平面的基本性質(zhì)

1、平面的基本性質(zhì)增城市華僑中學(xué)數(shù)學(xué)科組 羅志高教材分析這篇案例是在初中平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，這節(jié)課既是立體幾何的開(kāi)頭課，又是基礎(chǔ)課，學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵之一這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)，難點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用及建立空間概念、正確應(yīng)用符號(hào)語(yǔ)言教學(xué)目標(biāo)1. 在引導(dǎo)學(xué)生觀察思考生活中的實(shí)例、實(shí)物模型等的基礎(chǔ)上，總結(jié)和歸納出平面的基本性質(zhì)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)和感受現(xiàn)實(shí)的三維空間2. 會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述三個(gè)公理，能用公理及推論解決有關(guān)問(wèn)題，提高學(xué)生的邏輯推理能力3.

2、通過(guò)畫(huà)圖和識(shí)圖，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使學(xué)生在已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上，建立空間觀念任務(wù)分析這節(jié)課是立體幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但學(xué)生空間立體感還不強(qiáng)為此，教學(xué)時(shí)要充分聯(lián)系生活中的實(shí)例，如自行車(chē)有一個(gè)腳撐等，通過(guò)實(shí)例，使學(xué)生盡快形成對(duì)空間的正確認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念；在聯(lián)系實(shí)際提出問(wèn)題和引入概念時(shí)，要合理運(yùn)用教具，如講解公理1時(shí)，可讓學(xué)生利用手中的直尺去測(cè)桌面是不是平的；講解公理2時(shí)可讓學(xué)生觀察教室的墻面的關(guān)系等通過(guò)這些方式加強(qiáng)由模型到圖形，再由圖形返回模型的基本訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生由圖形想象出空間位置關(guān)系的能力當(dāng)用文字和符號(hào)描述對(duì)象時(shí)，必須緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結(jié)合起來(lái)，即在圖形的基礎(chǔ)上

3、發(fā)展其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言在闡述定義、定理、公式等重要內(nèi)容時(shí)，宜先結(jié)合圖形，再用文字和符號(hào)進(jìn)行描述，綜合運(yùn)用幾種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，這樣，就有可能收到較好的效果，給學(xué)生留下較為深刻的印象教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1. 利用你手中的直尺，如何判定你課桌的桌面是不是平的2. 你騎的自行車(chē)有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？3. 矩形硬紙板的一頂點(diǎn)放在講臺(tái)面上，硬紙板與講臺(tái)面不重合，能否說(shuō)這兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)？（利用多媒體屏幕呈現(xiàn)問(wèn)題情景，即在屏幕上出現(xiàn)桌子與直尺、有一個(gè)腳撐的自行車(chē)、矩形硬紙與講臺(tái)面及相應(yīng)的問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密的實(shí)物通過(guò)多媒體給出，能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的去探究

4、問(wèn)題）二、建立模型1. 探究公理（1）問(wèn)題1的探究教師提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考：如何用直尺這個(gè)工具來(lái)判定你的桌面是不是平的呢？（把直尺放在物體表面的各個(gè)方向上，如果直尺的邊緣與物體的表面不出現(xiàn)縫隙，就可判斷物體表面是平的）教師點(diǎn)拔：這是判斷物體表面是不是平的的一個(gè)常用方法如果物體表面是平的，把直尺邊緣無(wú)論如何放在平面上，則邊緣與平面都沒(méi)有縫隙，也就是說(shuō)，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)由此，可以歸納出公理1公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（如圖14-1）這時(shí)我們說(shuō)，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過(guò)直線這一性質(zhì)是平面的主要特征

5、彎曲的面就不是處處具有這種性質(zhì)教師進(jìn)一步分析：為了書(shū)寫(xiě)的簡(jiǎn)便，我們把代數(shù)中剛學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)集合的符號(hào)，引入立體幾何中把點(diǎn)作為基本元素，直線、平面即為“點(diǎn)的集合”，這樣：點(diǎn)A在直線a上，記作Aa；點(diǎn)A在直線a外，記作Aa；點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A在平面外，記作A；直線a在平面內(nèi)，記作a；直線a在平面外，記作a公理1用集合符號(hào)表示為：Aa，Ba，A，B，則有例：證明如果一個(gè)三角形的兩邊在一個(gè)平面內(nèi)，那么第三邊也在這個(gè)平面內(nèi)注意：在分析過(guò)程中，一定要強(qiáng)調(diào)“要證明直線在平面內(nèi)，則應(yīng)該證明什么？條件中有沒(méi)有，沒(méi)有如何去創(chuàng)造”通過(guò)這種逆推思路的分析，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣練習(xí)：判斷下列命題的真假 如果一條

6、直線不在平面內(nèi)，則這條直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn) 過(guò)一條直線的平面有無(wú)數(shù)多個(gè) 與一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)的直線不存在 如果線段AB在平面內(nèi)，則直線AB也在平面內(nèi)a（2）問(wèn)題2的探究教師提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考：自行車(chē)有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？（因?yàn)榍拜喼攸c(diǎn)、后輪著地點(diǎn)、腳撐著地點(diǎn)三點(diǎn)在一個(gè)平面上，而且為了站穩(wěn)，前輪著地點(diǎn)、后輪著地點(diǎn)、腳撐著地點(diǎn)三點(diǎn)不共線，因此我們可以推測(cè)：過(guò)不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面）教師演示：用相交于一點(diǎn)的三根小棍的三個(gè)端點(diǎn)作為空間不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)（如圖14-2），當(dāng)把作為平面的硬紙板放在上面時(shí)，這張作為平面的硬紙板不能再“動(dòng)”了，因?yàn)橐粍?dòng)就要離開(kāi)其中的一個(gè)點(diǎn)，硬紙板所在平面就

7、不能確定了，正如同剛才的發(fā)現(xiàn)：過(guò)不共線的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面公理2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（如圖14-3）公理2也可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面教師演示課件：在空間給定不共線的三點(diǎn)A，B，C（如圖14-4），作直線AB，BC，CA，再在直線BC，CA，AB上分別取動(dòng)點(diǎn)P，Q，R，作直線AP，BQ，CR，讓P，Q，R分別在直線BC，CA，AB上運(yùn)動(dòng)，我們可以看到這些直線“編織”成一個(gè)平面教師出示問(wèn)題：試舉出一個(gè)應(yīng)用公理2的實(shí)例（例如，一扇門(mén)用兩個(gè)合頁(yè)和一把鎖就可以固定了）（3）問(wèn)題3的探究教師將矩形硬紙板的一頂點(diǎn)放在講臺(tái)面上，讓學(xué)生觀察，并同時(shí)提出問(wèn)題：能否說(shuō)這兩個(gè)

8、平面只有一個(gè)公共點(diǎn)？（不能，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，所以這兩個(gè)平面應(yīng)該有一條經(jīng)過(guò)這公共點(diǎn)的直線）教師點(diǎn)拔：我們只能用有限的模型或圖形來(lái)表示無(wú)限延展的平面，所以我們有時(shí)要看模型或圖形，但又不能受模型或圖形的限制來(lái)影響我們對(duì)平面的無(wú)限延展的了解這個(gè)實(shí)例說(shuō)明了平面具有如下性質(zhì)公理3如果兩個(gè)不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線（如圖14-5）公理3的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：P，Pa，Pa教師進(jìn)一步概括：為了簡(jiǎn)便，以后說(shuō)到兩個(gè)平面，如不特別說(shuō)明，都是指兩個(gè)不重合的平面如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱(chēng)這兩個(gè)平面相交這條公共直線叫作這兩個(gè)平面的交線由公理可見(jiàn)，兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，那

9、么就有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，所有公共點(diǎn)在公共直線上，即它們的交線上；交線上的每一個(gè)點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)練習(xí)：判斷下列命題的真假如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，那么它們就有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都在直線AB上兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的集合可能是一條線段2. 推出結(jié)論教師明晰：由于兩點(diǎn)確定一條直線，根據(jù)公理2容易得出如下推論：推論1經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面已知：點(diǎn)A，直線a，Aa（如圖14-6）求證：過(guò)點(diǎn)A和直線a可以確定一個(gè)平面分析：“確定一個(gè)平面”包含兩層意思：一是存在，二是唯一這兩層都應(yīng)證明（說(shuō)明：這個(gè)證明可以由教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析完成，但步驟教師一定要板書(shū)）證明：存在性因?yàn)锳a

10、，在a上任取兩點(diǎn)B，C，所以過(guò)不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面（公理2）因?yàn)锽，C，所以a（公理1）故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面唯一性如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a的平面還有一個(gè)平面，那么，因?yàn)锽，C，所以B，B（公理1）故不共線的三點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)所以平面和平面重合（公理2）所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線有且只有一個(gè)平面有時(shí)“有且只有一個(gè)平面”，我們也說(shuō)“確定一個(gè)平面”類(lèi)似地可以得出下面兩個(gè)推論：推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（如圖14-7）推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面（如圖14-8）三、解釋?xiě)?yīng)用例題兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)（如圖14-9）已知：ABAC

11、A，ABBCB，ACBCC求證：直線AB，BC，AC共面證法1：因?yàn)锳BACA，所以直線AB，AC確定一個(gè)平面（推論2）因?yàn)锽AB，CAC，所以B，C，故BC（公理1）因此，直線AB，BC，CA都在平面內(nèi)，即它們共面證法2：因?yàn)锳直線BC，所以過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面（推論1）因?yàn)锳，BBC，所以B故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面證法3：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)可以確定平面（公理2）因?yàn)锳，B，所以AB（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直線共面思考：在這道題中“且不過(guò)同一點(diǎn)”這幾個(gè)字能不能省略，為什么？（不能，如果三條直線兩兩相交且過(guò)同一點(diǎn)，則這三條直線可以不共面）練習(xí)1. 三角形、梯形是平面圖形嗎？2. 已知：平面外有一個(gè)ABC，并且ABC三條邊所在的直線分別與平面交于三個(gè)點(diǎn)P，Q，R求證P，Q，R三點(diǎn)共線四、拓展延伸1. 四條直線兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)，這四條直線是否一定共面？2. 兩個(gè)平面最多可以把空間分成幾個(gè)部分？三個(gè)平面呢？四個(gè)平面呢？點(diǎn)評(píng)這篇案例在教師指導(dǎo)下，從現(xiàn)實(shí)生活中選擇和確定問(wèn)題進(jìn)行研究，以類(lèi)似科學(xué)家探究的方式使學(xué)生主動(dòng)地解決問(wèn)題，獲取知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)，并在探究過(guò)程中充分利用模型、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等多種渠道在問(wèn)題探究的過(guò)程中，學(xué)