7-4多元復(fù)合求導6308162820100319223211

1、第四節(jié)/無復(fù)合蕩數(shù)的戲?qū)ё屦D一元復(fù)合函數(shù) y = /()，u =(px)求導法則 3 =型.屯dx du dx微分法則 dy = f'(u) du= f(u)(pr(x)dx 本節(jié)內(nèi)容：一、多元復(fù)合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分、鏈式法則 定理:Z是通過中間變量所生刪關(guān)于X,的復(fù)合函數(shù)， 已知Z對中間變量可微分,中間變量舷可偏導，貝!Jz；等于z對所有中間變量的鏈導t和。證明：見板書例：=u2 +uv +v2u = 2xv =sinx2dwdx解1： w =4x2 +2xsinr2 +(sinr2)2,= 8x + 2sinx2 +4x2cosx2 +2xsin2x2 dx

2、解2:dw .=w：dx=(2u + v)-2 + (w + 2v) - (2x cos x2) = (2-2x + sinx2) 2 + (2x + 2sinx2)-(2x cos x2)= 8x + 2sinx2 +4x2cosx2 +2xsin2x2例1:設(shè)z = g"siny, 卜 dzdz求亍和dx dy初 dzdz dudz dv解：+dx du dxdv dx= e11 smv y + e11 cosv -1 =M(jsinv +cosv)3zdz 加dz= + dy du dydv dy= eMsinv-x + ewcosv-l =w(xsinv+cosv).特殊地

3、z = f(u,x,y)其中 u = 0Cr,y) 即2 = /0(兀),兀,刃，dzdf dudzdf du |dfdxdu dxdxdu Oy把 z = f(u,x,y) 中的u及丿看作不 變而對兀的偏導數(shù)區(qū)別類似把復(fù)合函數(shù)Z = /(X,j),x,j 中的y看作不變而對v的偏導數(shù)2： z = uv sint, 而眈=R, y=cos(,求全導數(shù)dt解:dzdz du dz dv dz= 11dtdu dt 8v dtdt= vef 一眈sinf+ cos(=el cost 一 d sin/ + cost=el (cost sinf) + cost.例 3：設(shè)W = f(x + y+z，w

4、), /具有二階 ,、dw 宀 d2w 連續(xù)偏導數(shù),求無和般解：令 w = x + j + z, v = xyz;du同理有f；, f：v Az-V £,_"()廠,=西如2, 記幾=廠"，712 dudv型=虻.理+坐豈=人+皿;dx du dx dv dxd2w _dxdz帥+皿）ozozSfl dudf2 dv=fll + #22； du dzdv dz于是d2wdxdz=/ii + xyf；2 + yfl+ yfii + xyf)=fn+y(x+z)冗 + xyV22 + xf；例4：解:(2)d2u d2udx2 + dy2 *由 x =rcos j =

5、rsin設(shè)u = f(x,y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù)， 把下列表達式轉(zhuǎn)換為極坐標系中的形式:函數(shù)w = / (x)換成極坐標丫及e的函數(shù):U = f(x,y) =/(rcosrsiii0) = F(r,0)反之u = f(x,y)也可看成由u = F(r,0)及2、匚巧""說吋復(fù)合而成.r = A/x2 +j2, 0 = arctan du du dr du dO X (1) =Hdx dr dx dd dx_ du x du ydr r dO r2duSydu dr du dO F dr dy dO dy（自己完成）dudu j du sm =COS0dr90 rdu v

6、du x =1ydr r dO r2du .du cos0=sm& +drdO r(du一 +10二、全微分形式不變性設(shè)函數(shù)z = f(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則有全微分az =du 7 dv；du dvdzQz當眈=0(兀)、v = i/(x,y)時，dz = -dx + -dy.oxoy(8z du dz 5v V+dx +dx dv dx Jdzdudzdv1+ay l 加dydvdy)du , Ou .、dzfdvdx Hdy hdx hdy八dy )dx dy ) dz .u + 亍ovdvdx全微分形式不變性的實質(zhì)無論Z是自變量“、"的函數(shù)或中間變量M、V 的函數(shù)

7、，它的全微分形式是一樣的.可以利用一階全微分形式不變性和下列微分運算法則求全微分或偏導數(shù)d(u±v) = du±dvd(uv) = vdu + udvd(Cu)-Cdu一耽、vdu - udv例5：= wv+sin, Ww = eS v =cost9dz求全導數(shù)絲.(利用一階全微分的形式不變性)dt解：dz =d(wv+siirf) = vdu+udv +d sin/=cos 加'+eld cost + cos tdt=cosc'df + H(+ cos fdf=(侖 cos一，sin+ cos()力=> =侖 (cost 一 sin/) + cost

8、 dt例6：設(shè)z=e"sin”，Ww = xy y v = x + y 9求 子和£(利用一階全微分的形式不變性) dx dy解:dz = d(eMsinv) = sinvde11 +eud sinv= sinv eudu + eu cosvrfv= eXJsin(x + j)drj + cos(x + j)rf(x + j)= exysin(x + y)(ydx + xrfy) + cos(x + j)(rfx+rfy)= eXJjsin(x + j) + cos(x + j)ctr+e xy x sin(x + j) + cos(x + j)rfyexjsin(x +

9、j) + cos(x + j)rfcc +e xy x sin(x + j) + cos(x + y)dyJ = dxsin(x + j) + cos(x + j)= XJxsin(x + j) + cos(x + j) Sy例7：利用一階全微分的形式不變性求函數(shù) z =卩(與)+ ()的全微分必.解：XX Xdz=d(p(xy)+dy/(-) = 0(卩)(與)+ ©'()(一)小結(jié)1、鏈式法則2、全微分形式不變性注：多元復(fù)合函數(shù)求導較復(fù)雜，要注意(1)搞清復(fù)合關(guān)系，哪些是自變量，哪些是中間變量(2) 對某個自變量求偏導數(shù)時，要經(jīng)過一切與其有關(guān)的 中間變量，最后歸結(jié)到該變量(3) 求抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)時要注意，對一切一階 偏導函數(shù)來說其復(fù)合關(guān)系圖仍與原來函數(shù)的復(fù)合關(guān) 系圖相同(4) 為了理清復(fù)合關(guān)系，可在求偏導數(shù)前先畫出變量 關(guān)系圖思考題 設(shè)z = f(u,v,x),而眈=0(兀)，v = y<(x),Of du df d