分布的其他特征數(shù)(Figure

1、2.7 分布的其他特征數(shù)（Figure Characteristic） 數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量最重要的兩個(gè)特征數(shù)，此外，隨機(jī)變量還有一些其他的特征數(shù)。 2.7.1 K階矩定義 設(shè)為隨機(jī)變量，為正整數(shù)。如果以下的數(shù)學(xué)期望都成存在，則稱為的階原點(diǎn)矩（order origin moment）。稱 為的階中心矩（ order central moment）。稱為和的階混合矩（order hybrid moment）稱為和的階混合中心矩（order hybrid central moment）。顯然，。由于，故階矩存在時(shí)，階矩也存在，從而低于的各階矩都存在。中心矩和原點(diǎn)矩之間的關(guān)系：證明 略故前四階中

2、心矩可分別用原點(diǎn)矩表示如下：例 設(shè)隨機(jī)變量，則（1）為奇數(shù)時(shí)（2）為偶數(shù)時(shí)故分布的前四階原點(diǎn)矩分別為，又因?yàn)?，所以有原點(diǎn)矩等于中心矩，即 變異系數(shù)方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度，但在比較兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小時(shí)，如果僅看方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）的大小有時(shí)會(huì)產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象。這有兩個(gè)原因：（1） 隨機(jī)變量的取值有量綱，不同量綱的隨機(jī)變量用其方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）去比較它們的波動(dòng)大小不太合理；（2） 在取值的量綱相同的情況下，取值的大小有一個(gè)相對(duì)性問(wèn)題，取值較大的隨機(jī)變量的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）也允許大一些。所以，要比較兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小時(shí)，在有些場(chǎng)合使用以下定義的變異系數(shù)更具有可比性。定義 設(shè)隨機(jī)

3、變量的二階矩存在，則稱比值 為的變異系數(shù)。因?yàn)樽儺愊禂?shù)是以其數(shù)學(xué)期望為單位去度量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的特征數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)學(xué)期望的量綱是一致的，所以變異系數(shù)是一個(gè)無(wú)量綱的量。 例2.7.2 用表示某種同齡樹(shù)的高度，其量綱是米(m)，用表示某年齡段兒童的身高，其量綱也是米(m)，設(shè)。雖然，也不能說(shuō)的波動(dòng)比的波動(dòng)大。由于 ，所以，說(shuō)明的波動(dòng)比的波動(dòng)小。 分位數(shù)定義 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為。則對(duì)任意的，稱滿足條件 的為此分布的分位數(shù)，又稱下側(cè)分位數(shù)。分位數(shù)是把密度函數(shù)下的面積分為兩塊，左側(cè)面積恰好為，右側(cè)面積為。同理，稱滿足條件的為此分布的上側(cè)分位數(shù)。分位數(shù)也是把密度函數(shù)下的面積

4、分為兩塊，右側(cè)面積恰好為，左側(cè)面積為。分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)的轉(zhuǎn)換公式： ，例 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)記為，它是方程的唯一解，其解為，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表（見(jiàn)附表2），我們可以由查得。如。由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是偶函數(shù)，故其分位數(shù)有如下性質(zhì)：1 當(dāng) 2345一般正態(tài)分布的分位數(shù)與的分位數(shù)的關(guān)系： 中位數(shù)定義 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為。稱時(shí)的分位數(shù)為此分布的中位數(shù)。即滿足中位數(shù)與數(shù)學(xué)期望一樣都是隨機(jī)變量位置的特征數(shù)，但在某些場(chǎng)合可能中位數(shù)比期望更能說(shuō)明問(wèn)題。比如，某班級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)的中位數(shù)為80分，則表明班級(jí)中的一般同學(xué)成績(jī)低于80分，另一班同

5、學(xué)的成績(jī)高于80分。而如果考試成績(jī)的期望是80分，則無(wú)法得出如此明確的結(jié)論。又如，記與分別表示A,B國(guó)人的年齡，和風(fēng)別表示與的中位數(shù)，則說(shuō)明A國(guó)約有一半的人年齡超過(guò)40歲，而說(shuō)明B國(guó)約有一半的人年齡超過(guò)50歲，故B國(guó)的人口更趨于老齡化一些。例 指數(shù)分布的中位數(shù)是方程的解，解之得假如，某城市的通話時(shí)間服從均值的指數(shù)分布，此時(shí)由可得中位數(shù)為它表明：該城市中約有一般的電話在內(nèi)結(jié)束，另一半的通話時(shí)間超過(guò)。 偏度系數(shù)定義 設(shè)隨機(jī)變量的三階矩存在，則稱比值 為的分布的偏度系數(shù)，簡(jiǎn)稱偏度。偏度系數(shù)可以描述分布的形狀特征，其取值的正負(fù)反映的是時(shí)，分布為正偏或右偏，見(jiàn)圖(a)；時(shí)，分布關(guān)于均值對(duì)稱，見(jiàn)圖(b)；時(shí)，分布為負(fù)偏或左偏，見(jiàn)圖(c)。 圖 三種不同偏度的分布 峰度系數(shù) 定義設(shè)隨機(jī)變量的四階矩存在，則稱比值 為的分布的峰度系數(shù)，簡(jiǎn)稱峰度。峰度系數(shù)也是用于描述分布的形狀特征，但峰度系數(shù)與偏度系數(shù)的差別是：偏度系數(shù)