數(shù)列通項公式常見求法

1、精心整理數(shù) 列 通 項 公 式 的 常 見 求 法數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，每年高考都會出現(xiàn)有關(guān)數(shù)列的方面 的試題，一般分為小題和大題兩種題型，而數(shù)列的通項公式的求法是?？嫉囊粋€ 知識點，一般常出現(xiàn)在大題的第一小問中，因此掌握好數(shù)列通項公式的求法不僅 有利于我們掌握好數(shù)列知識，更有助于我們在高考中取得好的成績。下面本文將 中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)列通項公式的常見求法進(jìn)行較為系統(tǒng)的總結(jié)，希望能對同學(xué)們有所幫助。一.公式法高中重點學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，當(dāng)題中已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù) 列，在求其通項公式時我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項，只需求得首項及公差公比。-1、等差數(shù)列公式

2、'例1、（2011遼寧理）已知等差數(shù)列an滿足a2=0, a6+a8=-10（I）求數(shù)列an的通項公式；-fa + d = 0解：（1 ）設(shè)等差數(shù)列厲的公差為d，由已知條件可得仏+12d-0.解得二故數(shù)列an的通項公式為an =2 -n.2、等比數(shù)列公式例2.（2011重慶理）設(shè);an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，ai=2，aa<H4 。（I）求an的通項公式解：I）設(shè)七為等比數(shù)列an的公比，則由ai=2,a3=a2 +4得2q2=2q+4，即q2 q-2=0，解得q=2或q =-1 （舍去），因此q = 2.3、an所以an的通項為an =2 <22 =2n（n亡N*）.通用公

3、式若已知數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式，求數(shù)列的通項an可用公式sn - Sn4n >2求解。一般先求出a1=S1若計算出的an中當(dāng)n = 1適合時可以合并為一個關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項公式。例3、已知數(shù)列an的前n項和Sn = n2 1，求an的通項公式。解: a1 = si = 0 ,當(dāng) n > 2 時由于a1不適合于此等式。 70-1(:; 2).當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項和后一項的遞推關(guān)系即：an和an-1的關(guān)系時我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法1、疊加法一般地，對于型如an+ = an + f( n)類的通項公式，且f (1)+ f(2)+ f (n)的 和比較好求，我

4、們可以采用此方法來求 an。T _即：an =(an-anJ+(anan2)+iH+(a2aj +3 (n>2);例4、(2011四川理8)數(shù)列牯的首項為3，為等差數(shù)列且bn =an+an(n 匸 N*) 若則= -20° =12 貝a8A. 0 B. 3C. 8 D. 11解：由已知知bn =2n-8，%卄an =2n-8,由疊加法例5、已知數(shù)列an滿足a1 = ,an = an +2，求數(shù)列 牯補(bǔ)的通項公式。2n +n1解：(1) 由題知：an屮一 an =_n2 + n n(n +1) 1nn+12、疊乘法-一般地對于形如“已知a1，且旦比=£ 5)an(f(n

5、)為可求積的數(shù)列)”的形式可通過疊乘法求數(shù)列的通項公式。即:anIII 皂 a (n >2);an/a1在數(shù)列 an 中，ai=1,(n+1)由(n + 1) an 4t=n' an 得蘭-ah= n -an，求an的表達(dá)式。_ nann +廠 a±-二丄2 3 丄J=丄 所以an =a1a1a2 a3an2 3 4 n nn3、構(gòu)造法解:an當(dāng)數(shù)列前一項和后一項即an和an-1的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時，我們往往對原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過的熟悉的數(shù)列 (等 比數(shù)列或等差數(shù)列)。具體有以下幾種常見方法。(1)、待定系數(shù)法、一般地對于sn=kan

6、-i+m(k、m為常數(shù))型，可化為的形式an+入=k(an-i+入).重新構(gòu)造出一個以k為公比的等比數(shù)列，然后通過化簡用待定系數(shù)法求入，然后再求an。例7、(2011廣東理、設(shè)b>0,數(shù)列(aj滿足ai=b，an =nban 1(n>2)(1)求數(shù)列taj的通項公式;ban，得丄=n an 丄+2( n1)anan+2(n -1)banan知bn" 士是等比數(shù)列，.bn+士 W+北)彳嚴(yán)，又 0三， nbn(2 - b)12 n1仃)n _12n bnbn _2 -b b 2 -b 2 -b b二 an2nbnn21設(shè)亍bn，則 bn=Lbn+7(n4，(i)當(dāng)b=2時，

7、bn 是以1為首項，為公差的等差數(shù)列,2 21 11即 bn = + (n-1)XL二_n， an =22 22、對于an +1 = pan+ f(n)(其中p為常數(shù))這種形式,一般我們討論兩種情況:i、當(dāng)f(n)為一次多項式時，即數(shù)列的遞推關(guān)系為 an+=Aan+B n+C 型,可化為an+n += Aan +7(n -1)中>-2的形式來求通項。例8.設(shè)數(shù)列an中，a1 =1,an+1 = 3an+2n+1，求an的通項公式。解：設(shè) an -h +A(n+ 1) + B=3(an+An+B)與原式比較系數(shù)得:2A = 22B-A=1 I即an 半 +(n +1)+1 =3(an +

8、n +1)令 bn =an + n +1,貝 y bn+i=3bn 且 bi=ai+1+1=3ii、當(dāng)f（n）為指數(shù)冪時，即數(shù)列遞推關(guān)系為an = Aa B Qn （A、B、C為常數(shù)，）型，可化為a卄+AQn = A（anCn）的形式.構(gòu)造出一個新的等比nA數(shù)列，然后再求an 例9. （2003年全國高考題）設(shè)ao為常數(shù)，且an =3n-2an_, （ n- N ）,-證明：對任意 nA 1，an = 3n +(1)刃 + 1)n 0 £0 5解：證明：設(shè) an t 3-2(an-t、3n)用an =32 -2an4代入可得t =5an是公比為-2，首項為a1 -n3 n*= (12

9、a02)2 ( n- N )，5., 5的等比數(shù)列,-an即：an蘭9亠（祁八。55當(dāng)然對于an+=Aan+B C這種形式遞推關(guān)系求an時，當(dāng)A=C時，我們往往也an。會采取另一種方法，即左右兩邊同除以Cn+1,重新構(gòu)造數(shù)列，來求例 10、（2007 天津理）在數(shù)列an中，a2, an+= Aan + 汀十 + （2幾）2n（n亡 N）， 其中兀0 .（I ）求數(shù)列aj的通項公式;解：由 a =)耳 + 入n十 +(2 ).)2“(n N)，人 > 0，可得器弋邈卜，2)'為等差數(shù)列，其公差為1,首項為0,故魚-憶丨=n 1，所 丨 iAn S以數(shù)列an的通項公式為an =(n

10、-1)汀+2n .(2) 、倒數(shù)法一般地形女口 an =a、an an =ankanjL +b法將其變形為我們熟悉的形式來求通項公式。an-an等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)例11.已知數(shù)列an滿足：a1 =1,an=，求屛的通項公式。3an 1 +11 3an_1 +11=3 +anan 1an 1解：原式兩邊取倒數(shù)得:即an=一3n-212、(北京龍門育才學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考)在數(shù)列an中,1ai=3，并且對任意""2都有an gfP成立，令bn=(n N*). an(I)求數(shù)列bn的通項公式；1解: (1) 當(dāng) n=1 時，0 =3,當(dāng) n>2時,-a

11、1/. an +1 aI，兩邊取對數(shù)得lg(1 +an+)=2lg(1 +an)， 即 lg(1 +a_2lg(1 +an)/. lg(1 +an)是公比為2的等比數(shù)列.例14、若數(shù)列an中，a1=3且務(wù)申=2 5是正整數(shù)），則它的通項公式是a. （ 2002年上海高考題）.解由題意知an >0，將an+=an2兩邊取對數(shù)得lgan屮=2lgan，即3 = 2，lgan所以數(shù)列Ig an是以Igai=lg3為首項，公比為2的等比數(shù)列,d刃 1刃 1lgan =lga, 2n =lg3_，即 a3 -（4）、特征方程法、一般地對于形如已知 6 m, a2二m2,an+2=Aan+1+Ban

12、（A、B是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列，我們可以采取兩種方法來求通項。 法一：可用特征方程的方法求解： 我們稱方程：x2-Ax-B=0主數(shù)列的特征方程（i ）當(dāng)方程有兩個相異的實根（或虛根）“ P、q時，有：an=c廠pn+c2qn，其 中C1與C2由已知am1,am2,確定。-（ii ）當(dāng)方程有唯一的實根P、時，有an =（C1 n+c2）pn，其中C1與C2由已知- .-a1 = mi, a2 = m?,確疋。 -法二:.可構(gòu)造成一 an +2 - X1a nF =X2（a n.41 -/玄n），則an卅-X1an為等比數(shù)列， 進(jìn)而求通項公式，這種方法過程較為繁雜。例15、已知 a1=2, a2=

13、3，an +2 =2an.+i - an，求通項公式。.解法一：特征方程的根為1,所以an=（C1 n+C2） X 1n由：C2 2 得 C1=C2=1，所以 an=n+1。2g +c2 =3解法二：設(shè) an -X1 anH1 =X2（an+1 -xpn），可得 X1=X2=1，于是an+1 an 是公比為1的等比數(shù)列，an+1 an=1,所以an=n+1。例16.已知數(shù)列an滿足a1 =2,a2 =3,an七=3an十-2an（n亡N*），求數(shù)列a.的通項an。解：其特征方程為X2 =3x -2，解得xi =1,X2 = 2，令an = c, 1n +c2公，I C n 11，二 an =1

14、 +2由 $-1+2-2，得a = e + 4e = 3例17、(2009陜西卷文)已知數(shù)列an滿足，a1=1a2,an+ 2= 筆3空,n-N*.(I)令bn =an屮-an，證明：bn是等比數(shù)列;(n)求an的通項公式。解：(1)證明：bi=a23!=!,當(dāng) n >2 時，bn =an 十-an = an = 一 (an _ 務(wù)/) = -g S所以bn是以1為首項，-1為公比的等比數(shù)列。_(2)解由("知 bn =a卄-an =(-舟)；- - 1 1當(dāng)心時，an=a1+(a2-a1)+低-a2)+川 +(an-anJ=1+"(-2)+ili + (-2)nd/

15、“ 口十 5 21 1A當(dāng) n = 1 日寸，一()：=1 ：= a103 321所以 a5-1)n(nN*) 0n 3 32本題也可以用特征方程來證明，同學(xué)們不妨自己試試。、一般地形如：an十=a "an +b (a、b、c、d為常數(shù))e £n +d"I;可得到相應(yīng)的特征方程：X = ax + b，再將其變?yōu)閑x2 +(d -a)x-b = 0，通過該方cx+d程的根的情況來重新構(gòu)造數(shù)列。(i )如果方程ex2 +(d -a)x-b =0有兩個相異的實根，則有數(shù)列-a-P >是以I an - q J為首項，為公比的等比數(shù)列;3 -qa -eqI 1 I(i

16、i)如果方程ex2+(d-a)x -b=0有兩個相同的實根，則數(shù)列是以lA-pJ為首項，旦為公差的等差數(shù)列。日 一 Pa +d例18、(2009江西理22)各項均為正數(shù)的數(shù)列an，ai =a,a2 =b，且對滿足ap +aqam + anm +n = p +q的正整數(shù)m,n, p,q都有(1 + am)(1+an)(1 + a p)(1 + aq)14ap+aq當(dāng)aP'bV時，求通項an； 解：(1)由am+an =5p、q得(1 + am)(1+an)(1 + a p) (1+aq)_aa_.將 al,a-代入化簡得(1 + ai)(1 +an)(1+ a2)(1 +3心)25構(gòu)造方

17、程 X =_a(a=2,b=1,c=1,d=2)化簡得：x2=1 解得 x=1 和-1. cx + d所以數(shù)列孟為等比數(shù)列, 所以任-”上口1 +an3 1 +an 二從而：上並=±,即an1 +an 3_3n -1"3n +13n _1可驗證，即=畀滿足題設(shè)條件例19已知數(shù)列an滿足a =2,ana2 +2 (n >2)，求數(shù)列an的通項an2an/1解：其特征方程為x=，化簡得2宀2=0，解得心,1，令an+1an+1由印=2,得a2 =4，可得c =，5311為公比的等比數(shù)列，兒數(shù)列丿心!是以3丿為首項，以Ian +1Jai +1 3V叮，-需-三、當(dāng)題中給出的

18、是Sn和an的關(guān)系時，我們一般通過作差法結(jié)合 an=S Sn-1這個通用公式對原等式進(jìn)行變形，消掉Sn得到an和an+1的遞推關(guān)系，或消掉an得 到Sn和S-1的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項公式。例20、(2007湖北理19)已知數(shù)列屛的前n項和為Sn ,且滿足：aa (0),an 屮=rSn (n 亡 N , r 亡 R, r h _1).(I)求數(shù)列an的通項公式;解：(I)由已知anH1=rSn,可得an*=rSn卡，兩式相減可得 即 an占=(r +1)a4,又arara,所以r=0時, 數(shù)列an為：a, 0,，0,;N)，當(dāng)r H 0,r H 1時，由已知a工0,所以a0 ( n

19、亡a于是由an書=(r + 1)an和可得上2 = r +1(n壬N*),an屮”a2,a3,Hhan +lil成等比數(shù)列,”當(dāng) n >2時，an =r(r +1)n'a.綜上，數(shù)列an的通項公式為an =1,r(r +1嚴(yán)a,nan>2例21：( 2007重慶理)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和滿足S1，且(1)求 an的通項公式；I 'I 解：由.aS =-(a1 +1)6 +2)，解得 a1= 1 或 a1 = 2，由假設(shè) ap S> 1，因 I:6此 a = 2。11又由 an+1= Sn+1-Sn 一 佃十鬥) 1 + 2)幺 +1)&

20、+ 2), 66舍去。是公差為3,首項為2的等差數(shù)列，故 an例22. (2009全國卷n理)設(shè)數(shù)列得 an + 1- an-3 = 0 或 an+1 = - an 因an > 0 ,故an+1 - an不成立， 因此 an+1- an-3 0。從而 an 的通項為an 3n-2。an的前 n 項和為 Sn,已知 ai = 1, Sn4i = 4an + 2(I)設(shè)bn=an+-2an，證明數(shù)列0是等比數(shù)列(II )求數(shù)列an的通項公式。解：(I)由 a1=1,及 Sn+=4an+2，有at +a2 =4 +2, a2 =3a, +2 =5b, = 32 -2ai =3由Sn+=4an+

21、2， 則當(dāng)n>2時，有Sn=4an+2一得 an + = 4a 4anan爺-2an = 2（an 2an）又：bn=an屮-2an，/. bn =2bnj/. bn是首項= 3，公比為2的等比數(shù)列.邑=324猜想法不失為一種權(quán)宜之(II )由(I )可得 bn =an+2an =3 2心，二黑 /.數(shù)列剳 是首項為1，公差為扌的等比數(shù)列./. an = 1 + (n_ 1)3=3n-丄，an =(3n-1) 2n-2n 2444四、猜想法 當(dāng)我們在求數(shù)列通項時沒想到比較好的方法時，計。運用猜想法解題一般涉及到三個步驟：(1 )利用所給的遞推式求出 a1,a2,a3,，(2)猜想出滿足遞推式的一個通項公式 a.，(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。-例 23、(2007 天津理)在數(shù)列aj中，a1=2, a. =泅.+ 汀半 + (2 - A)2n(n N)，其中 A >0 .(I )求數(shù)列an的通項公式;解: a2 =2幾 +么2 +（2 -伉）2 二沉2 +22a3 =a（）F +22）+a3+（2 二血3+23a4 二充（2 扎3 +23） +扎4 +（2 _）j23 =3扎4 +24.由此可猜想出數(shù)列an的通項公式為an =(n-1)汀+2n .以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時，ai