剖析空間中平面座標(biāo)的轉(zhuǎn)換

1、剖析空間中平面座標(biāo)的轉(zhuǎn)換參展學(xué)生：高二愛班 桂國(guó)軒指導(dǎo)老師：柯文柔一、研究動(dòng)機(jī) 目前在學(xué)習(xí)空間中的直線和平面時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果換個(gè)特殊的視角，可以分別看成一個(gè)點(diǎn)或一條線，這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否有助於處理平面問(wèn)題呢？二、研究目的 利用座標(biāo)變換直覺的處理平面問(wèn)題。三、研究方法 1、歸納法 2、空間基本概念 3、座標(biāo)變換四、研究過(guò)程內(nèi)容一：點(diǎn)到平面的距離目前高中生所學(xué)空間中點(diǎn)到平面的距離公式為： 已知平面及平面外一點(diǎn) 則 = (pf)設(shè)P對(duì)平面E之正射影點(diǎn)而長(zhǎng)度得證以上的証明毫無(wú)意義，只是一群煩冗數(shù)學(xué)符號(hào)的集合罷了，這麼漂亮的式子，一定存在著什麼深刻的意義。想法一：如果換個(gè)特殊的視角看這個(gè)平面，可以使它看起來(lái)是一條

2、直線。想法二：如果題目給的是像 這種題目，因?yàn)閯偤镁褪莤y平面，所以z分量就是與的距離了?？墒遣皇撬蓄}目都這麼巧，平面剛好是xy平面，既然如此，我乾脆設(shè)為我新的xy平面。空間中兩個(gè)物件的關(guān)係可以用很多種座標(biāo)系描述，沒有必要拘泥於其中一種。我可以假設(shè)這些不同的座標(biāo)系都代表著一種視角。因?yàn)槿绻阒皇菃螁胃淖円暯?，?duì)整個(gè)系統(tǒng)並沒有影響，唯有改變座標(biāo)系。先找個(gè)簡(jiǎn)單的例子試試： （大寫的XYZ與小寫的xyz不同）1. 我把新的Z座標(biāo)設(shè)成：這樣Z=0的平面也就是XY平面就會(huì)等於E平面。2. Y跟X與Z垂直，因?yàn)槲蚁Ｍ孼分量就是點(diǎn)到XY平面的距離，至於X與Y垂不垂直，這倒無(wú)關(guān)緊要。所以新的X、Y、Z座標(biāo)

3、分別為：3. 把P點(diǎn)代進(jìn)去可得到P的新座標(biāo)。由於XY平面就是E平面，所以Z分量就是P到E的距離等於，不過(guò)這是新座標(biāo)的單位，由於我變換了座標(biāo)，單位已經(jīng)改變，接下來(lái)必須求出每一新座標(biāo)的單位等於多少舊座標(biāo)的單位。4. 為了求出單位比，我利用和兩個(gè)距離為的點(diǎn)，求出他們?cè)谂f座標(biāo)系中的距離，這個(gè)距離就是單位比。 => => 最後再將即可求得最短距離。算出的答案果然正確，再試個(gè)難一點(diǎn)的例子：新的座標(biāo)系：可得新座標(biāo)系中P座標(biāo)為 最後再將即可求得最短距離。而利用公式可得代公式的結(jié)果與原式符合，經(jīng)過(guò)兩次的試驗(yàn)後，發(fā)現(xiàn)利用座標(biāo)變換處理點(diǎn)到平面的距離似乎是可行的，為了確認(rèn)它的正確性，利用座標(biāo)軸轉(zhuǎn)換推推看般

4、式是否成立？已知平面及平面外一點(diǎn) 則 = (pf). 可得新座標(biāo)系中P座標(biāo)為. 單位比為： . 最短距離為：得證。. 原來(lái)公式的分子代表的是新的Z分量，分母代表的是單位比。. 假設(shè)有個(gè)平面，當(dāng)代入一個(gè)不屬於這平面的點(diǎn)如，你會(huì)得到一個(gè)多出的量：，這代表什麼呢？這代表點(diǎn)在的平面上。而這兩個(gè)平面的距離就是到的距離。所以事實(shí)上我們想知道的是，當(dāng)你改變一個(gè)平面其常數(shù)項(xiàng)時(shí)，得到的新平面與原來(lái)平面的距離的改變。而這個(gè)改變是固定的，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)的改變是k時(shí)，距離的改變就是。所以公式只不過(guò)是把常數(shù)變化量乘以距離變化量而已。而求距離變化量有很多方法，上述的方法是利用三維的座標(biāo)變換，懂得原理後，其實(shí)不管是一維或是二維都

5、是可行的。內(nèi)容二：平面族 代表所有通過(guò)與的交線的平面，其中、。平面族看起來(lái)非常像直線方程式，是否有什麼關(guān)係呢？我覺得可以把看成X軸，看成Y軸，構(gòu)成一個(gè)二維的平面，當(dāng)你從這兩個(gè)平面的外積方向看下去就能看到這個(gè)平面，從這個(gè)角度看，兩個(gè)平面都變成線，也就是這個(gè)二維平面的軸。所以就代表這個(gè)二維平面上通過(guò)原點(diǎn)(兩個(gè)軸的交點(diǎn))的一條線，而就是這條線廣義的斜率(因?yàn)檫@兩個(gè)線不一定垂直)。這時(shí)你只要改變一下視角只能發(fā)現(xiàn)，原來(lái)這不是一條線，而是一個(gè)平面，只是之前的視角看不到而已。五、結(jié)論.利用座標(biāo)變換的確能很直覺很自然的處理平面問(wèn)題。.原來(lái)公式的分子代表的是新的Z分量也是平面常數(shù)的變化量，分母代表的是單位長(zhǎng)度比也是距離變化量。這個(gè)結(jié)論賦予