最新《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元測(cè)試題(理科)

1、學(xué)習(xí)-好資料導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試題(理科)(滿分150分時(shí)間：120分鐘)、選擇題(本大題共 8小題，共40分，只有一個(gè)答案正確)2 .-f (x) = (2nx )的導(dǎo)數(shù)是()更多精品文檔(A)f (x) 二4二x (B) f (x) = 4二 2x (C) f (x)=8二2x (D) f (x) = 16二x2.函數(shù)f(x) =x e”的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(A)1-1,0 1 (B)2,8 1 (C)1,21 (D)0,21知對(duì)任意實(shí)數(shù)x ,有f( x)=f(,x)gb x)=g ( x. x > 0 時(shí)，f'( x)> ,0 g (x ),則 x < 0 時(shí)(

2、C.f (x) 0, g(x) 0B.f (x) . 0, g (x):二 0f (x)：二0, g (x) 0D.f (x) <0, g (x)：二04.1 J / j)dx =( x(A) ln 2 78(B) ln 2 - 78(C) ln 2 5(D) ln 2 185.A.1x曲線y =e2在點(diǎn)9 2 e2(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(B. 4e2c. 2e2d. e2中，不可能正確的是(6.設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y= "*)和y= f'(x)的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系27.已知二次函數(shù)f(x) =ax +bx +c的

3、導(dǎo)數(shù)為f '(x) , f '(0) > 0 ,對(duì)于任意實(shí)數(shù) x都有f(x) >0,則f1)的最小值為()f'(0)C. 2D.58. 一28 .設(shè) p: f (x) =ex + ln x +2x2 +mx +1 在(0, 十 8)內(nèi)單調(diào)遞增,A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件二.填空題(本大題共 6小題，共30分)9 .用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2： 1,則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為 時(shí)，其體積最大 x210 .將拋物線y=和直線y=1圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾

4、何體 2的體積等于 一'"3-11 .已知函數(shù) f(x)=x -12x+8在區(qū)間-3,3上的最大值與最小值分別為M,m,則M -m =.12 .對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x= 2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列 1-a-l的前n項(xiàng)和的公式是 n 1 32 ,13 .點(diǎn)P在曲線y=x -x+ 上移動(dòng)，設(shè)在點(diǎn) P處的切線的傾斜角為為,則a的取值3范圍是13214 .已知函數(shù)y = x3+x2+ax-5(1)若函數(shù)在(一0°," )總是單倜函數(shù)，則 a的取值范圍3是 . (2)若函數(shù)在1,+8)上總是單調(diào)函數(shù)，則 a的取值范圍 (3)若函數(shù)

5、在區(qū)間(-3, 1)上單調(diào)遞減， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 三.解答題(本大題共6小題，共12+12+14+14+14+14=80分)15 .設(shè)函數(shù) f (x) =exe". (1)證明：f (x)的導(dǎo)數(shù) f'(x) ) 2 ；(2)若對(duì)所有x> 0都有f (x) > ax,求a的取值范圍.16 .設(shè)函數(shù)f (x) = x3 +3x+2分別在x、X2處取得極小值、極大值.xoy平面上點(diǎn) A B的 坐標(biāo)分別為(為，f(x1)、(x2, f (x2),該平面上動(dòng)點(diǎn) P滿足PA?PB=4,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y =2(x 一4)的對(duì)稱點(diǎn)，.求(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)求動(dòng)

6、點(diǎn)Q的軌跡方程.17 .已知函數(shù)f (x) = ax4 ln x+bx4c(x>0)在x = 1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數(shù)。(1)試確定a,b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意x>0,不等式f (x)至-2c2恒成立，求c的取值范圍。3,.,、 ax ,. 218 .已知 f(x)=(a+1)x +4x+1(aw R)3(1)當(dāng)a = 1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)當(dāng)aw R時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。(3)是否存在 負(fù)實(shí)數(shù)a ,使xw匚1,0，函數(shù)有最小值3?319 .已知函數(shù) f(x)=x -3x.(1)求曲線y = f(x)在點(diǎn)x = 2處的切

7、線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)A(1,m) (m# 2)可作曲線y= f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù) m的取值范圍2，一一a一20 .已知函數(shù) f (x)=x + , g(x)=x+lnx,其中 a > 0. x(1)若x =1是函數(shù)h(x ) = f (x g(x )的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值；(2)若對(duì)任意的”,乂2亡1, e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有 f (xgd )成立，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍.理科測(cè)試解答、選擇題1 - f (x) =(2政 2 =4n2x2,. f '(x) =2 4ji2x = f (x) =8n2x；或f (x) =22冰)2冰j =4冰2n =8n2x (理科要求

8、：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))2.f (x) =x ex 1 ex -x ex= = .， f (x) =2=，eex 21-x exl7. 0,. x：:1 選(A)或 f (x) =1 e" x e" -1 = (1 -x) e"0. e-0,. x ： 1.3. (B)數(shù)形結(jié)合4. (D)5. (D)6. (D)7. (C)8. (B)二、填空題9. 2cm,1cm,1.5cm ;設(shè)長(zhǎng)方體的寬為 x (m),則長(zhǎng)為2x(m),高為h =18-12x =4.5 3x(m) 展 乂< 3 '4.2故長(zhǎng)方體的體積為22333V(x) =2x (4.5 -3x) =

9、9x -6x (m )(CKx<-1).從而 V (x) =18x -18x2(4.5 -3x) =18x(1 -x).令V' (x) =0,解得x=0 (舍去)或 x=1 ,因此x=1.當(dāng) 0vxv 1 時(shí)，V' ( x) > 0;當(dāng) 1 vxv 2 時(shí)，V' ( x) v 0,3故在x=1處V (x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V (x)的最大值。從而最大體積 V= V' ( x) =9X12-6X13 (m3),此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m,高為1.5 m.10. n.S = Jix2dy=冗 1 2ydy = 5y2 )=n.(圖略)11. 3

10、212. y/ x 之=28+2切線方程為：y +2n = 2n，(n+2 )(x 2),令 x=0,求出切線a=2n,則數(shù)列?一的前n項(xiàng)和n 1a與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 y0 = (n +1 )2 ,所以 n 12 1 -2n-23 二0，萬(wàn)-；二14 .(1) a ,1;(2)a , -3;(3)a < -3.三、解答題15 .解：(1) f(x)的導(dǎo)數(shù) f'(x)=ex+e”.由于ex +e-x>2扃戶=2,故f'(x) 2.(當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時(shí)，等號(hào)成立).(2)令 g(x) = f (x) -ax ,則 g '(x) = f '(x) -a

11、 = ex +e« -a ,(i)若 a< 2,當(dāng) x>0 時(shí)，g'(x) =ex+e-a>2-a>0,故g(x)在(0,*8 )上為增函數(shù)，所以，x0時(shí)，g(x) 為 g(0),即 f (x) 為 ax.aa2 4(ii)若 a >2,萬(wàn)程 g (x) =0的正根為 x1 = In a a ,2此時(shí)，若xW(0, x1)，則g'(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).所以，xW(0, x1)時(shí)，g(x)<g(0)=0,即 f(x)<ax,與題設(shè) f(x)ax 相矛盾.綜上，滿足條件的 a的取值范圍是,2.16 .解：(

12、1)由題意知 f(1)=3c,因此 bc = 3 c,從而 b = -3.又對(duì)f(x)求導(dǎo)得f (x) = 4ax3 ln x ax411 4bx3 x=x3(4a In x +a +4b).由題意f '(1)=0,因此a+4b = 0,解得a =12 .(2)由(I)知 f '(x) =48x3 In x ( x>0),令 f '(x) = 0,解得 x = 1 .當(dāng)0<x c1時(shí)，f '(x) <0 ,此時(shí)f (x)為減函數(shù)；當(dāng)X1時(shí)，f(X)>0,此時(shí)f(X)為增函數(shù).因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

13、為(1,48).(3)由(II)知，f (x)在x=1處取得極小值f (1) = -3-C,此極小值也是最小值，要使_2 _2f (x) > 2c ( x>0)恒成立，只需-3 -c > 2c .即 2c2 -c-3> 0 ,從而(2c3)(c+1) 為 0,3解得c> 或c0 -1.2所以c的取值范圍為(_oO,_1U ,3,+8 1,217 .解：(1)令 f (x)=(x3 +3x+2)' = 3x2+3 = 0解得 x = 1 或x = 1當(dāng) x<1 時(shí)，f'(x) <0,當(dāng)1 <x <1時(shí)，f'(x) &g

14、t;0，當(dāng) x a1 時(shí)，f'(x) <0所以，函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，故x1 = 1,x2 =1, f(-1) =0, f (1) =4所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(1,0), B(1,4).(2)設(shè) p(m,n), Q(x, y) , PA PB = (-1 一 m,n )“1 一 m,4 - n )= m2 -1 + n2 -4n = 4k =1所以上二口 二 L又PQ的中點(diǎn)在丫=2他4)上，所以23 = 2、±m4)2 x-m 22<2 J消去 m,n 得(x-8f +(y+22 = 9.另法：點(diǎn)P的軌跡方程為 m2 +(n2f =9,

15、其軌跡為以(0, 2)為圓心，半徑為 3的圓；設(shè)點(diǎn)(0, 2)關(guān)于y=2(x-4)的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b),則點(diǎn)Q的軌跡為以(a,b),為圓心，半徑為3的圓，,b-21 b+2 c 'a+0，'垢 _on由- , 2 -4 付 a=8,b2a -022 I 2)18(1) x巴2)或 xR2,收)f(x)遞減；xW(2,2)f(>)遞增；(2) 1、當(dāng) a = 0,x 氣一嗎一2 ) f(x) 遞增;2、當(dāng) a < 0, x W 12,2 , f(x) 遞增；3、當(dāng) 0 < a < 1, x W(嗎2 )或 ax w 12,n , f(x)遞增；當(dāng) a =1

16、, xW(，依)f(x)遞增；當(dāng) a >1, xW i-g,2 1或 xW(2,收)f(x) a. a遞增；(3)因a c0,由分兩類(依據(jù)：?jiǎn)握{(diào)性，極小值點(diǎn)是否在區(qū)間-1,0上是分類“契機(jī)”：1、當(dāng) 2<_l,a>, xwLi,0k=,2；f(x)遞增，f(xU=f(f=S 解得 a =/ aa42、當(dāng)2下1仁a蕓由單調(diào)性知：f(XU=f(2)=4,化簡(jiǎn)得：3a2+3a1=0,解得 a ' 一 'aa = -3工閔"不合要求；綜上，a = -3為所求。 6419.解(1) f (x) =3x2 3, f'(2) =9, f (2) =233

17、父2 =2 2 分曲線y = f(x)在x = 2處的切線方程為 y2=9(x_2),即9x y16 4 ； 4分(2)過(guò)點(diǎn)A(1,m)向曲線y = f (x)作切線，設(shè)切點(diǎn)為(x0, y0)則 y。= x0 - 3x0, k = f (xO) 3x0 - 3. 32則切線萬(wàn)程為 y -(x0 -3x0) =(3x0 -3)(x-x0) 6分整理得 2x03 -3x02 m 3=0 (*)過(guò)點(diǎn)A(1,m) (m #2)可作曲線y = f (x)的三條切線方程(*)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根.記 g(x)= 2x3 -3x2 m 3, g (x)= 6x2 -6x =6x(x -1)令 g'(x)

18、 =0,x =0或 1. 10 分則x, g (x), g(x)的變化情況如下表x(-°0,0)_0(0,1)J(1,Fg'(x)+00+g(x)極大極小當(dāng)x =0,g(x)有極大值m+3; x=1,g(x)有極小值m + 2. 12分,r r g(0) 0由g(x)的簡(jiǎn)圖知，當(dāng)且僅當(dāng)«g(),g二0m 3 0,即 W , -3 < m < -2 時(shí)，m 2 二 0函數(shù)g(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)a可作三條不同切線.所以若過(guò)點(diǎn) A可作曲線y = f (x)的三條不同切線，m的范圍是(-3,-2) 14分2一 a20 . (1)解法 1 ： h(x ) =

19、 2x+ +lnx,其定義域?yàn)?0, +30),xa21h (x )=2 -f +.x x2 .x=1 是函數(shù) h(x)的極值點(diǎn)，h'(1 ) = 0,即 3 a2 = 0 .a >0 , a = E.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a = J3時(shí)，x=1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，2a一斛法2： . h(x )=2x + +lnx,其te義域?yàn)?0,+a), xa21令 h'(x) = 0,2即2-2 x2x x1一 一 22十一=0,整理，得2x +x a x=1 8a2 h'(x) = 0的兩個(gè)實(shí)根 為=-1-*1+8a (舍去)x2 = T+J1+8a-44當(dāng)x變化時(shí)，h(x,h'(x )的變化情況如下表：x(0,x2 )x2區(qū),)h'(x)一0十h(x)極小值1 一 Ji 8a20依題意，1 " 8a =1,即 a2=3, 43 a >0 , - a =yj3.(2 )解：對(duì)任意的x1,x2 w【1, e】都有f (X產(chǎn)g (x2 )成立等價(jià)于對(duì)任意的多一,e廂有f(xHg(x)Lx-.一，