全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（初1）第14講 面積問題

1、第十四講 面積問題我們已經(jīng)學(xué)過的面積公式有： (2)S平行四邊形=ah(其中h表示a邊上的高)的長，h表示平行邊之間的距離)由于多邊形可以分割為若干個三角形，多邊形的面積等于各三角形面積和，因此，三角形的面積是面積問題的基礎(chǔ)等積變形是面積問題中富于思考性的有趣問題，它是數(shù)學(xué)課外活動的重要內(nèi)容，這一講中我們將花較多的篇幅來研究多邊形的等積變形等積變形是指保持面積不變的多邊形的變形三角形的等積變形是多邊形等積變形的基礎(chǔ)，關(guān)于三角形的等積變形有以下幾個主要事實：(1)等底等高的兩個三角形面積相等(2)兩個三角形面積之比，等于它們的底高乘積之比(3)兩個等底三角形面積之比，等于它們的高之比(4)兩個等

2、高三角形面積之比等于它們的底之比例1 已知ABC中三邊長分別為a，b，c，對應(yīng)邊上的高分別為ha=4，hb=5，hc=3求abc解 設(shè)ABC的面積為S，則所以說明 同一個三角形依面積公式可以有三種不同的表示法，由此獲得三邊之比例2 如圖151，ABCD的面積為64平方厘米(cm2)，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求CEF的面積分析 由于CEF的底與高難以從平行四邊行的面積中求出，因此，應(yīng)設(shè)法將四邊形分割為三角形，利用面積比與底(高)比來解決解 連接ACE為AB中點，所以同理可得ScDF=16(平方厘米)連接DE，DB，F(xiàn)為AD中點，所以從而ScEF=SaBCD-SaEF-SbCE-ScDF=6

3、4-16-16-8=24(平方厘米)說明 (1) E，F(xiàn)是所在邊的中點啟發(fā)我們添加輔助線BD，DE(2)平行四邊形的對角線將平行四邊形分成兩個三角形的面積相等是由平行四邊形對邊相等及平行線間的距離處處相等，從而這兩個三角形的底、高相等獲知的分析 直接求DEF面積有困難，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)DEF與DCF有共同的頂點D，其底邊在同一條直線上，因而，高相同所以于是，求DEF的面積就轉(zhuǎn)化為求DCF的面積用同樣的辦法可將DCF的面積轉(zhuǎn)化為ADC的面積，進而轉(zhuǎn)化為ABC的面積點D，且底邊EF，CF在同一條直線上， EFCF=23，同理，DCF與DCA有共同的頂點C，且底邊DF，DA在同一條直線上，由已知DFD

4、A=23，所以 例4 用面積方法證明：三角形兩邊中點連線平行于第三邊分析與解 如圖153所示設(shè)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，可求得EBC與FBC的面積相等(均為ABC面積的一半)由于這兩個三角形同底BC，因而這兩個三角形的頂點E，F(xiàn)在一條與底邊BC平行的直線上，所以EFBC說明 (1)從證題過程看出，條件“E，F(xiàn)是所在邊的中點”可從而 ScBE=SbCF這兩個三角形同底BC，因此，它們的頂點E，F(xiàn)的連線與底邊平行(2)同樣用面積的方法可以證明如下事實：三角形ABC中，若EFBC且AEEB=m，則AFFC=m(請同學(xué)們自己證明)例5 如圖154在ABC中，E是AB的中點，D是AC上的一點，且AD

5、DC=23，BD與CE交于F， SABC=40，求SAEFD分析 四邊形 AEFD可分割為AED與DEF從E是AB中點及D分AC為23的條件看，AED的面積不難推知，關(guān)鍵是如何推求DEF的面積為此，需通過添加輔助線的辦法，尋求DEF的面積與已知面積的關(guān)系解 取AD的中點G，并連接EG，在ABD中，E是AB的中點，由例3知EGBD又CDDG=31，從而，在CEG中，CFFE=CDDG=31(例3說明(2)，所以 SDFCSDFE=31設(shè)SDEF=x，則SDFC=3x，SDEC=4x由于ADDC=23，所以SEADSECD=23，又因為E是AB中點，所以SaEFD=SaDE+SDEF=8+3=11

6、說明 在三角形中，利用平行線實行比的轉(zhuǎn)移，再利用等積變形，得到相應(yīng)的面積的比，從而將欲求的DEF的面積與已知的ABC的面積“掛上了鉤”這里取AD的中點G，得到BD的平行線EG是關(guān)鍵 例6 如圖1-55所示E，F(xiàn)分別是ABCD的邊AD，AB上的點，且BE=DF，BE與DF交于O求證：C點到BE的距離等于它到DF的距離分析 過C作CGBE于G，CHFD于H，則CG，CH分別是C到BE，DF的距離，問題就是要證明CG=CH結(jié)合已知，BE=DF，可以斷言，BCE的面積等于CDF的面積由于這兩個三角形的面積都等于ABCD面積的一半，因此它們等積，問題獲解解 連接CF，CE因為所以 SbCE=ScDF因為

7、BE=DF，所以CG=CH(CG，CH分別表示BE，DF上的高)，即C點到BE和DF的距離相等說明(1)BCE與CDF是兩個形狀及位置完全不同的三角形，它們面積相等正是通過等積變形都等于同一平行四邊形的面積之半(2)通過等積變形可以證明線段的相等練習(xí)十四1如圖156所示在ABC中，EFBC，且AEEB=m，求證：AFFC=m2如圖 157所示在梯形 ABCD中， ABCD若DC的幾分之幾？ 3如圖158所示已知P為ABC內(nèi)一點，AP，BP，CP分別與對邊交于D，E，F(xiàn)，把ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形的面積已在圖中給出求ABC的面積4如圖159所示P為ABC內(nèi)任意一點，三邊a，b，c的高分別為ha，hb，hc，且P到a，b，c的距離分別為ta