11特殊值法——教師版

1、實用文案第 11 講特殊值法一、方法技巧特殊值法（一）定義又叫特值法， 即通過設題中某個未知量為特殊值， 從而通過簡單的運算， 得出最終答案的一種方法這個特殊值必須滿足無論這個量的值是多少，對最終結果所要求的量的值沒有影響；（二）使用條件有些選擇題或填空題， 用常規(guī)方法求解比較困難， 若根據(jù)已知或答案所提供信息， 選擇某些特殊值進行分析或計算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，再進行判斷往往比較簡單（三）專題目標通過訓練，能迅速作出判斷并能用特殊值法解決問題（四）解題思路1一定要按照題目所給的具體條件取值2所取的數(shù)值一般最大不超過5，最小不超過5這樣的整數(shù)，例如11、0最常用、3將所取的特殊值代入題干直

2、接判斷或逐一代入題支判斷即可得出正確答案（四）應用類型類型一已知中具體數(shù)量關系較少的問題類型二化簡與求值的問題類型三恒等式問題類型四解以“不論 k 為何值時”為條件的問題類型五驗證結論的正確性的問題類型六比較大小的問題類型七幾何問題二、應用舉例類型一已知中具體數(shù)量關系較少的問題【例題 1】有兩只相同的大桶和一只空杯子，甲桶裝牛奶，乙桶裝糖水先從甲桶內(nèi)取出一杯牛奶倒入乙桶， 再從乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶請問此時甲桶內(nèi)糖水標準文檔實用文案多還是乙桶內(nèi)的牛奶多？A甲桶多B乙桶多C一樣多D無法判斷【答案】 C【解析】題干全部為文字敘述，沒有具體數(shù)據(jù)，可采用特值法解：令甲桶牛奶量=乙桶牛

3、奶量 =1L ，空杯子體積為1L ，第一次取一杯牛奶即將甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，此時乙桶內(nèi)牛奶和糖水的比例為112L，甲桶0L，： ，乙桶有又從乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此時甲桶溶液量=乙桶溶液量 =1L，且牛奶和糖水各占一半即甲桶內(nèi)糖水=乙桶內(nèi)糖水故選 C【難度】一般類型二化簡與求值的問題【例題2】已知 a 、 b 滿足 ba2 ，則 a2abb2aba24abb2A 1B 1C 3D 1244【答案】 B【解析】bba b1滿足題干條件的 a的數(shù)據(jù)很多，但結果是唯一的， 所以可以對 a，、 特殊化，令則 a2abb231 ，故選擇 Ba24abb262【難度】一般類型三恒等式問題【

4、例題3】若實數(shù) x 、 y 、 z 滿足x z2x yy z0，則下列式子一定成立的4是（）A x y z 0B x y 2z 0C y z 2x 0D z x 2 y 0【答案】 D【解析】本題三個未知數(shù)，一個方程，如果不用特值法很難解答取特殊值： x 1 ， y2 ， z3 ，滿足 x z24 x y y z 0 ，A xyz 1 2 3 6 0 ,B xy2z 1 22 33 0標準文檔實用文案C yz2x23230D zx2 y31220故選擇 D【難度】一般類型四解以“不論 k 為何值時”為條件的問題【例題 4】不論參數(shù) a 取什么值， 直線 y2aax 總通過一個定點， 這個定點坐

5、標為 （）A0,2B2,0C2,0D0,2【答案】 C【解析】由條件“不論參數(shù)a取什么值” ，可知 a 的取值不影響直線y2aax 通過定點，故簡單的方法是將選項直接代入來驗證將選項代入直線y2aax ，可以看出只有C 選項2,0 代入時恒等成立，故選C【難度】容易類型五驗證結論的正確性的問題【例題 5】已知有理數(shù)a 、 b 滿足 ab ，則下列式子正確的是（）AabB abCabDab【答案】 C【解析】由有理數(shù) a 、 b 滿足 ab ，取 a 1 ， b 0 ，那么A：10，成立， B： 10 ，成立， C：10 ，成立， D：10 ，不成立，故排除D取 a 1 ， b 2 ，那么A：

6、12 ，不成立， B：12，不成立， C： 12 ，成立，故選C點評：特殊值法將抽象的字母換成形象的數(shù)字，使解題更為方便【難度】一般類型六比較大小的問題【例題 6】當 m0 ， m 與 1 m 的大小關系為（）5A m 1 mB m 1 mC m= 1 mD 無法確定555【答案】 B【解析】標準文檔實用文案因為 m0 ，取 m1，則 1111m5，因 1，故 mm ，故選 B555【難度】較易類型七幾何問題【例題7】 如圖，過 y 軸上任意一點P ，作 x 軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y4和2x的圖象交于 A 點和 B 點若 C 為 x 軸上任意一點，連接AC 、 BC ，則 ABC的面yx

7、積為【答案】 3【解析】因為 P 為 y 軸上任意一點且C 為 x 軸上任意一點，本題為填空題，故選擇特殊值法比較適合解：令 P 0,1， C0,0，則 A4,1 ，B 2,1 ，即AB 246， OP1SABC1 6132【難度】較易三、實戰(zhàn)演練類型一已知中具體數(shù)量關系較少的問題1一個圓柱的半徑比原來的圓柱的半徑多3 倍，高是原來的1 ，則這個圓柱的體積是原來4圓柱體積的（）A一樣多B 9倍C 3倍D 4倍44【答案】 D【解析】標準文檔實用文案此題若不用特殊值法解答， 勢必要去尋找兩者的數(shù)量關系， 而這個數(shù)量關系還要靠字母來體現(xiàn)，若用特殊值法，數(shù)量關系明了，能輕松順利的解答解：令原來的圓柱

8、半徑是 1, 高是 1，則體積是新圓柱半徑是4 , 高是 1 ，則體積是 44則這個圓柱的體積是原來的4 倍，故選 D【難度】一般2老王前幾年投資的一套藝術品市價上漲了50%，為盡快出手，老王將該藝術品按市價的八折出售，扣除成交價5%的交易費后，發(fā)現(xiàn)與買進時相比賺了7 萬元問老王買進該藝術品花了多少元？A84B 42C100 D 50【答案】 D【解析】本題是選擇題， 已知的數(shù)量關系是百分數(shù)，因此把購入價格看作100比較快捷、 準確的解答此題解：令該藝術品兩年前價格為100則現(xiàn)在市價為 150八折售價為1500.8=120交易費用為1205%=6實際售價為1206 114利潤為 1141001

9、47 萬元，則萬元=14 ，故購買價格為50 萬元選擇 D因實際賺了7購買價格100點評 : 本題若列方程， 可設買進價格為x 萬元，則 1 50%80% 1 5% 1 x 7 ，求解容易出錯，這樣題型特值法較好【難度】一般3若 2x3x213xk 有一個因式為 2x1 ，求 k 的值【答案】6【解析】根據(jù)大綱要求這部分知識難度已降低，因此不采用特殊值法將無從下手因式2x 1 已定，故 2x3x213xk 已定，故 k 不變的，適合使用特值法令 2x3x213xk2x 1 A，把 x1代入可求得 k 62【難度】較難標準文檔實用文案類型二化簡與求值問題4如果abc1111的值是（），則ab11

10、cabbc ca1A4 B 1C 1D不確定【答案】 C【解析】試題分析：本題已知條件只給了abc1，因此令 abc1，即可迅速得出答案試題解析：解：（方法一）令 abc1，則1111111abb1bcc1caa1333（方法二）abc1111abb 1bc c 1ca a 1abc11abbabc11caa 1caaca1a1ac 1ac aca a1aca1a1ac1點評：顯然特值法對這樣條件較少，但題目很繁冗復雜的問題很快捷【難度】較難5已知 ab1 ，則11的值為 _a1b1【答案】1【解析】因為 ab1 ，所以令 ab 1 ，原式111，即11值為 122a1b1點評：由于選擇題、填

11、空題不需要寫出解題的過程，只要求出正確答案即可，解答選擇題，填空題時運用特殊值法能提高解題的速度和準確性【難度】較易6若 a1，則3 3a 3的最后結果是（）A 3 aB 3 aC 3 a D a 3【答案】 B【解析】本題若用常規(guī)的方法應根據(jù)a1，先討論 a3 的正負，進而討論3 a 3 的正負，最標準文檔實用文案后得出最終答案，相比較選擇題中此題特值法比較好用解：（法一） a 1，故 a340 ，即 a33a 3 a 3a ，則 3 3 a 3 3 a（法二）由于 a1，故令 a2，則3 3a333231故選B【難度】一般7已知一次函數(shù)ya2 x1的圖像不經(jīng)過第三象限，則化簡a24a 49

12、 6a a2 的結果是（）A1B1C 2a 5 D 5 2a【答案】 D【解析】我們不妨從已知，即一次函數(shù)ya2 x1的圖像不經(jīng)過第三象限這一條件入手，因為ya2 x1的圖像必經(jīng)過0,1 這點，而經(jīng)過0,1 這點的圖像要想不經(jīng)過第三象限，只有當 a20 ，即 a2 ，我們?nèi)?a0 代入即可得到答案解：一次函數(shù)ya2 x1 的圖像不經(jīng)過第三象限 a 20 ，即 a2取 a 0 代入a24a 4 9 6aa24 9235，顯然答案 A、 B 錯，答案 C為 2a5，由 a0，故 2a55，故 C錯答案 D為52a，由 a0，故 52a5 ，故 D 正確故選擇 D【難度】一般類型三恒等式問題3cx2

13、228若2 xabxdx3 ，求 a cbd 的值【答案】 1【解析】對于恒等式問題， 當?shù)仁街械牡淖帜溉∈沟仁接幸饬x的任何一個特殊值時，等式都成立， 根據(jù)恒等式這個性質，可以用特殊值法求恒等式中參數(shù)的值令 x1 時，2 13bc da標準文檔實用文案令 x1 時，213cda b所以 a c2b d2a c b d a c b d232131213121【難度】較難類型四解以“不論 k 為何值時”為條件的問題9求證：不論 k 為何值時，一次函數(shù)2k 1 xk3 y k 110 的圖像恒過一定點【答案】證明：條件為不論 k 為何值時，故可取特殊值令 k0 時，x 3 y110 令 k1 時，

14、x4 y10 0把 、 聯(lián)立成方程組x 3y110x24 y100解得：3xy當 x2 ， y3 時， 2k 1 x k 3 yk 11 0 成立所以不論 k 為何值時，一次函數(shù)的圖像恒過定點2,3【解析】因為條件為“不論 k 為何值時”，即定義范圍內(nèi)的所有數(shù)值都會使圖象經(jīng)過定點，故取兩個數(shù)值即可確定這個定點證明：條件為不論k 為何值時，故可取特殊值令 k0 時，x 3 y110 令 k1 時， x4 y10 0把 、 聯(lián)立成方程組x 3y110x24 y100解得：3xy當 x2 ， y3 時， 2k 1 x k 3 yk 11 0 成立所以不論 k 為何值時，一次函數(shù)的圖像恒過定點2,3點

15、評：解決以“不論k 為何值時或 k 為任意實數(shù)時”為條件的問題，可以取特殊值法，探求出定點，然后加以驗證即可【難度】較難標準文檔實用文案10若點 A a, b 在第一象限，則點Ba,b2在（）A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限【答案】 B【解析】按題目要求取A 1,1 ，即 a1 ， b1，則a1， b2 1 2 3，故 B點為 1,3顯而易見在第二象限故選B【難度】容易11當 2 m1時，點 P 3m2，m1 在第（）象限3A一B二C三D四【答案】 D【解析】由于數(shù)學選擇題的唯一性，因此取滿足條件2 m1的特殊值 m5，通過計算點P 的坐36標為1， 1，在第四象限內(nèi)，故選 D26【

16、難度】較易12二次函數(shù) y ax2c a0 ，若當 x 取 x1 、 x2 時函數(shù)值相等，當x 取 x1x2 時函數(shù)值等于 _【答案】 c【解析】本題在解答時需根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點，二次函數(shù)y ax2c 的對稱軸為 y 軸，則可得x1 x20 ，從而得 x1x20時，取 x 0 代入 yax 2c 中得 yc2【難度】一般類型五驗證結論的正確性問題13“如果兩個三角形的三個內(nèi)角與三條邊六個元素中有五個元素分別相等，那么這兩個三角形一定全等” ，這個命題正確嗎？說明理由【答案】不正確【解析】標準文檔實用文案兩個三角形的三邊長分別取特殊值為8、 12、 18或12 、18、 27因為 81218

17、 ，所以兩個三角形相似，所以兩個三角形三個內(nèi)角分別相等，又有兩條121827邊分別相等，即五個元素相等，但這兩個三角形不全等，所以這個命題是假命題點評：要想說明一個命題是假命題，只需舉出一個符合條件但不符合結論的特殊值反例即可【難度】較易14如果 x 、 y 、 z 是不全相等的實數(shù)，且ax2yz ， by 2zx ， cz2xy ，則下列結論正確的是（）A a 、 b 、 c 都不小于 0B a 、 b 、 c 都不大于 0Ca 、 b 、 c 至少一個小于0D a 、 b 、 c 至少一個大于0【答案】 D【解析】本題若不用特值法將無從下手，x 、 y 、 z 是不全相等的實數(shù)，可取范圍較

18、大，故令 x1， y1， z1，則 a2 ， b0 ， c2 ，排除 B、 C故令 x1， y1， z2 ，則 a3 ， b1， c5 ，排除 A故選 D【難度】較難15如果方程yq y 有兩個不相等的實數(shù)根，則q 的取值范圍是（）A q0B q 1C 0 q 1D q 1444【答案】 B【解析】此題直接解比較困難，可采用特值法，由選項可知q 的取值將實數(shù)分為三部分，即q0 、0 q 1 、 q 1 ，故可取三個特殊值來驗證44令 q1 ，yqy 變形得 y2y 10 ，50 ，有兩個不相等的實數(shù)根令 q1，yqy 變形得 5y25y1 0 ，50 ，有兩個不相等的實數(shù)根5令 q1，yqy

19、變形得 y2y 10 ，30 ，沒有實數(shù)根故排除 D，選擇 B標準文檔實用文案【難度】較難類型六比較大小問題16若 x0 ， y0 ，且 x y ，則 xy0 若 x0 ， y0 ，且 x y ，則 xy0 【答案】，【解析】因為 x0， y0 ，且 x y ，所以設 x1， y2，則1 21 ，所以 xy0因為 x0， y0 ，且 x y ，所以設 x2， y1 ，則 2+1=3，所以 x y0點評：此題若不用特殊值法，就要考慮絕對值的性質，會顯得繁瑣，現(xiàn)在用特殊值法，會使表達更清晰直觀【難度】一般17如圖，數(shù)軸上的點A 、 B 分別對應實數(shù)a 、 b ，下列結論中正確的是（）A abB a bCa bD ab0【答案】 C【解析】根據(jù)數(shù)軸確定出a 、 b 的正負情況以及絕對值的大小，也可得到答案，使用特值法更快捷根據(jù)