【KS5U解析】安徽省六安市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期模擬考試卷（四）數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、2020屆模擬04理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.已知全集是不大于5的自然數(shù)集，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)補集和交集定義，即可求解.【詳解】，則.故選:b.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，求出實部、虛部即可求解.【詳解】由題知，所以，其共軛復(fù)數(shù)為，故虛部為.故選:b.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)代數(shù)運算，以及共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.周髀算經(jīng)有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、

2、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（ ）a. 一尺五寸b. 二尺五寸c. 三尺五寸d. 四尺五寸【答案】b【解析】【分析】從冬至日起各節(jié)氣日影長設(shè)為，可得為等差數(shù)列，根據(jù)已知結(jié)合前項和公式和等差中項關(guān)系，求出通項公式，即可求解.【詳解】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為，是其前項和，則尺，所以尺，由題知，所以，所以公差，所以尺。故選:b.【點睛】本題考查等差數(shù)列應(yīng)用問題，考查等差數(shù)列的前項和與通項公式的基本量運算，屬于中檔題.4.執(zhí)行如圖所示程序框圖輸出的

3、值為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)體的運算，可得，應(yīng)用裂項相消法，即可求出結(jié)論.【詳解】由程序框圖知，輸出，故選:d.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖運行結(jié)果，注意裂項相消法求和的運用，屬于中檔題.5.已知函數(shù)的定義域為，滿足：對任意，都有，對任意且，都有，則函數(shù)叫“成功函數(shù)”，下列函數(shù)是“成功函數(shù)”的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)已知可得判斷“成功函數(shù)”為定義域上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，逐項判斷，即可得出結(jié)論.【詳解】由任意，都有知是奇函數(shù)，由任意且，都有，知是增函數(shù)，因為在定義域上是奇函數(shù)，但在定義域上不是單增函數(shù)，故a錯；因為是

4、奇函數(shù)，所以在定義域上是增函數(shù)，故b正確；因為在定義域是減函數(shù)，故c錯；因為在上單調(diào)遞減，故d錯.故選:b.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，熟練掌握初等函數(shù)單調(diào)性，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.6.某研究員為研究某兩個變量的相關(guān)性，隨機抽取這兩個變量樣本數(shù)據(jù)如下表：0.0414.8410.241.12.12.33.34.2若依據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，則樣本點都在曲線附近波動.但由于某種原因表中一個值被污損，將方程作為回歸方程，則根據(jù)回歸方程和表中數(shù)據(jù)可求得被污損數(shù)據(jù)為（ ）a. b. 1.69c. 1.96d. 4.32【答案】c【解析】【分析】令，根據(jù)線性回歸中心點在

5、回歸直線上，求出，得出，即可求解.【詳解】設(shè)缺失的數(shù)據(jù)為，則樣本數(shù)據(jù)如下表所示：0.212.23.21.12.12.33.34.2其回歸直線方程為，由表中數(shù)據(jù)可得，由線性回歸方程得，即，解得.故選:c.【點睛】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，換元是解題的關(guān)鍵，掌握回歸中心點在線性回歸直線上，考查計算求解能力，屬于中檔題.7.已知變量滿足約束條件，若恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）a. 40b. 9c. 8d. 【答案】d【解析】【分析】恒成立，只需，根據(jù)幾何意義，結(jié)合可行域圖形，求出其最小值，即為的最大值.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，設(shè),表示可行域內(nèi)點與點距離的平方減去1，由題知，過作直線

6、的垂線，由圖可知，垂足在線段上，因為點到直線的的距離，所以.故選:d.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，考查用數(shù)形結(jié)合方法求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵要能判斷出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.8.已知是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，是線段的中點，是坐標(biāo)原點，若周長為（為雙曲線的半焦距），則雙曲線的漸近線方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】從周長為，是線段的中點入手，結(jié)合雙曲線的定義，將已知條件轉(zhuǎn)為焦點三角形中與關(guān)系，求出，用余弦定理求出關(guān)系，即可求解.【詳解】連接，因為是線段的中點，由三角形中位線定理知，由雙曲線定義知，因為周長為，所以，解得

7、，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選:c.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查三角形中位線定理、雙曲線定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.9.某簡單組合體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，是由四棱錐和四分之一圓錐組成幾何體，即可求解.【詳解】由三視圖知，該三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示，由四棱錐和一個底面半徑為4高為3的四分之一圓錐組成的組合體，四棱錐可以看成是以兩直角邊分別為的直角三角形為底面，高為4的棱柱截去一個體積為棱柱體積的棱錐得到的，故該幾何體的體積為.故選:

8、a【點睛】本題考查由三視圖求幾何體的體積，還原出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10.在四棱錐中，是邊長為6的正三角形，是正方形，平面平面，則該四棱錐的外接球的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】取bc的中點為，分別是正三角形abc的中心和正方形bcde的中心，根據(jù)已知條件可得平面abc，am平面bcde，過分別做的平行線交于，則為球心，求出，即可求出外接球的半徑，即可求解.【詳解】取bc的中點為，是正三角形abc的中心,為正方形bcde的中心，連接,則有，平面平面，平面平面=，平面abc，am平面bcde，過分別做，則平面abc，平面bcde，交于，則為球心

9、，所以四邊形為矩形，所以外接球的體積為.故選:d.【點睛】本題考查多面體與球的“接”“切”問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)球的性質(zhì)確定球心，考查空間想象能力，屬于中檔題.11.在中，曲線上動點滿足，若曲線與直線圍成封閉區(qū)域的面積為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】設(shè)，則在直線上且有，得到點在直線上，由已知解，求出，進而求出，再解，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)，則在直線上，且，由知，所以點在直線上，故曲線與直線圍成封閉區(qū)域就是，由得，所以，解得，所以，由余弦定理知，解得，由正弦定理得，所以.故選:a.【點睛】本題以向量為背景考查解三角形，考查正弦定理、余弦定理、面積公式的應(yīng)用，解題的

10、關(guān)鍵是由向量共線的充要條件確定動點的軌跡，屬于中檔題.12.若（）恰有1個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】令得到，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在上恰有1個交點，用導(dǎo)數(shù)法作出的圖像，根據(jù)圖像求出直線與函數(shù)只有一個交點滿足的條件，即可求出結(jié)論.【詳解】由恰有1個零點，方程恰有1個解，即方程恰有1個解，即函數(shù)的圖象與直線在上恰有1個交點，因為，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在區(qū)間上都是減函數(shù)，在是增函數(shù)，當(dāng)時，取極小值，直線過點，斜率為，顯然是函數(shù)的圖象與直線的一個交點，這兩個圖象不能有其他交點，作出函數(shù)與的圖象，由圖可知，當(dāng)時，直線應(yīng)在函數(shù)（）的圖象上方，設(shè)，即恒成

11、立，因為，只需為減函數(shù)，所以，即恒成立，設(shè)，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時，所以，當(dāng)時，直線與相切，也適合，故滿足題意的取值范圍為.故選:b.【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)交點個數(shù)求參數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、函數(shù)圖像，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于難題.二、填空題13.已知展開式各項系數(shù)和為128，則展開式中含項的系數(shù)為_.【答案】【解析】【分析】用賦值法令，求出，根據(jù)項的結(jié)構(gòu)特征，即可求出其系數(shù).【詳解】令得，解得，將看成7個相乘，要得到含項，則這7個因式中2個因式取，余下5個因式中3個取，余下2個因式取2，所以含項的系數(shù)為.故答案為:【點睛】本題考查賦值法求系

12、數(shù)和，巧妙用組合思想求項的系數(shù)，減少計算量，屬于中檔題.14.在梯形中，,與相交于點，則_【答案】 【解析】因為與的夾角為鈍角，,所以在方向上的投影為，在直角中，所以，所以15.已知函數(shù)圖象相鄰的一個最大值點和一個對稱中心分別為，則在區(qū)間的值域為_.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的最值求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，求出的解析式，再利用二倍角公式、降冪公式、以及輔助角公式，將化為正弦型函數(shù)，即可求出結(jié)論.【詳解】由題知，所以，解得，由，解得，所以，因為，所以，所以，所以，所以在區(qū)間的值域為.故答案為:【點睛】本題考查正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)，三角恒等變換化，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題

13、.16.已知直線與拋物線自下到上交于，是拋物線準(zhǔn)線與直線的交點，是拋物線的焦點，若，則以為直徑的圓的方程為_.【答案】【解析】【分析】由已知，直線過焦點，結(jié)合拋物線的定義求出直線的傾斜角，直線與拋物線聯(lián)立，求出相交弦的中點坐標(biāo)以及弦長，即可求解.【詳解】因為，所以焦點在直線上，且，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義知，所以，所以，即直線的傾斜角為，所以直線方程為，代入整理得，設(shè)，線段的中點坐標(biāo)為，則，所以，所以以為直徑的圓的方程為.故答案為:.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，應(yīng)用拋物線定義確定直線的傾斜角是解題的關(guān)鍵，熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法求弦長，屬于中檔題.三、解答

14、題17.已知數(shù)列前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由前項和與關(guān)系，得到，將看著一個整體，根據(jù)遞推關(guān)系可用待定系數(shù)法，配湊出+1為等比數(shù)列，即可求出的通項公式；（2）根據(jù)的通項公式，分組求和，分別用錯位相減法和等差數(shù)列前和公式求和，即可求解.【詳解】（1）由題知=，即，即，數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，設(shè)， -得，.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式求法，注意構(gòu)造輔助數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，考查求前項和，考查計算求解能力，屬于中檔題.18.中國在歐洲的某孔子學(xué)院為了讓更多的人了解中國傳統(tǒng)文化，在當(dāng)?shù)嘏e辦了一場由

15、當(dāng)?shù)厝藚⒓拥闹袊鴤鹘y(tǒng)文化知識大賽，為了了解參加本次大賽參賽人員的成績情況，從參賽的人員中隨機抽取名人員的成績（滿分100分）作為樣本，將所得數(shù)據(jù)進行分析整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，已知抽取的人員中成績在50，60）內(nèi)的頻數(shù)為3.（1）求的值和估計參賽人員的平均成績（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）；（2）已知抽取的名參賽人員中，成績在80，90）和90，100女士人數(shù)都為2人，現(xiàn)從成績在80，90）和90，100的抽取的人員中各隨機抽取2人，記這4人中女士的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）40，73.75（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由頻率和為1，求出50，60）的頻率

16、，頻數(shù)為3，即可求出，由直方圖結(jié)合平均數(shù)公式，即可求出平均數(shù)；（2）分別求出抽取的人員中成績在80，90），90，100的人數(shù)，的可能取值為0，1，2，3，4，按求古典概型概率方法，求出隨機變量的各個值的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，成績在頻率為，成績在50，60）內(nèi)頻數(shù)為3，抽取的樣本容量，參賽人員平均成績?yōu)?（2）由頻率分布直方圖知，抽取的人員中成績在80，90）的人數(shù)為0.0125×10×40=5，成績在90，100的人數(shù)為0.0100×10×40=4，的可能取值為0，1，2，3，4，；，.的分布列為0123

17、4.【點睛】本題考查補全頻率分布直方圖，以及應(yīng)用直方圖求平均數(shù)，考查隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.19.在多面體中，為菱形，為正三角形.（1）求證：；（2）若平面平面，求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點為，連接，由已知可得，進而有平面，即可證明結(jié)論；（2）由已知可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)以及平面的法向量坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的線面角公式，即可求解.【詳解】（1）取的中點為，連接，為正三角形，為菱形，為正三角形，平面，.（2）由（1）知，平面平面，平面，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，直線與平面所成的角，則，

18、則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明，注意垂直隱含條件的挖掘，考查用空間向量法求線面角，考查計算求解能力，屬于中檔題.20.已知是橢圓的左、右焦點，離心率為，是平面內(nèi)兩點，滿足，線段的中點在橢圓上，周長為12.（1）求橢圓的方程；（2）若與圓相切的直線與橢圓交于，求（其中為坐標(biāo)原點）的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得是線段的中點，再由是線段的中點，結(jié)合橢圓定義可得周為，再由離心率，求出，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先考慮直線斜率不存在，求出，直線斜率存在，設(shè)直線方程，與單位圓相切求出關(guān)系，直線方程與橢圓方程

19、聯(lián)立，消去，求出橫坐標(biāo)乘積，進而求出縱坐標(biāo)乘積，結(jié)合關(guān)系，求出關(guān)于目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特點，求出其范圍.【詳解】（1）連接，是線段中點，是線段的中點，由橢圓的定義知，周長為，由離心率為知，解得，橢圓的方程為.()（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，代入橢圓方程解得，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切知，將直線方程代入橢圓方程整理得，設(shè)，則，綜上所述，的取值范圍為.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意橢圓定義在解題中的應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及利用不等式性質(zhì)求范圍，考查計算求解能力，屬于較難題.21.已知.（1）若函數(shù)在點的切線與圓相切，求實數(shù)的值.（2）已知，當(dāng)時

20、，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)求出，求出切線方程，利用與單位圓相切，即可求出；（2）構(gòu)造函數(shù)，求恒成立時的范圍，注意，所以遞增滿足題意，若單調(diào)遞減，不滿足題意，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由題知，在點的切線斜率為，在點的切線方程為，即，由題知，解得.（2）設(shè)，設(shè)，當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時，滿足題意，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，趨近于正無窮大時，趨近于正無窮大，存在上，使，當(dāng)時，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時，不滿足題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點