【KS5U解析】吉林省延邊州2020屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、吉林省延邊州2020屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題一選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為，根據(jù)集合的運算，即可求解.【詳解】由題意，全集，集合，集合，可得，所以，由圖象可得陰影部分表示的集合為.故選：a.【點睛】本題主要考查了集合基本概念及運算，其中解答中利用圖象先確定集合關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.2.復(fù)數(shù)實部為，虛部為，則（ ）a. b. c. 2d. 3【答案】b【

2、解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡，求得的值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以，則.故選：b.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運算法則，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力.3.已知向量，滿足，則（ ）a. b. c. 9d. 81【答案】d【解析】【分析】利用兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，以及向量的坐標運算，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，向量，因為，可得，解得，又由，所以，解得，所以.故選：d.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，以及向量的平行與垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與計算能力.4.九章算術(shù)均輸中有如下問

3、題：“今有五人分十錢，令上二人所得與下三人等，上下人差均等，問各得幾何”其意思為“已知甲乙丙丁戊五人分10錢，甲乙兩人所得與丙丁戊三人所得相同，且甲乙丙丁戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢?”（“錢”是古代的一種重量單位）這個問題中，乙所得為（ ）a. 錢b. 錢c. 錢d. 錢【答案】b【解析】【分析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，公差為，根據(jù)題意列出方程，利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，公差為，由題意可得，所以，解得，所以錢.故選：b.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的實際應(yīng)用，其中解答中認真審題，合理利

4、用等差數(shù)列的通項公式，列出方程求得是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.5.要得到的圖象，只需將的圖象（ ）a. 向左平移個單位長度b. 向左平移個單位長度c. 向右平移個單位長度d. 向右平移個單位長度【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，即只需將的圖象向右平移個單位長度，即可得到的圖象.故選：c.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換規(guī)則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.6.命題“對，”為真命題的一個充分不必要條

5、件是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)命題為真命題求出命題的等價條件，結(jié)合充分不必要條件的定義進行判斷，即可求解.【詳解】由題意，命題“對，”等價于，令，可得，又由當(dāng)，可得，所以，要使得恒成立，所以，則成立的一個充分不必要條件是.故選：c.【點睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的判定及應(yīng)用，其中解答中根據(jù)恒成立求得實數(shù)的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計算能力.7.在正方體中，點分別為棱、的中點，給出下列四個結(jié)論：；平面；異面直線，所成角的大小為；平面其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形

6、，利用空間中的直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系，逐一判定，即可求解.【詳解】如圖所示，對于中，連接，則，而，則，所以是正確的；對于中，因為，平面，平面，所以平面，所以是正確的；對于中，所以為異面直線和所成角，連接，可得為等邊三角形，所以，即異面直線所成的角為，所以不正確；對于中，所以平面，所以是正確的.故選：. 【點睛】本題主要考查了空間中的直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記空間中的線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.8.已知圓，若直線上總存在點，使得過點的圓的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是（ ）a. 或

7、b. c. 或d. 【答案】a【解析】【分析】直接利用直線和圓的位置關(guān)系，由于存在點p使圓的兩條切線垂直，得到四邊形為正方形，進一步用點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，若直線上總存在點，使得過點的圓的兩條切線互相垂直，如圖所示，根據(jù)過點p的圓c的兩條切線互相垂直，可得四邊形apbc為正方形，所以，所以只需圓心到直線的距離，解得或.故選：a. 【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了運算能力和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.9.2013年5月，華人數(shù)學(xué)家張益唐教授發(fā)表論文素數(shù)間的有界距離，破解了“孿生素數(shù)猜想”這一世紀難題，證明了孿生素數(shù)猜想的

8、弱化形式孿生素數(shù)就是指相差2的素數(shù)對，最小的6對孿生素數(shù)是，現(xiàn)從這6對孿生素數(shù)中取2對進行研究，則取出的4個素數(shù)的和大于100的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意先找出符合題意的所有基本事件，再找出所求事件中所包含的基本事件，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從6對數(shù)據(jù)中選出兩對，共有種不同的選法，其中符合題意取出4個素數(shù)的和大于100的有和，和，和，共有3種不同的選法，所以取出4個素數(shù)的和大于100的概率為.故選：b.【點睛】本題主要考查了古典概型的概率計算公式的應(yīng)用，其中解答中列舉出所求事件所包含的基本事件的個數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查

9、了分析問題和解答問題的能力.10.已知，是雙曲線，的兩個焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點坐標，進而可求得三角形的高，得到點m的坐標，再求得點n的坐標，代入雙曲線的方程求得的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意，雙曲線的焦點坐標為，所以，即等邊三角形的邊長為，所以的高為，即，所以中點，代入雙曲線的方程，可得，整理可得，又由，可得，兩邊同除，可得，解得，又因為，所以，即.故選：d.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：

10、求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)11.三棱錐內(nèi)接于半徑為2的球中，平面，則三棱錐的體積的最大值是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用已知條件求出三棱錐的高，然后求解三棱錐的體積的表達式，進而求得體積的最大值，得到答案.【詳解】由題意，三棱錐內(nèi)接于半徑為2球，平面，可得棱錐的高為，則，即，解得,則三棱錐的體積為,當(dāng)且僅當(dāng)時，三棱錐的體積取得最大值.故選：c.【點睛】本題主要考查了三棱錐體積的求法，幾何體外接球的性質(zhì)，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.12.已知函數(shù)

11、若方程f（x）=m有4個不同的實根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，則（）（x3+x4）=（）a. 6b. 7c. 8d. 9【答案】c【解析】【分析】畫出f（x）的圖象，由對稱性可得x3+x48，對數(shù)的運算性質(zhì)可得x1x2x1+x2，代入要求的式子，可得所求值【詳解】作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，f（x）m有四個不同的實根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4，可得x3+x48，且|log2（x11）|log2（x21）|，即為log2（x11）+log2（x21）0，即有（x11）（x21）1，即為x1x2x1+x2，可得（）（x3+x4）x3+x48故選c【點睛】本題考查分段函

12、數(shù)的圖象和應(yīng)用，考查圖象的對稱性和對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題二填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.在的展開式中，含的項的系數(shù)是_【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求得的系數(shù)的表達之，再利用組合數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，在的展開式中，含的項的系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，以及組合數(shù)的計算，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在等比數(shù)列中，若，則_【答案】4【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和題設(shè)條件，求得數(shù)列的公比，代入即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，等比數(shù)列中，若，可得，又由.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項

13、公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.15.若函數(shù)與滿足：存在實數(shù)，使得，則稱函數(shù)為的“友導(dǎo)”函數(shù)已知函數(shù)為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，則的取值范圍是_【答案】；【解析】【分析】首先求出的導(dǎo)數(shù)，由題意可知有解，即有解，令，求得的最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，所以有解，即有解，令，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義，以及利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中合理構(gòu)造新函數(shù)

14、，數(shù)列應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分離參數(shù)思想，構(gòu)造思想，以及推理與運算能力.16.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）給出下列三個結(jié)論：曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫縱坐標均為整數(shù)的點）；曲線上存在到原點的距離超過的點；曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中，所有錯誤結(jié)論的序號是_【答案】【解析】【分析】將換成方程不變，得到圖形關(guān)于軸對稱，根據(jù)對稱性，分類討論，逐一判定，即可求解.【詳解】將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過點，當(dāng)時，方程變換為，由，解得，所以只能去整數(shù)，當(dāng)時，解得或，即曲線經(jīng)過，根據(jù)對稱性可得曲

15、線還經(jīng)過，所以曲線一共經(jīng)過6個整點，所以是正確的；當(dāng)時，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，即曲線c上軸右邊的點到原點的距離不超過，根據(jù)對稱性可得：曲線c上任意一點到原點的距離都不超過，所以不正確；如圖所示，在軸上圖形的面積大于矩形的面積：，軸下方的面積大于等腰三角形的面積：，所以曲線c所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于，所以不正確的.故選：.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，以及曲線與方程的應(yīng)用，其中解答中合理利用圖形的對稱性，逐一判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力.三解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生

16、都必須作答第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：60分17.在銳角中，內(nèi)角，的對邊分別為，且（1）若，求邊的大??；（2）若且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡整理得，求得的值，進而得到的值，最后利用余弦定理，即可求解.（2）根據(jù)題設(shè)條件，求得，再利用正弦定理，求得，得到，利用三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，因為，由正弦定理，可得，即，即，又由，所以，所以，在銳角中，可得,所以，所以，由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，又由已知得，所以，解得.（2）由，因為，所以，由正弦定理得，可得，所以，整理得，又因為，可

17、得，即，所以【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知中，分別是，的中點，將沿翻折，得到如圖所示的四棱錐，且，設(shè)為的中點（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的的正弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，得到四邊形是平行四邊形，得出，從而，證得平面，平面，進而利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到（2）以為坐標原點，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得向量和平面的一個法向

18、量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）取的中點，連接，可得，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，分別是，的中點，所以，因為，所以，又因為，且，平面，所以平面，所以平面，因為平面，所以，因為分別為的中點，故，所以，又，所以又因為，又，平面，所以平面，又由平面，所以（2）由（1）知：平面，以為坐標原點，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，可得，在中，可得，所以，所以點到軸的距離為1，可得，則，設(shè)平面的法向量為，所以，解得，令，可得，設(shè)直線與平面所成的角為則，即直線與平面所成的角的正弦值為【點睛】本題考查了線面位置關(guān)系的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想

19、象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19.某村為了脫貧致富，引進了兩種麻鴨品種，一種是旱養(yǎng)培育的品種，另一種是水養(yǎng)培育的品種為了了解養(yǎng)殖兩種麻鴨的經(jīng)濟效果情況，從中隨機抽取500只麻鴨統(tǒng)計了它們一個季度的產(chǎn)蛋量（單位：個），制成了如圖的頻率分布直方圖，且已知麻鴨的產(chǎn)蛋量在的頻率為0.66（1）求，的值；（2）已知本次產(chǎn)蛋量近似服從（其中近似為樣本平均數(shù)，似為樣本方差）若本村約有10000只麻鴨，試估計產(chǎn)蛋量在110120的麻鴨

20、數(shù)量（以各組區(qū)間的中點值代表該組的取值）（3）若以正常產(chǎn)蛋90個為標準，大于90個認為是良種，小于90個認為是次種根據(jù)統(tǒng)計得出兩種培育方法的列聯(lián)表如下，請完成表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān)良種次種總計旱養(yǎng)培育160260水養(yǎng)培育60總計340500附：，則，其中0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.84150246.6357.87910.828【答案】（1），（2）1359只（3）見解析，有99.5%的把握認為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān)【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出對應(yīng)的頻率值，進而求得的值

21、；（2）根據(jù)題意計算的值，利用正態(tài)分布的性質(zhì)，即可求解，進而求得對應(yīng)的數(shù)值；（3）根據(jù)題意補充的列聯(lián)表，計算的值，對照臨界值表，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，可得產(chǎn)蛋量在頻率為0.66，可得產(chǎn)蛋量在的麻鴨數(shù)量為（只）所以產(chǎn)蛋量在的麻鴨數(shù)量為（只）產(chǎn)蛋量在的麻鴨數(shù)量為（只）產(chǎn)蛋量在的麻鴨數(shù)量為（只）所以，.（2）由平均數(shù)的計算公式，可得：，即，又由，所以10000只麻鴨中估計產(chǎn)蛋量在110120麻鴨數(shù)量為（只）（3）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表：良種次種總計旱養(yǎng)培育100160260水養(yǎng)培育60180240總計160340500所以，所以有99.5%的把握認為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān)【點睛】

22、本題主要考查了頻率分布直方圖和獨立性檢驗的應(yīng)用，以及正態(tài)分布曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及運算能力.20.已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）對任意的，恒成立，請求出a的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，可求、，根據(jù)點斜式求出切線方程（2）利用參變分類法，已知對任意的，恒成立，即對任意的恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定的區(qū)間上的最小值【詳解】解：（1）因為，所以，所以切線方程為（2）不等式，對任意的恒成立，即對任意的恒成立令，則，令，則，易知在上單調(diào)遞增，因為，且的圖象在上連續(xù)，所以存在唯一的，使得，即，則當(dāng)時，單調(diào)

23、遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增則在處取得最小值，且最小值為，所以，即在上單調(diào)遞增，所以【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及利用導(dǎo)數(shù)取函數(shù)的最值問題，屬于中檔題21.已知橢圓的右焦點在圓上，直線交橢圓于，兩點（1）求橢圓的方程；（2）若（為坐標原點），求的值；（3）設(shè)點關(guān)于軸對稱點為（與點不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為1.【解析】【分析】（1）由圓，令，求得或，進而求得的值，得到橢圓的標準方程；（2）把直線mn的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，列出方程，求得的值，即可得到結(jié)論；（3）由橢圓的對稱性可得，得出mn的直線方程，求得與軸的交點所以，得到，利用三角形的面積公式和基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，圓，令，解得或，即圓與軸交點分別為，所以或，又由，因為，所以或，又因為，所以，故橢圓方程是.（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，因為，可得，所以，代入可得，解得，所以，即為定值.（3）由橢圓的對稱性可得，所以直線的方程為，令，可得，所以，得到.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的面積最大值為1.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方