8三向應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力

1、§2.8 三向應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力學(xué)習(xí)思路 :應(yīng)力狀態(tài)的確定，還需要討論一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的變化關(guān)系。本節(jié)通過討論任意截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系，建立三向應(yīng)力圓概念，并且通過應(yīng)力圓確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。分析中應(yīng)用任意斜截面上的應(yīng)力矢量可以通過應(yīng)力分量的特殊形式主應(yīng)力表達(dá)，也可以分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力， 建立主應(yīng)力與正應(yīng)力和切應(yīng)力的關(guān)系。考慮斜截面法線的三個(gè)方向余弦，則可以確定一點(diǎn)的正應(yīng)力、 切應(yīng)力與三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系。構(gòu)造一個(gè)以正應(yīng)力為橫軸，切應(yīng)力為豎軸的應(yīng)力平面，則一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力位于應(yīng)力平面的三個(gè)由主應(yīng)力確定的應(yīng)力圓之內(nèi)。為了進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)，最后分析八面體單元應(yīng)力。

2、學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 截面正應(yīng)力與切應(yīng)力 ； 2. 斜截面方向余弦 ； 3. 三向應(yīng)力圓；4.最大切應(yīng)力 ;5.八面體單元 ;6.八面體單元應(yīng)力 。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過六個(gè)應(yīng)力分量確定， 主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是描述應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)。 但僅僅這些， 對(duì)于應(yīng)力狀態(tài)分析還不夠， 本節(jié)將進(jìn)一步討論任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化。以三個(gè)相互垂直的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)三個(gè)主應(yīng)力為應(yīng)力分量為 1， 2, 3，即O 點(diǎn)附近有任意斜截面ABC，它的法線方向?yàn)閚（ l，n 可m n）。斜截面上的應(yīng)力矢量p分解為兩部分：沿法線方向的正應(yīng)力n 和沿切線方向的切應(yīng)力n，如圖所示。根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)

3、系展開可得因?yàn)楦鶕?jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式還有關(guān)于 l， m， n 聯(lián)立求解上述公式，可以得到當(dāng)斜截面方位變更時(shí)，法線的方向余弦 n 隨著改變，因此正應(yīng)力 n 和切應(yīng)力 n 也隨之變化。這里有正應(yīng)力 n 和切應(yīng)力 n 兩個(gè)變量，如果建立一個(gè)平面坐標(biāo)系，以n 為橫軸，n 為縱軸，則斜截面上的兩個(gè)應(yīng)力分量（n，n ）恰好是這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)。2,2,2設(shè) 1 2 3，則因?yàn)?l m n 均大于或等于零，因此根據(jù)上述公式的第一式，可以得到上式可以改寫為上述不等式表示在應(yīng)力平面上，圓心在橫軸，橫坐標(biāo)為（ 2+ 3） /2 ，半徑為（ 2- 3） /2 的圓 C1 圓周及其以外的區(qū)域。同理考慮公式的第二式，可得它

4、表達(dá)了圓 C2 的圓周及其內(nèi)部區(qū)域。對(duì)于公式的第三式，可得它表達(dá)了圓C3 圓周及其外部區(qū)域。綜上所述，斜截面的方位改變時(shí)，截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力（只能位于圓 C1， C2 和 C3 的圓周所圍成的區(qū)域之內(nèi)。n ，n ）這三個(gè)圓C1，C2 和C3 是兩兩相切的，稱為應(yīng)力圓。根據(jù) 應(yīng)力圓 ，對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，不難得到下列結(jié)論：根據(jù)應(yīng)力圓，縱坐標(biāo)最大處即最大切應(yīng)力的值， 它的橫坐標(biāo)為 ( 1+ 3)/2 ，將它們回代到公式，可得最大切應(yīng)力作用平面的方向余弦為l 2 = 0.5,m2 = 0,n2 = 0.5m=0 表示最大切應(yīng)力作用面的法線與應(yīng)力主軸2 相互垂直，因此這一作用面必然223 都成 4

5、5°角。根據(jù)上述分析，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力 為1，最小正應(yīng)力 為3。最大切應(yīng)力可以通過主應(yīng)力計(jì)算，最大切應(yīng)力 等于 (1 3)/2。最大切應(yīng)力作用平面也可以通過應(yīng)力主軸得到，其作用平面通過軸，并且與1 和3 應(yīng)力主軸交45°角，如圖所示。2 應(yīng)力主下面介紹 正八面體單元應(yīng)力。以主應(yīng)力 1, 2, 3 對(duì)應(yīng)的應(yīng)力主軸作為 x1 ，x2，x3 坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，選取與三個(gè)應(yīng)力主軸等傾的八個(gè)微分面構(gòu)成一個(gè)單元體，如圖所示。由于單元體的每一個(gè)微分面均為等傾面，即其法線與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角相同。設(shè)微分面的法線方向余弦為 l ，m，n，則由于所以對(duì)于八面體單元各微分面上的應(yīng)力矢量

6、，我們將其分為正應(yīng)力8 和切應(yīng)力8 兩部分分別討論。對(duì)于八面體單元的正應(yīng)力，由公式可得由上式可知，8 就是某點(diǎn)的平均正應(yīng)力。對(duì)于八面體單元的切應(yīng)力8，可以應(yīng)用應(yīng)力分解公式因?yàn)樗燥@然，八面體單元的切應(yīng)力是可以通過應(yīng)力不變量表達(dá)的，因此也是不變量。根據(jù)強(qiáng)度理論，第四強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力為所以。由上式可知：八面體單元的切應(yīng)力8 是一個(gè)與第四強(qiáng)度理論等效應(yīng)力有關(guān)的物理量，因此它也是一個(gè)與塑性材料的失穩(wěn)有關(guān)的物理量。上述分析表明，八面體單元的正應(yīng)力 8 和切應(yīng)力 8 均是由應(yīng)力不變量所描述的，因此對(duì)于任意的坐標(biāo)系， 其數(shù)值也是不變的， 即八面體單元的正應(yīng)力8 和切應(yīng)力8 也是不變量。§2.9

7、球應(yīng)力張量和偏球應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路 :外力的作用下，物體的變形可以分解為體積改變和形狀改變兩部分。對(duì)應(yīng)這兩種形式的變形，應(yīng)力張量可以分解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量?jī)刹糠?。分解的物理意義為：應(yīng)力球張量使微單元體三個(gè)方向作用相同的正應(yīng)力，只能改變微單元體的體積， 而不能改變其形狀。 應(yīng)力偏張量不改變微單元體的體積，僅產(chǎn)生形狀的畸變。它描述的是實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)與平均應(yīng)力狀態(tài)的偏離程度，這對(duì)描述問題的塑性變形是十分重要的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.應(yīng)力狀態(tài)的分解 ； 2.應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量； 3.應(yīng)力偏張量不變量 。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以使用應(yīng)力張量表示，上述應(yīng)力分量將使彈性體任意一點(diǎn)發(fā)生變形。實(shí)驗(yàn)證明，固體材料在各向相

8、等正應(yīng)力作用下，一般表現(xiàn)為彈性變形。由于材料的體積改變是由于各向相等的正應(yīng)力引起的， 因此可以認(rèn)為， 材料的非彈性變形主要是物體的形狀變化時(shí)產(chǎn)生的。這一性質(zhì)在塑性理論分析中經(jīng)常應(yīng)用。在外力的作用下，物體的變形一般可以分解為體積改變和形狀改變兩部分。為進(jìn)一步研究應(yīng)力分量對(duì)于變形的影響，將應(yīng)力張量分解為其中，m ii 為上式中為平均正應(yīng)力。m ii 稱為平均應(yīng)力張量或稱應(yīng)力球張量 。而 sij 等于稱為應(yīng)力偏張量 ，簡(jiǎn)稱應(yīng)力偏量。分解的物理意義為：應(yīng)力球張量 m ii 使微分單元體三個(gè)方向作用相同的正應(yīng)力，這使單元體發(fā)生變形時(shí)， 只能產(chǎn)生導(dǎo)致體積的均勻膨脹或收縮。 因而只能改變單元體體積，而不能改變單元體形狀。而應(yīng)力偏張量 sij 將不改變微分單元體的體積，僅產(chǎn)生形狀的畸變。它描述的是實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)與平均應(yīng)力狀態(tài)的偏離程度， 所以它對(duì)描述問題的塑性變形是十分重要的。因?yàn)?m ij 的任意方向均為應(yīng)力主方向， 所以應(yīng)力偏張量 sij 與 的應(yīng)力主方向相同， 而且其主應(yīng)力僅相差一個(gè)平均應(yīng)力。 因此可用正應(yīng)力特征方程計(jì)算。即計(jì)算可得三個(gè)應(yīng)力偏張量的不變量I' 1，I' 2，I' 3 ，有在塑性力學(xué)中， 經(jīng)常使用