人教版八年級上冊整式的乘法及因式分解單元總結(jié)與歸納.docx

1、同底數(shù)累的乘積 注意點(diǎn)：(1) (2) (3) (4)文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.W。出版本可編輯.歡迎下載支持 整式的乘法必須清楚底數(shù)、指數(shù)、幕這三個(gè)基本概念的涵義。前提必須是同底數(shù)，指數(shù)才可以相加底可以是一個(gè)具體的數(shù)或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式, 指數(shù)都是正整數(shù)(5)三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)靠相乘，即建an a P99 P為正整 a m n p m n 數(shù))(,類型一:2* 2類型二:(1)類型三:(1)(3)(6)(7)25類型四：已知1.鬲的乘方不要與整式加法相混淆。這個(gè)公式是可逆的ara nam ?an (m,n為正整數(shù))422X mm X已知 2m n若2/2 ,2(-2n+l

2、則n=y 2n ?11 y m-1，且 yn 14-n2的值。(2)45, (a)2011(4)、2012(-2)2a=3, 2b二6, 2c二 12,試探究a、b、c之間的關(guān)系;注意點(diǎn):(1)(2)(3)am nam n)(m n數(shù))為正整類型一:(4)(a3)公式的獷展:)32 5 3K a+b);(類型二:【例1】若2 ,5【例2】若10【例3】已知a4,10 111355 , bam n a n m amn )()a )二；3,求 5 2x 3y5,求 102n103m ,的值;444,ca2)3 ?a n533 ，試比較a,b,c的大小;2.積的乘方注意點(diǎn)：(1)注意與前二個(gè)法則的區(qū)

3、別:(2)積的乘方推廣到3個(gè)以上因式的積的乘方 ai ? a2 ? a3(3)(4)(5)每個(gè)因式可以是單項(xiàng)式，多項(xiàng)式，或者其他代數(shù)式 每個(gè)因式都要乘方，然后將所得的幕相乘公式的可逆性：an b nab n (n為正整數(shù))(6)幕的乘方，積的乘方的可逆性:amn=(am )n=(an)m類型一：(ab)3L；(2/b)3；(5a 3b2 )2n為正整數(shù))am n aina2na3am n (n 為正整數(shù))類型二：【例1】當(dāng)ab=，m二5, n=3,求（a b ）的值。文檔來源：從網(wǎng)收集整理.word版本可.迎下支持.3 26 4【例2】若a b=15,求節(jié)ab的。m n【例3】如果3m +2n

4、=6,求8 4 的。X -1【例4】(1)解方程 3*1? 2x1 62XP (2)解方程 -3-1 1416【例5】已知T=5, &*+丫=25,求*+&丫的.x y+1 y x-1【例6】已知：2二4,27二3 ，求x y的型三:【例】算：4 .式乘法法：【例】5 .式與多式相乘的乘法法：式與多式相乘，就是用 式去乘多式的每一，再把所得的相加【例】6 .多式乘法法：多式與多式相乘，先用一個(gè)多式的每一乘另一個(gè)多式的每一，再把所得的相加例1【例2】：解方程與不等式3 3)(3 2) (a 9)(1 a) 18(4+3y)(4-3y)9 (y2)(y+3)【例3】確定參數(shù)a的.型一:確定參數(shù)的【

5、例】若x2 mx 8 x2 3x n展開式中不含x3和x 2，求m ,n的，并寫出展開式中的最后果型二:整式乘法的用【例1】：小明將金X元存入行，年利率整b,那么一年后，小明能得的本息和是多少(扣除:一種商品價(jià)是P元，他的價(jià)格提高【例2】：.察下列各式：a,到期后他又本利存入 行，形式是5%的利息稅)10k% ,再打k折，售價(jià)是 1年期，蛋年利率察等式左各 的底數(shù)與右 的底數(shù)的關(guān)系，猜一猜可以得出什么律，并把 律用等式寫出來：型三:整式的乘法能力提升；例1.8x15式:式:例2.已知X2X 已知已知X 2X 23x式:式:已知x已知X工(x求一(X ,求2)(x 2) 4x(x 1)0,求(x

6、0 ,求代數(shù)式x(2 x2)(x 2)2x 3)2I)25)1)3kx2x23)(x 3)3的。D的.x3x2 3 x3x 27 x102009 的。平方差和完全平方、復(fù)習(xí)：3+b) 3H3)=a 2-b 23+b)2 =a2+2ab+b2 3-b)2=a2-2ab+b23+b)3 2 -ab+b 2)=a 3+b33-b) 2+ab+b2)=a 3 b3歸納小結(jié)公式的變式,準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式:位置變化，x yy x x2 y2x 2 y2 x2 y2符號變化,文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.w Old版本可編輯,歡迎下載支持.指數(shù)變化,x2 y2x2 y2x4 y4系數(shù)變化,2a b2a b4a2

7、b2換式變化,xym xyxy增項(xiàng)變化,x2連用公式變化,zmzm22zmz2y z2xy xy y2 z22xy y2z2X4y4逆用公式變化,2x2y 2z4xy 4xz例題解析：例1.已知a解：:（a b） 2b 2a2a例2.已知 解：（a3ab)b)2 ， ab8, a 2ab2ab1ab1, b2求a23ab 22abb)22 ,b24ab/. a2Z. a2求(a3b2的值。b2 = 3 ；b2=22 b)2的值。b)2 a2 3 b)2b)2 82b)222ab1 22abb24ab = (a b) 24256例 3：計(jì)算 19992-2000 X 1998K解析D此題中200

8、0=1999+1, 1998=1999-1,正好符合平方差公式。解：19992000 X1998 =1999 2- (1999+1 ) X ( 1999-1 )= 19992- (19992-1 2) =19992 -1999 2+l =1文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.w Old版本可編輯.歡迎下載支持.例 4 :已知 xy=2 , y-z=2 , x+z=14o 求 x2 -z 2 的。K解析此若想根據(jù)有條件求出x、y、z的，比麻，考至Ux(3)由 a a 1 a2 b 2 得 a b 2是由x+z和xr的得來的，所以只要求出的即可。解：因 xy=2 , y-z=2 ,將兩式相加得 x-z=4

9、 ,所以 x2 -z 2= (x+z) &z)=14 X4=56O例5.運(yùn)用公式便算(1)1032(2)1982解：(1)1032100 321002 2 100 3 3210000 600 910609(2)1982 200 222002 220022240000 800 4 3920402 (143x)(l + 3x)=l(2)2m -1)2=電皿+1) 2 = 2m+1)2=4口 2+4m+i.例9,四個(gè) 自然數(shù)的乘加上1, 一定是平方數(shù)？什么？分析：由于12 34125522345112111234561361192n, n , n解：1n n 1 n 2得猜想:任意四個(gè)自然數(shù)的乘加上

10、,n是四個(gè)目然數(shù)23n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1n2 3n n2 3n 2 11,都是平方數(shù)。222n 3n - 2 % .nn2 3n 1 2.n是整數(shù),n 2, 3n都是整數(shù)n2 3 1 一定是整數(shù)n2 3n 1是一個(gè)平方數(shù) 四個(gè)整數(shù)的與 1的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .w Old版本可編輯.歡迎下載支持.例10.計(jì)算(1) x2 x 1 2(2) 3m n p 2解：(1) x2 x 1 2 x2 2 x2 I2 2 x2 x4 2 3 3 2 21m n p 221 2 x 2 x (2) 33m n p 2 3m n 2 3m p分析：兩數(shù)和的平

11、方的推廣2222a b c a b c a b 2 a b c c2 x2 1 22 n p2a 2ab bx 1 x1 x2 1 2x3 2x2 2x2229m n p 6m n 6m p 2np222ac 2bc ca2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 即 a b c , a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法（一）、套用：這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地 掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。22例 L 計(jì)算：5x2 3y2 5x23y2 解：

12、原式 5x23y225x49y4（二）、連用：連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2.計(jì)算：1 a a 1 a2 1 a4 1解：原式1 a2 1 a2 1 a4例3.計(jì)算：3x2y 5z1 3x 2 y 5z 1解：原式2y 5z 3x 1 2 y5z 3x 1三、逆用：學(xué)習(xí)公式不能只會正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆 向形式，并運(yùn)用其解決問題。例 4.計(jì)算：578 257 8 2a b c a be解：原式 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c四、變用：題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5.計(jì),算：x y 2z x y 6z解：

13、原式 x y 2z 4z x y 2z 4z五、活用：把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合， 可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式： 六、正確認(rèn)識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩 種（三個(gè)）乘法公式：平方差公式：（a+b）（a4）=a 242、完全平方公式： G+b）；a+2ab+G； 3%）：=a eab+b:可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè) a、b都是 正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識乘法公式。如圖1,兩個(gè)矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為 3+b）（a力）,通過左右兩圖的對照，即可 222222222

14、2的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：3+b）=a +2ab+b與（a力）=a Nab+b。七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算 過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯.歡迎下載支持.律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡便易行。一.先分組，再用公式例 1 .計(jì)算：(a b c d ) ( a b c d )Sb cd)簡析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形(b d)

15、g c),則從其中找出了特點(diǎn)，為(b d ) (he);將另一個(gè)整式(a b c d )變形為 從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式 (b 二.先提公因式, 例2.計(jì)算：8xd ) 3 c) b d 再用公式簡析：通過觀察、-y _y2 4x 4比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系,若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來，變?yōu)? 4x _y,則可利用乘法公4式。解：原式 2 4x_y 4x -y44三.先分項(xiàng)，再用公式例 3.計(jì)算：2 x 3y 2 2 x 3y 6簡析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn),x的

16、系數(shù)相同,和,y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。2分解成4與 2的解：原式二(2x 4) (2 3y) 四.先整體展開，再用公式例 4.計(jì)算：3 2b)(a 2b 簡析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無聯(lián)系,2x 42 3y1)但把第二個(gè)整式分成兩部分，即3 2b) 1 ,再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解:原式 Q 2b) (a 2b) 1五.先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式例 5.計(jì)算：3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 1)簡析：由觀察整式(3 1),不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(xiàng)(3 1),則可滿足平方差公式。多次利用

17、平方差 公式逐步展開，使運(yùn)算變得簡便易行。 西 I、 (381)(34 1)(321)(3 1)(3 1)解：原式3六.先用公式，再展開例6.計(jì)算：1 2簡析：第一個(gè)整式 122可表示為_12102-，由簡單的變化, 2可看出整式符合平方差公式,其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡即可。解：原式 1-1 2七.乘法公式交替用例 7.計(jì)算：(X z)(x2-121-11+133-14T101 T10xz z2 )(x z)(x 2XZ Z2 )2把第一個(gè)整式和第四個(gè)整式結(jié)合在一起,把第二個(gè)整式與第三個(gè)整式結(jié)簡析：利用乘法交換律, 合，則可利用乘法公式展開。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.W。

18、出版本可編輯.歡迎下載支持 解：原式 （x z）（x22 xz z2 ） （x22 xz z2 ）（x z）八、中考與乘法公式1 . 開放例L你察1中的形，依據(jù)形面的關(guān)系，不需要添加助，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，個(gè)公式是 o分析:利用面公式即可列出X y x y x2 y22或 x2 y 2xyxy 或 xyx2 2xy y 2在上述公式中任意一個(gè)即可。例2.如2,在a的正方形中挖掉一個(gè)b的小正方形（ab）,把余下的部分剪成一個(gè)矩形，如3,通算兩個(gè)形的面，了一個(gè)等式，個(gè)等式是。分析:利用面公式即可列出a ba b a2 b?或a 2 b2 a b a b2 .條件開放例3.多式9x21加上

19、一個(gè)式后，使它能成一個(gè)整式的完全平方，加上的 式可以是（填上你正確的一個(gè)即可，不必考所有的可能情況）。分析:解答，可能 于按本上的完全平方公式，得出9 x2 1 6x3x 12 或9x2 1 6x 3x 12只要再點(diǎn)筋，會得出-819 x2 1 9x2 / 故所加的式可以是6x,或一 X。或1,或9x2等。43 .找律例4.察下列各式：由猜想到的律可得 X 1 Xn Xn ! Xn2 . x 1 o分析：由已知等式察可知X 1 Xn Xnl xn 2X 1 Xn 114 .推新公式2例5.在公式a 1 a 2 2al中，當(dāng)a分取1, 2, 3,n ,可得下列n個(gè)等式將n個(gè)等式的左右兩分相加，可

20、推出求和公式：12 3- n （用含n的代數(shù)式表示）分析：察已知等式可知，后一個(gè)等式的右第一等于前一個(gè)等式的左，將已知等式左右兩分相加, 得：2n II2 2 1 2 2 - 2 n n移，整理得：例6.材料并解答：我已知道，完全平方公式可以用平面幾何形的面來表示，上有一些等式也可以用種形式表示，例如：2a b a b 2a 2 3ab b2就可以用4或文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .w Old版本可編輯.歡迎下載支持.圖5等圖表示。(1)請寫出圖6中所表示的代數(shù)恒等式；(2)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：(3)請仿照上述方法另寫一個(gè)含有 a, b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對應(yīng)的幾何圖形。

21、解：(1) 2a b 2b a 2a2 2b 2 5ab(2)如圖7(3)略九、怎樣熟練運(yùn)用公式：(一)、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四 項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減 去相反項(xiàng)的平方.明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式.(二)、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.理解了字母含義的廣泛性，xy z)、若視xy為公式中的a, z為b,則就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式.如計(jì)算(+23+23就可用(a b) =a

22、 2ab+b來解了。有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整 變化，使其滿足公式特點(diǎn).常見的幾種變化是：1、位置變化 如(3x+5y) (5y-3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了.2、符號變化 如(-2m 7n) (2m 7n)變?yōu)橐?2m +7n) ( 2m 7n)后就可用平方差公式 求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化 如 98X102, 992, 912 等分別變?yōu)?100-2) (100+2) , (100-1 ) 2, (90 + 1 ) 2 后就能夠用乘法公式加以解答了.、系數(shù)變化如( 4nm4工)2m

23、)變?yōu)?(m )(2-2 2 444m-n)后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.2 一45、項(xiàng)數(shù)變化 如(x+3y+2z) 就可以用乘法公式來解了.(x 3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z 2z) (x 3y+4z+2z)后再適當(dāng)分組因式分解 十字相乘法.(一)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式 直接利用公式 X 2 (p q)x pq (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。 思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例1.已知00而且是一個(gè)完全平方數(shù)。文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.于是例2、分析:9

24、8a為完全平方數(shù)，a 1分解因式：x2 5x 65o將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于即 2+3=5。解：x 2 5x 6 = x2(2 3)x 2 3& 2)(x3)21 31X2+1X3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵: 等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例3、分解因式：x2 7x解：原式=X 2( 1)=(X l)(x 6)將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要6(6)x (1)( 6) 4c1-1-6由于6=2X3=園)X e-3)=1X6= (-l)X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合,(-1) + (6) = T練習(xí)1、分解因式(l)x 練習(xí)2、分解因式(1)X (二)二次項(xiàng)系數(shù)不為14x242Q) f 15a 36(2) y 2 2y 151的二次三項(xiàng)式ax 2(3)(3)b