【KS5U解析】浙江省舟山市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、2019-2020學(xué)年高二第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.直線的傾斜角是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方程可得其斜率，則有，結(jié)合的范圍即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為，因直線的方程為，故其斜率，則有，又由，則，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的求法，一般地，斜率和傾斜角的關(guān)系是：當(dāng)傾斜角時(shí)，斜率，當(dāng)傾斜角時(shí)，斜率不存在.本題屬于基礎(chǔ)題.2.半徑為2的球的表面積是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由球的表面積公式直接求出表面積即可.【詳解】由球的表面積公式可得，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積的計(jì)算

2、，記住公式是關(guān)鍵，本題屬于容易題.3.已知直線l和平面，若，則過點(diǎn)p且平行于l的直線（ ）a. 只有一條，不在平面內(nèi)b. 只有一條，且在平面內(nèi)c. 有無數(shù)條，一定在平面內(nèi)d. 有無數(shù)條，一定不在平面內(nèi)【答案】b【解析】【分析】通過假設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線有兩條與，由平行公理可得，這與矛盾.【詳解】假設(shè)過點(diǎn)p且平行于的直線有兩條與，且，由平行公理得，這與兩條直線與相交與點(diǎn)相矛盾.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查平行公理的應(yīng)用，注意在立體幾何中解決存在性問題可適當(dāng)使用反證法，本題屬于基礎(chǔ)題.4.圓與圓的位置關(guān)系為（ ）a. 內(nèi)切b. 外切c. 相交d. 相離【答案】c【解析】【分析】求出兩圓的圓心距，根據(jù)

3、其與半徑之和和半徑之差的絕對(duì)值的關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑；兩圓的圓心距，有，則兩圓相交；故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，一般地，我們利用圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值的關(guān)系來判斷，本題屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)是不同的直線，是不同的平面，下列命題中正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】a【解析】【分析】在a中，由面面垂直的判定定理得；在b、c中，與相交或平行；在d中 ，缺了相交的條件，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】a中，過作平面，使得，因?yàn)?，所以，故，而，所以，因，故，故a正確；在b中，若，則與相交或平行，故b

4、錯(cuò)誤；在c中，若，則與相交或平行，故c錯(cuò)誤；在d中，若，推不出，缺了相交的條件，故d錯(cuò)誤.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查空間中與線面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假，一般依據(jù)已有的判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)應(yīng)動(dòng)態(tài)考慮不同的位置關(guān)系，防止遺漏一些特殊情形，本題屬于基礎(chǔ)題.6.將正方形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角，則異面直線和所成角的余弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意可知，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，求出的坐標(biāo)后可得向量，的坐標(biāo)，求出的值可得異面直線和所成角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為o，連接，則，故為二面角的平面角.

5、因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)， 則，異面直線和所成角的余弦值為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量所成的角，注意異面直線所成的角的范圍為，本題屬于基礎(chǔ)題.7.若直線沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）a. 2個(gè)b. 至多一個(gè)c. 1個(gè)d. 0個(gè)【答案】a【解析】【詳解】直線沒有交點(diǎn)，故 點(diǎn)p(m,n)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，故圓=2內(nèi)切于橢圓，故點(diǎn)p(m,n)在橢圓內(nèi)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)8.九章算術(shù)中，稱底面為矩形而有一

6、側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（ ）a. 4b. 8c. 12d. 16【答案】d【解析】【分析】根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則d1a1abb1，d1a1aff1滿足題意，而c1，e1，c，d，e，和d1一樣，有24=8，當(dāng)a1acc1為底面矩形，有4個(gè)滿足題意，當(dāng)a1aee1為底面矩形，有4個(gè)滿足題意，故有8+4+4=16故選d【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，以及排除組合的問題，考查了棱柱的特征，屬于中檔題9.在長(zhǎng)方體中，分別在對(duì)角線，上取點(diǎn)m，n，使得直線平面，

7、則線段mn長(zhǎng)的最小值為a. b. c. d. 2【答案】b【解析】【分析】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則設(shè)，則，由此能求出mn的最小值【詳解】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，線段mn平行于對(duì)角面，設(shè)，則，在直角梯形中，當(dāng)時(shí)，mn的最小值為故選b【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查推理論論能力、空間想象能力，是中檔題10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)p是橢圓上一點(diǎn)，直線垂直于且交線段于點(diǎn)m，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)，又，由向量共線可得m的坐標(biāo)，再由向量垂直得到的關(guān)系式，結(jié)

8、合在橢圓上得到關(guān)于的方程組，化簡(jiǎn)整理可求得，由可得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，又，解得.，.又，.，整理得到.由p在橢圓上，可得，故，化簡(jiǎn)得到，解得，或，（舍去），由，可得，即有，又，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的取值范圍，一般地，圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組本題屬于中檔題.二、填空題11.已知向量，則_；若，則_【答案】 (1). 3 (2). 0【解析】【分析】用向量的模和向量垂直的性質(zhì)直接求解.【詳解】向量，.若，則，解得.故答案為：3，0.【點(diǎn)

9、睛】本題考查空間向量的模以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式，注意兩個(gè)向量垂直等價(jià)于它們的數(shù)量積為零，本題屬于容易題.12.某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖（俯視圖為等邊三角形）如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為_；表面積為_（單位：）. 【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三視圖可知幾何體為正三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其底邊的長(zhǎng)和棱柱的高，根據(jù)公式可求其體積和表面積.【詳解】該幾何體為正三棱柱，且底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為3.故，.故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及其棱柱的體積和表面積，可根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，注意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系本題屬于基礎(chǔ)題.13.雙曲線c：的漸近

10、線方程為_，c上一點(diǎn)p到點(diǎn)的距離為7，則點(diǎn)p到點(diǎn)的距離為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求得雙曲線的后可得漸近線方程，討論在右支上不可能，結(jié)合雙曲線的定義可得所求值.【詳解】由c：得，可得漸近線方程為.若在雙曲線的右支上，可得，但到點(diǎn)的距離為7，故在左支上，又，即有，故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線以及雙曲線的幾何性質(zhì)，在利用雙曲線的幾何性質(zhì)求焦半徑的長(zhǎng)度時(shí)，注意根據(jù)已知焦半徑的大小確定雙曲線上的點(diǎn)是否在某個(gè)單支上，本題屬于易錯(cuò)題.14.正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，則與側(cè)面所成角的正弦值為_；點(diǎn)e為中點(diǎn)，則過，三點(diǎn)的截面面積為_.【答案】 (1). (2).

11、 【解析】【分析】以a為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過a作的垂線為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出的方向向量與側(cè)面的法向量后可求線面角的正弦值.取中點(diǎn)d，連結(jié)，則過，三點(diǎn)的截面為梯形，由此能求出過，三點(diǎn)的截面面積.【詳解】以a為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過a作的垂線為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)與側(cè)面所成角為，則與側(cè)面所成角正弦值為：.取中點(diǎn)d，連結(jié)，點(diǎn)e為中點(diǎn)，則過，三點(diǎn)的截面為梯形，過，三點(diǎn)的截面面積為：.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量在線面角計(jì)算中的應(yīng)用以及幾何體的截面面積的計(jì)算，前者注意直線方向向量和平面的法向量的夾角與線面角的關(guān)系，本題屬于

12、中檔題.15.已知圓c：，過點(diǎn)的直線l交圓于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，l所在的直線方程是_【答案】或.【解析】【分析】分別就直線斜率存在與不存在兩種情況考慮，當(dāng)斜率存在時(shí)，可利用垂徑定理求出圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求斜率，從而得到直線方程.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程，此時(shí)交點(diǎn)，滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，即，因?yàn)椋蕡A心到直線的距離為.又圓心到直線的距離，故，此時(shí)直線方程為.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)于已知弦長(zhǎng)求直線方程的問題，注意討論直線斜率不存在的情況，本題屬于基礎(chǔ)題.16.過拋物線c：的焦點(diǎn)f的直線與拋物線c交于a、b兩點(diǎn)，則

13、的最小值為_.【答案】9【解析】【分析】先證明，再結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诘臅r(shí)候，為通徑且，故.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖诘臅r(shí)候，設(shè)，由 可得，所以.又.又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題以及利用基本不等式求最值，前者需要聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用焦半徑公式把目標(biāo)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后可得定值，后者需要代數(shù)變形以產(chǎn)生能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，本題屬于較難題.17.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)q，已知q到底面的距離與q到點(diǎn)p的距離之比為正常數(shù)k，且動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角平面角的大小為時(shí)，k的值為_.【答案】

14、【解析】分析】設(shè)二面角平面角為，點(diǎn)到底面的距離為，點(diǎn)到定直線的距離為，則.再由點(diǎn)q到底面的距離與到點(diǎn)p的距離之比為正常數(shù)k，可得，故，根據(jù)拋物線的定義，由給定的二面角的大小可求值.【詳解】如圖，設(shè)二面角平面角為，點(diǎn)到底面的距離為，點(diǎn)到定直線得距離為，則，即.點(diǎn)到底面的距離與到點(diǎn)的距離之比為正常數(shù)，則，所以.動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，故.因?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及二面角的應(yīng)用，前者需利用平面解析幾何中圓錐曲線的定義來求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)，本題屬于中檔題.三、解答題：5小題，共74分18.已知平面內(nèi)三點(diǎn)、，（1）求過點(diǎn)p且與平行的直線方程；（2）求過點(diǎn)p、a、b三點(diǎn)的圓的

15、方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求的直線方程.（2）根據(jù)題意，設(shè)圓心為m，則m在的垂直平分線上，由b、p的坐標(biāo)可得m在x軸上，設(shè)，進(jìn)而可得，解得a的值后可得圓心坐標(biāo)和半徑，即可得答案.詳解】（1）根據(jù)題意，平面中點(diǎn)、，則，則過點(diǎn)p且與平行的直線方程為，即；（2）根據(jù)題意，設(shè)圓心為m，又由、，則m在的垂直平分線上，即m在x軸上.設(shè)，則有，解得：；則圓心m的坐標(biāo)為，半徑，則要求圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程與圓的方程的求法，如果已知圓過三點(diǎn)，我們可以利用邊的中垂線求出圓心后再求半徑，也可以設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求出參

16、數(shù)的值，本題屬于基礎(chǔ)題.19.如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是矩形且，e、f分別是、的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求證：直線平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)h，可證明，從而可證直線平面.（2）先證明平面，再利用（1）的可得直線平面.【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)h，連接，易知為的一條中位線，故，且，又e為中點(diǎn)，為矩形，且，且，四邊形為平行四邊形，不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，平面.（2），h為中點(diǎn)，又平面，在平面內(nèi)，又，且，均在平面內(nèi)，平面，又在平面內(nèi)，又，且都在平面內(nèi)，平面，又，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與線面垂直的證明，線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中

17、找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個(gè)方法的關(guān)鍵是構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行. 線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個(gè)平面的交線20.已知橢圓c：的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓c的方程；（2）直線l交橢圓c于不同的兩點(diǎn)a、b，且中點(diǎn)e在直線上，線段的垂直平分線交y軸于點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率及橢圓所過的點(diǎn)的坐標(biāo)及之間的關(guān)系求出橢圓的方程；（2）由題意設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，進(jìn)而求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代

18、入直線求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出的中垂線的方程.令求出p的縱坐標(biāo)，即m的表達(dá)式，分斜率大于0和小于0兩種情況用均值不等式求出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知：，解得：，所以橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線的斜率不存在的時(shí)候，此時(shí)的垂直平分線為，此時(shí).當(dāng)直線的斜率存在的時(shí)候，設(shè)，若，則為軸，中垂線與軸沒有交點(diǎn)，舍； 若，則直線：，由得則，整理得到，設(shè)，所以中點(diǎn)e的橫坐標(biāo)為，整理得到，又的垂直平分線方程為：，令，則，因?yàn)?，故，此時(shí)且 故且，綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的最值問題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等. 直線

19、與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題，本題屬于基礎(chǔ)題.21.如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，o為的中點(diǎn)，平面.（1）求證：；（2）當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求與平面所成角大小的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可證，從而平面，由此能證明.（2）以o為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與平面所成角正弦值.【詳解】（1）證明：平面，平面，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，o為的中點(diǎn)，平面，平面，而平面， .（2）解：以o為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成角大小為，則與平面所成