向量算子（梯度、散度、旋度）與拉普拉斯算符的公式與定義整理-

1、向量算子【(nabla 表示向量微分算子?！坷绽顾惴荻?標(biāo)量化為矢量散度(矢量化為標(biāo)量旋度(矢量化為矢量數(shù)學(xué)解釋在向量微積分中,標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長最快的方向,梯度的長度是這個(gè)最大的變化率。同時(shí)也可以求出變化不是最快的那個(gè)方向上的倒數(shù),梯度點(diǎn)積該方向上的向量即可。散度是向量分析中的一個(gè)向量算子,將向量空間上的一個(gè)向量場(chǎng)(矢量場(chǎng)對(duì)應(yīng)到一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)上。散度描述的是向量場(chǎng)里一個(gè)點(diǎn)是匯聚點(diǎn)還是發(fā)源點(diǎn),形象地說,就是這包含這一點(diǎn)的一個(gè)微小體元中的向量是“向外”居多還是“向內(nèi)”居多。旋度是向量分析中的一個(gè)向量算子,可以表示三維向量場(chǎng)對(duì)某一點(diǎn)附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)

2、程度。這個(gè)向量提供了向量場(chǎng)在這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。旋度向量的方向表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)附近旋轉(zhuǎn)度最大的環(huán)量的旋轉(zhuǎn)軸,它和向量旋轉(zhuǎn)的方向滿足右手定則。拉普拉斯算子有許多用途,此外也是橢圓型算子中的一個(gè)重要例子。在物理中,常用于波方程的數(shù)學(xué)模型、熱傳導(dǎo)方程以及亥姆霍茲方程。在靜電學(xué)中,拉普拉斯方程和泊松方程的應(yīng)用隨處可見。在量子力學(xué)中,其代表薛定諤方程式中的動(dòng)能項(xiàng)。在數(shù)學(xué)中,經(jīng)拉普拉斯算子運(yùn)算為零的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù);拉普拉斯算子是霍奇理論的核心,并且是德拉姆上同調(diào)的結(jié)果。物理解釋考慮一座高度在點(diǎn)是的山。這一點(diǎn)的梯度是在該點(diǎn)坡度(或者說斜度最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。散度是通量的體密度物理

3、上,散度的意義是場(chǎng)的有源性。某一點(diǎn)或某個(gè)區(qū)域的散度大于零,表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)或這一區(qū)域有新的通量產(chǎn)生,小于零則表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)或區(qū)域有通量湮滅。散度等于零的區(qū)域稱為無源場(chǎng)或管形場(chǎng)。就是的環(huán)量面密度(或稱為環(huán)量強(qiáng)度。旋度是向量場(chǎng)的一種強(qiáng)度性質(zhì),就如同密度、濃度、溫度一樣,它對(duì)應(yīng)的廣延性質(zhì)是向量場(chǎng)沿一個(gè)閉合曲線的環(huán)量。如果一個(gè)向量場(chǎng)中處處的旋度都是零,則稱這個(gè)場(chǎng)為無旋場(chǎng)或保守場(chǎng)相關(guān)概念通量環(huán)量: 記法=或 三維直角坐標(biāo)系柱坐標(biāo)球坐標(biāo)線性法則 乘積法則 商法則高斯散度定理:對(duì)某一個(gè)體積內(nèi)的散度進(jìn)行積分,就應(yīng)該得到這個(gè)體積內(nèi)的總通量。斯托克斯定理:在歐氏3維空間上的向量場(chǎng)的旋度的曲面積分和向量場(chǎng)在曲面邊界上的線積分之間建立了聯(lián)系。具體就是,向