抽象函數(shù)的性質(zhì)問題解析

1、抽象函數(shù)的性質(zhì)問題解析抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個難點，也是近幾年來高考的熱點。考查方法往往基于一般函數(shù)，綜合考查函數(shù)的各種性質(zhì)。本節(jié)給出抽象函數(shù)中的函數(shù)性質(zhì)的處理策略，供內(nèi)同學(xué)們參考。1、 定義域：解決抽象函數(shù)的定義域問題明確定義、等價轉(zhuǎn)換。材料一：若函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域。解析：由的定義域為，知中的，從而，對函數(shù)而言，有，解之得：。所以函數(shù)的定義域為總結(jié)：函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍，求抽象函數(shù)的定義域的關(guān)鍵是括號內(nèi)式子的地位等同（即同一對應(yīng)法則后括號內(nèi)的式子具有相同的取值范圍），如本題中的與的范圍等同。2、 值域：解決抽象函數(shù)的值域問題定義域、對應(yīng)法則決定。材料二：若函數(shù)的值域為

2、，求函數(shù)的值域。解析：函數(shù)中定義域與對應(yīng)法則與函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)的值域也為?？偨Y(jié)：當(dāng)函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則不變時，函數(shù)的值域也不會改變。3、 對稱性：解決抽象函數(shù)的對稱問題定義證明是根本、圖象變換是捷徑、特值代入是妙法。材料三：設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（ ）A、直線對稱 B直線對稱 C直線對稱 D直線對稱解法一（定義證明）：設(shè)點是函數(shù)的圖象上的任意一點，則，關(guān)于直線的對稱點為，要使點在函數(shù)的圖象上，則，應(yīng)有，故，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱。解法二（圖象變換法）：由函數(shù)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)的圖象；由函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱得到函數(shù)的圖象，再向右平移1個

3、單位，得到的圖象。如圖所示，選D。解法三（特值代入法）：由已知可得點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，又點P、Q關(guān)于直線對稱，選D。總結(jié)：了解一些簡單結(jié)論對解題也是很有好處的。如：函數(shù)滿足，則函數(shù)的自對稱軸為；函數(shù)與的互對稱軸為，即4、 周期性：解決抽象函數(shù)的周期性問題充分理解與運用相關(guān)的抽象式是關(guān)鍵。材料四：設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)。證明：由的圖象關(guān)于直線對稱，得，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，則由周期函數(shù)的定義可知4是它的一個周期。總結(jié)：一般地，,均可斷定函數(shù)的周期為2T。5、 奇偶性：解決抽象函數(shù)的奇偶性問題緊扣定義、合理賦值。材料五：已知是定義在R上的

4、不恒為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足：。判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論。解析：令，則，得； 令，則，得；令，得，得因此函數(shù)為奇函數(shù)?？偨Y(jié)：賦值是解決多變量抽象函數(shù)的重要手段。6、 單調(diào)性：解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問題緊密結(jié)合定義、適當(dāng)加以配湊。材料六：設(shè)是定義在-1，1上的奇函數(shù)，且對于任意的，當(dāng)時，都有：。若，試比較與的大小。解析：，又，即。總結(jié)：本題實質(zhì)上是證明函數(shù)的單調(diào)性，有時也用到（或）來判斷。抽象函數(shù)的單調(diào)性，一般不用導(dǎo)數(shù)判斷。7、 可解性：由抽象式求解析式問題視為未知數(shù)，構(gòu)造方程（組）。材料七：設(shè)函數(shù)滿足，求。解析：以代，得，以代，得，+-得：所以 總結(jié)：在所給的抽象式中緊緊圍繞，將其余

5、的式子替換成，構(gòu)造一個或幾個方程，然后設(shè)法求解。8、 凹凸性：解決函數(shù)的凹凸性問題捕捉圖象信息，數(shù)形結(jié)合。材料八：如圖所示，是定義在0，1上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對0，1中任意的和，任意，恒成立”的只有（ ）A、 B、 C、 D、解析：令，則不等式變?yōu)?，可知函?shù)是一個凹函數(shù)，故只有正確，選A?？偨Y(jié)：函數(shù)的凹凸性在高中階段沒有專門研究，但也逐漸走入高考殿堂。總之，因為抽象函數(shù)密切聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等諸多性質(zhì)，加上本身的抽象性、多變性，使得抽象函數(shù)這一難點更加撲朔迷離。因此應(yīng)不斷挖掘隱含，靈活運用上述解題策略，定會收到良好的效果。課外練習(xí)：函數(shù)是定義域在0，1上的增函數(shù)，滿足且，在每個區(qū)間上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。（1）、求、及的值，并歸納出的表達(dá)式；（2）、直線，軸及的圖象圍成的圖形的面積為，記，求的表達(dá)式，并寫出其定義域和最小值。