【KS5U解析】湖北省宜昌市2020屆高三下學(xué)期4月線上統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、宜昌市2020屆高三年級4月線上統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求函數(shù)定義域得集合，求函數(shù)值域得集合，然后由交集的概念計算【詳解】由題意或，故選：d【點睛】本題考查集合的交集運算，掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵2.復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)模后由復(fù)數(shù)除法可求得【詳解】，故選：d【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的模的運算，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】與中間值0，1比較后可得【詳解】，故選：b【點睛】本題考查冪、對數(shù)的

2、比較大小，不同類型的數(shù)比較大小時可先與中間值0，1，1等比較后得出它們之間的大小關(guān)系4.運行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）a. 0b. 1c. d. 【答案】c【解析】【分析】模擬程序運行，利用數(shù)列的周期性求和、【詳解】模擬程序運行，此框圖的功能是求數(shù)列的和：，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，易得，故選：c【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題關(guān)鍵是確定程序功能，利用數(shù)列的周期性計算5.已知函數(shù)，下列命題：關(guān)于點對稱；的最大值為2；的最小正周期為；在區(qū)間上遞增.其中正確命題的個數(shù)是（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)，然后

3、結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷【詳解】，正確；最大值是2，正確；周期為，錯；函數(shù)在上遞增，在上遞減，錯正確的命題有2個故選：c【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時必須把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)形式，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵6.設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）a. b. 28c. d. 【答案】a【解析】【分析】由已知求出公比后，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式可得結(jié)論【詳解】因為，所以，所以，又?jǐn)?shù)列是正項數(shù)列，所以，所以.故選：a【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，本題也可直接用基本時法求解7.已知箱中裝有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，現(xiàn)從箱

4、中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取兩次，若用a表示“第一次取到不合格消毒液”，用b表示“第二次仍取到不合格消毒液”，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求出和，再由條件概率公式計算【詳解】，故選：b【點睛】本題考查條件概率，掌握條件概率計算公式是解題基礎(chǔ)8.我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤？”假定該金杖被截成長度相等的若干段時，其重量從粗到細(xì)

5、構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長度相等的20段，則中間兩段的重量和為（ ）a. 斤b. 斤c. 斤d. 斤【答案】c【解析】【分析】把每段重量依次用（表示，數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求解【詳解】把每段重量依次用（表示，數(shù)列是等差數(shù)列，由題意，兩式相加得，故選：c【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從實際問題抽象出等差數(shù)列，然后應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)解題即可9.四色猜想又稱四色問題、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.四色定理的內(nèi)容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對該地圖的五個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只使用一種顏色

6、，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（4種顏色不一定用完），滿足四色定理的不同的涂色種數(shù)為（ ）a. 96b. 72c. 108d. 144【答案】d【解析】【分析】分步涂色，把五塊區(qū)域編號（如解析中圖）后，第一步涂，第二步涂，第三步，又分類：按同色與不同色分類即可【詳解】如圖，把五塊區(qū)域編號，第一步涂有4種可能，第二步涂有3種可能，第三步，又分類：按同色有種，不同色有種，共有方法數(shù)為故選：d【點睛】本題考查分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，解題關(guān)鍵是確定事件完成的方法10.已知拋物線的焦點為f，m是拋物線c上一點，n是圓上一點，則的最小值為（ ）a. 4b. 5c. 8d. 10【答案】b【解析】【分析】把轉(zhuǎn)化

7、為到準(zhǔn)線的距離，通過到圓心的距離求解【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為，直線是拋物線的準(zhǔn)線，過作于，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立此時取得最小值為故選：b【點睛】本題考查拋物線的定義，考查圓外點到圓上點的距離的最值解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想，拋物線上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，圓外點到圓上的的距離轉(zhuǎn)化為圓外點到圓心距離11.某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為正三角形，為正視圖一邊的中點，且?guī)缀误w表面上的點m、a、b在正視圖上的對應(yīng)點分別為、，在此幾何體中，平面過點m且與直線垂直.則平面截該幾何體所得截面圖形的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析】由三視圖作出原幾何體是一個正

8、三棱柱，如圖，利用線面垂直的判定定理確定的位置形狀，從而計算出面積【詳解】如圖，原幾何體是一個正三棱柱，上中點，取中點，連接，連接，由三視圖知是正方形， ，又分別是中點，正三棱柱中，平面，平面，故，又，則可得平面，平面，又，平面，即為截面，同理由平面得，由三視圖得，故選：a【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的截面，掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵12.定義在r上的偶函數(shù)滿足，且，若關(guān)于x的不等式在上有且僅有15個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為8，區(qū)間含有5個周期，因

9、此題中不等式在一個周期內(nèi)有3個整數(shù)解，通過研究函數(shù)在的性質(zhì)，結(jié)合圖象可得結(jié)論【詳解】，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為8，區(qū)間含有5個周期，關(guān)于x的不等式在上有3個整數(shù)解時，是增函數(shù)，時，時，遞減，時，遞增，時，取得極小值，利用偶函數(shù)性質(zhì)，作出在上的圖象，如圖由得，若，則原不等式無解，故，要使得不等式在上有3個整數(shù)解，則，即故選：b【點睛】本題考查不等式的整數(shù)解問題，考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，考查的知識點較多，對學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高，屬于難題二、填空題13.若向量，且，則_.【答案】【解析】

10、【分析】由向量的數(shù)量積為0可得出【詳解】，故答案為：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查向量垂直的坐標(biāo)運算掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵14.某種品牌汽車的銷量y（萬輛）與投入宣傳費用x（萬元）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)如下表所示：宣傳費用x3456銷量y2.5344.5經(jīng)計算得回歸直線方程的斜率為0.7，若投入宣傳費用為8萬元，則該品牌汽車銷量的預(yù)測值為_萬輛.【答案】5.95【解析】【分析】題中已知回歸直線方程為的系數(shù)，再由回歸直線過中心點求出系數(shù)，得回歸方程，令得預(yù)測值【詳解】由已知，又，即，時，故答案為：5.95【點睛】本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì)：回歸直線一

11、定過中心點15.如圖，在四棱錐中，平面，是菱形，e是上的一動點，當(dāng)點e滿足_時，；在（1）的條件下，三棱錐的外接球的體積為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）取中點，由平面幾何的知識得，從而得與平面垂直，因此有，可得，是中點反之可證明；的外心就是的外接球的球心，求出半徑即可得球體積【詳解】（1）是中點，證明如下：取中點，連接，是菱形，則和是正三角形，又是中點，平面，平面，又，平面，而平面，；（2）由（1）平面，平面，而，平面，是等腰直角三角形，是斜邊中點，則，是的外心，設(shè)是的外心，則在上，是三棱錐外接球球心其半徑為，故答案為：；【點睛】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱

12、錐的外接球體積，證明線線垂直，一般先要證線面垂直，而要證線面垂直，又要證線線垂直，即中立體幾何中垂直問題中必須掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化三棱錐的外接球問題關(guān)鍵是找到外接球球心，外接球球心一般在過各面外心與該面垂直的直線上16.已知雙曲線的左，右焦點分別為、，點g位于第一象限的雙曲線上，若點h滿足，且直線與x軸的交點為，則g點的坐標(biāo)為_.【答案】【解析】【分析】由得是的角平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義可求得到焦點的距離，再利用在雙曲線上可得點坐標(biāo)【詳解】，是的角平分線，由雙曲線方程為得，即，又，又由雙曲線定義得，設(shè)，則，解得故答案為：【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置

13、關(guān)系問題，解題關(guān)鍵是由向量的線性運算得是的角平分線三、解答題17.在中，角a、b、c的對邊分別是a、b、c，且.（1）求角b的大?。唬?）若的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡已知式后可求得；（2）由三角形面積公式得，再利用余弦定理可求得，從而得三角形周長【詳解】解：（1）由，可得，即，展開化簡得， 又中，所以， 又，所以.（2）因為的面積，所以， 由余弦定理得， 因為，可得，所以， 所以，即的周長為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理，考查兩角和的正弦公式，三角形面積公式，解題關(guān)鍵是由正弦定理化邊為角，利

14、用三角函數(shù)恒等變換求得18.如圖1，直角梯形中，e、f分別是和上的點，且，沿將四邊形折起，如圖2，使與所成的角為60°.（1）求證：平面；（2）m為上的點，若二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面圖形，可證得線面平行，從而得面面平行，然后可得證線面平行；（2）先證得平面平面，然后作于點o，則平面，以o為原點，平行于的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求出平面的法向量，由法向量夾角的余弦的絕對值等于二面角余弦值，可求得【詳解】（1）證明：在圖1中，又，所以是矩形，所以在圖2中，又平面，所以平面，

15、因為，又平面，所以平面， 又因為，所以平面平面， 而平面，所以平面.（2）解：因為，所以是與所成的角，所以，平面，故平面平面，作于點o，則平面，以o為原點，平行于的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.平面的一個法向量為， 設(shè)二面角的平面角為，所以，平方整理得，因為，所以.【點睛】本題考查證明線面平行，考查用空間向量法求二面角問題證明線面平行要注意線線平行、線面平行、面面平行之間的關(guān)系，它們之間的相互轉(zhuǎn)化求空間角問題，空間向量法是常用方法關(guān)鍵是找到過同一點的兩兩垂直的三條直線19.已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，p是橢圓e的上頂

16、點，且.（1）求橢圓e的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓e交于a、b兩點，點m與點b關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后寫出直線方程并變形后代入，可得定點坐標(biāo)，再驗證直線斜率不存在時，直線也過這個定點即可【詳解】解：（1）由題意得，則，所以， 又，所以，所以橢圓e的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，則，由，消去y得.由，得，所以，.，直線的方程為， 即， 因為，所以，直線的方程為

17、可化為，則直線恒過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，直線也過點，綜上知直線恒過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題解題方法是設(shè)而不求思想方法設(shè)出動直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，利用此結(jié)論求出直線方程，可確定定點坐標(biāo)20.目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如下圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱為“長潛伏者”.短潛伏者長潛伏

18、者合計60歲及以上9060歲以下140合計300（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)；（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與患者年齡有關(guān)：（3）研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是500元，設(shè)所需要的試驗費用為x，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望.附

19、表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910828【答案】（1）平均數(shù)為，“長潛伏者”的人數(shù)為人（2）列聯(lián)表見解析, 有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與年齡有關(guān)（3）分布列見解析,【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖可計算出潛伏期的均值，再由頻率分布直方圖可得“長潛伏者”的頻率，從而得人數(shù)；（2）由所給數(shù)據(jù)計算出后可得結(jié)論；（3）由題意知所需要的試驗費用x所有可能的取值為1000，1500，2000，分別計算出概率得概率分布列，再由期望公式得期望【詳解】解：（1）平均數(shù)， 這500名患者中“長潛伏者

20、”的頻率為，所以“長潛伏者”的人數(shù)為人. （2）由題意補充后的列聯(lián)表如下，短潛伏者長潛伏者合計60歲及以上907016060歲以下6080140合計150150300則的觀測值為，經(jīng)查表，得，所以有97.5%的把握認(rèn)為潛伏期長短與年齡有關(guān). （3）由題意知所需要的試驗費用x所有可能的取值為1000，1500，2000，因為，（或）所以x的分布列為x100015002000p（元）.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、獨立性檢驗、隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，屬于中檔題21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若不等式恒成立，求的最小值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)

21、）.【答案】（1）當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，極大值為，無極小值（2）-1【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性，得極值，需分類討論（2）恒成立，設(shè)，求出的最大值，由得出滿足的不等關(guān)系，然后得，求得的最小值即得結(jié)論【詳解】（1）解，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值. 當(dāng)時，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，極大值為，無極小值. 綜上所述，當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，極大值，無極小值. （2）由可得，設(shè)，所以，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，所以不可能恒成立，當(dāng)時，由，得， 當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值， 所以，即，所以，令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最小值，即，所以的最小值為-1.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想解題關(guān)鍵是把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值