(diǎn) U 堂標(biāo)為(一氛 0 幾點(diǎn)廠坐垛為 f03呂，一弓一乳化對(duì)稱軸為貫堆T=1.V4P_r 抽

9、上*點(diǎn)M在拋拘找|代郢切加 J 的 f 4AC.W 的血積幡尊時(shí).分 M 種悄況上1點(diǎn) M 在丁軸下方時(shí)幄眾撇軻接的材稱性可和蠱M與點(diǎn)關(guān)于直找* = 1 對(duì)稱VACS 標(biāo)為代.一 3 幾 A AM豎肚加茲一 3.2點(diǎn)M祀 J 軸上方時(shí)眾則三希形的零向枳搖*町加點(diǎn)訂 Plr 輔的護(hù)離竽丁點(diǎn)到丁軸朗護(hù)海 3.當(dāng)廠 3 時(shí)再” 一手 *一 3氛 Bf&X|=-+ yi7.jrf=-l- 7T7 代點(diǎn)訐坐標(biāo)為(一】十用*和或 I 一 1 一 yii,3.煤上所述所壊點(diǎn)刖樂標(biāo)溝(職一 3戒一 1 十 JT7.3)或一】一閃.3 匕(3)結(jié)論：存在.點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為 6,代入直線CP表達(dá)式求得縱坐標(biāo)

10、為 6.P2(6,6)TAB/ CP,AB CP,四邊形ABCP為梯形.綜上所述,在拋物線上存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A B, C P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)或(6,6).舉一反三3.(2016 湖北十堰)已知拋物線C:y=a(x+1)2-2 的頂點(diǎn)為A且經(jīng)過點(diǎn)B(-2,-1).(1) 求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C的表達(dá)式；(2) 如圖(1),將拋物線C向下平移 2 個(gè)單位后得到拋物線C2,且拋物線C2與直線AB相交于C, D兩點(diǎn)，求& OAC：& OAD的值；如圖(2),若過P(-4,0),Q0,2)的直線為l,點(diǎn)E在 中拋物線C對(duì)稱軸右側(cè)部分(含頂 點(diǎn))運(yùn)

11、動(dòng)，直線m過點(diǎn)C和點(diǎn)E.問：是否存在直線m使直線I,口與X軸圍成的三角形和直線l,口與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的表達(dá)式；若不存在，說明理由.若BC AR,此時(shí)梯形為ABCP由點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,可知BC x軸,則點(diǎn)P與點(diǎn)D重合,如圖所示,在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)R(-2,0).TRA=6,BC=2, .PIAMBC.A四邊形ABCF為梯形.點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(2,-3),的盤達(dá)盤為$ =尋工一鼠化町設(shè)直踐 5 的投達(dá)式為嚴(yán)斗丁+”. 將點(diǎn)坐標(biāo) 4、一 3) )代人.得丹=一 3 二直竣(1的農(nóng)達(dá)式為 v=yz-3. 叮點(diǎn)鬥在整勒罐嚴(yán)尋”一孑=一 3 上人_

12、1 丄一_工一*益一 3+4842化簡(jiǎn)得X2-6X=0,解得xi=0(舍去),X2=6,6【小結(jié)】 根據(jù)以上分析，我們可以歸納出存在性問題的解決策略：(1)直接求解法：存在性問題探索的結(jié)果有兩種：一種是存在；另一種是不存在直接求解法就是直接從已知條件入 手,逐步試探，求出滿足條件的對(duì)象，使問題得到解決的解法.(2)假設(shè)求解法：先假設(shè)結(jié)論存 在，再從已知條件和定義，定理，公理出發(fā)，進(jìn)行演繹推理，若得到和題意相容的結(jié)論，則假設(shè)成立，結(jié)論也存在；否則，假設(shè)不成立，結(jié)論不存在.(3)反證法是證明否定型存在性問題的主 要方法，特別是在無限個(gè)候選對(duì)象中，證明某種數(shù)學(xué)對(duì)象不存在時(shí)，逐一淘汰的方法幾乎不能實(shí)行

13、，更需要使用反證法課后精練類型一L 凹川毎陽1 圖拋為堆十*工+3*0的過點(diǎn) Af( (-2,73 1，慎點(diǎn)蚩村:為(1) 求拋物線的表達(dá)式；(2) 點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)Q使厶QBM勺周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說2問題探究(1)如圖(1)，在矩形ABCD，AB：3,BC屯如果BC邊上存在點(diǎn)P,使厶APD為等腰三角形，那么 請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形APD并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；如圖(2)，在厶ABC中，/ABC=O,BC=2,AD是BC邊上的高，E F分別為邊ABAC的中點(diǎn)，當(dāng)AD：6 時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q使/EQF=0，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；問題解決有一山莊，它的平面圖為

14、如圖(3)的五邊形ABCD.E山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB現(xiàn)只要使/AM歐約為 60，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知/A=ZE=ZD=90,AB=270m，AE：400m，ED：285m，CD=40m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)3.如圖，已知。0上依次有ABCD四個(gè)點(diǎn)，=化連接ABADBD弦AB不經(jīng)過圓心C,延長(zhǎng)AB到E,使BE=AB連接EC,F是EC的中點(diǎn)，連接BF.交于A B兩點(diǎn)，與y軸交于，當(dāng)厶PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)明理由7(1)若。0的半徑為 3, /DAB4200,求劣弧 他的長(zhǎng)；(2) #fiEiHF=yfln48設(shè)G是BD的中點(diǎn)，探索：在。O上是否存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)B),使得PG=P,F并說明PB與AE