天體運動問題的基本模型與方法

1、天體運動問題的基本模型與方法 天體運行問題的分析與求解， 與求解的關鍵是建模能力。一、基本模型 計算天體間的萬有引力時，是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運用,問題的分析將天體視為質點，天體的全部質量集中于天體的中心；一天研究天體的自轉運動時，將天體視為均勻球體。體繞另一天體的穩(wěn)定運行視為勻速圓周運動；二、基本規(guī)律1.天體在軌道穩(wěn)定運行時，做勻速圓周運動，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。設質量為m的天體繞質量為 M的天體，在半徑為r的軌道上以速度 v勻速圓周運動，由牛頓第二定律及萬有引力定律有:就是分析與求解天體運行問題的基本關系式，由于有線速度與角速度關系

2、2?r0 二與周期關系,這一基本關系式還可表示為：宀 Mm* 2tt.Lt二 rar 或2.在天體表面,物體所受萬有引力近似等于所受重力。設天體質量為M半徑為R其表面的重力加速度為g,由這一近似關系有:GM卞=噸，即汁茁。這一關系式的GM應用，可實現天體表面重力加速度 g與的相互替代，因此稱GM丈為“黃金代換”。3 .天體自轉時，表面各物體隨天體自轉的角速度相同，等于天體自轉角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力'丄：二 最大。對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：E，式中N為天體表面對物體的支持力。如果天體自轉角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，“甩”出的臨

3、界條件是:N=0,此時有:人，由此式可以計算天體不瓦解所對應的最大自轉角速度；如果已知天體自G轉的角速度，由 匸弊二曲/ M = -p及*可計算出天體不瓦解的最小密度。三、常見題型1 .估算天體質量問題由關系式亠 可以看出，對于一個天體，只要知道了另一天體繞它運行的軌道半徑及周期，可估算出被繞天體的質量。例1.據媒體報道，嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道，軌道高200km,運行周期為127分鐘。若還知道引力常量和月球半徑，僅利用以上條件不能求出的是A. 月球表面的重力加速度B.月球對衛(wèi)星的吸引力C.衛(wèi)星繞月運行的速度D.衛(wèi)星繞月運行的加速度解析：設月球質量為 M半徑為R,月面重力加速度為 g,

4、衛(wèi)星高度為h,運行周期為T, 線速度為v,加速度為a,月球對衛(wèi)星的吸引力為F。對于衛(wèi)星的繞月運行，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：二用（R十肋（竺-，由此式可求知月球的質量GMg M。由“黃金代換”有：二,2玳R+捫V 二由這兩式可求知月面重力加速度 g。由線速度的定義式有：了，由此式可求知GMmy 二 ma衛(wèi)星繞月運行的速度。 由萬有引力定律及牛頓第二定律有：丁,由此式可求知繞月運行的加速度。由萬有引力定律有：1 ，由于不知也不可求知衛(wèi)星質量 m因此，不能求出月球對衛(wèi)星的吸引力。故，本題選Bo2 .估算天體密度問題若已知天體的近“地”衛(wèi)星（衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑）的運行周期，可以估算出天

5、體的密度。例2天文學家新發(fā)現了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，質量是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量 G=6.67 x 10-11N- m/kg2,由此估算該行星的平均密度約為333343A. 1.8 x 10 kg/mB. 5.6 x 10 kg/mC. 1.1 x 10 kg/ mD. 2.439x 10 kg/mMm”斗 “rG =泗咫 ）Af = 一 7K解析：對于近地衛(wèi)星饒地球的運動有：，而; ，代入已知數據解得：P =2.9 x 104kg/m3。本題選D3 .運行軌道參數問題對于做圓周運動的天體，若已知它的軌道半徑，可以計

6、算它的運行線速度、角速度、周期等運行參數，并且可以看出，這些參數取決于軌道半徑。例3 最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運動一周所用的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100陪。假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數據可以求出的量有A.恒星質量與太陽質量之比B 恒星密度與太陽密度之比C.行星質量與地球質量之比D .行星運行速度與地球公轉速度之比解析：由萬有引力定律和牛頓第二定律有:，解得：二由題意可知，能求出恒星質量與太陽質量之比。由 及題意可知，能求出行星運行速度與地球公轉速度之比。本題選 AD。4 .

7、人造地球衛(wèi)星問題人造衛(wèi)星運行軌道的中心與地球球心重合。同步通信衛(wèi)星的軌道與赤道平面重合，運行的角速度（或周期）與地球的自傳角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地衛(wèi)星的軌 道半徑與地球半徑相等。例4.已知地球半徑為 R,地球表面重力加速度為 g,不考慮地球自轉的影響（1）推導第一宇宙速度 vi的表達式；（2） 若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h,求衛(wèi)星的運行周期解析：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度。設衛(wèi)星的質量為m地球的質量宀MmG7-=啊為M在地球表面附近滿足匸” -，衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引G 二杭丄rr力，即，解得（2）對于衛(wèi)星繞地球的運動

8、，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：ri Mm _2衛(wèi)+初T=（尺我廠盼幻，而,解得：5 g例5某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽 照射的此衛(wèi)星。試問春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R地球表面處的重力加速度為g,地球自轉周期為 T,不考慮大氣對光的折射。圖1解析：如圖1所示，E為地球赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，0表示地心。由圖知春分那天日落后，當衛(wèi)星由位置 S運動到S位置過程中，恰好處于地球的陰影區(qū)域， 衛(wèi)星無法反射陽光，觀察者看不到衛(wèi)星。設地球質量、衛(wèi)星質量分別為m m衛(wèi)星軌道及地球半徑分Cr=籾

9、叫）別為r、R由萬有引力定律及牛頓第二定律有：丁 ，由幾何關系有：”三工F二一：，觀察不到衛(wèi)星的時間為:，在地球表面有：'。解得:7 一4打牛?律t - ji csiiiC)'。5“相遇”問題若某天體有兩顆軌道共面的衛(wèi)星，從某次它們在天體中心同側與天體中心共線（兩衛(wèi)星相距最近）到下次出現這一情形的時間與兩衛(wèi)星角速度間滿足關系：（對叫）血=2顧，舟三123。例6如圖2所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星 B的圓形軌道位于赤道平面內，離 地面高度為 h。已知地球半徑為 R地球自轉角速度為 3。，地球表面的重力加速度為 g, O 為地球中心。（2）由題意應有：'一一：-,而，由

10、于衛(wèi)星A是同步衛(wèi)星，故:（1）求衛(wèi)星B的運行周期。（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻 A B兩衛(wèi)星相距最近（O B、A在 同一直線上），則至少經過多長時間，它們再一次相距最近？解析：（1）對衛(wèi)星B繞地球的運行，由萬有引力定律和牛頓第二定律有：G謄廠噸+佯&轡=池 入十糾'衛(wèi)，在地面有：，解得：At 二- 一，解得:6 .外星上的物理問題若已知某天體的半徑及質量，由黃金代換式可求出天體表面的重力加速度，此后可運用有關物理規(guī)律求解在外星表面的進行的與重力加速度有關的物理問題。這類問題的另一形式是由運動學公式，根據運動量求解出天體表面的重力加速度，然后由黃金代換式及基本

11、關系式求解天體的其它參量。例7在“勇氣號”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經過多次 彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h,速度方向是水平的，速度大小為V。,求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r,周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞。的均勻球體。解析：以M表示火星的質量，m表示火星表面處某一物體的質量，以g表示火星表面附近的重力加速度，由于在火星表面的重力等于火星對它的萬有引力，故有：；以冷m表示火星的衛(wèi)星的質量，由萬有引力定律和牛頓第二定律有：rT設著陸器第二次落到火星表面時的速度為V,它

12、的豎直分量為 V1,則水平分量仍為 Vo,由于著陸器第一次反彈后在最高點時的豎直分速度為零,解以上各式解得7 .變軌問題飛船或衛(wèi)星從地面發(fā)射時，一般先將其發(fā)射到距地球較近的軌道上做圓周運動， 再在適 當位置實施變軌，使其離開原來的圓周軌道，在半長軸較大的橢圓軌道運動， 當運行至橢圓 軌道的遠地點時再次實施變軌， 使其在以橢圓半長軸為半徑的圓軌道上做圓周運動， 這個軌 道就是飛船或衛(wèi)星的穩(wěn)定運行或工作軌道。還有一類變軌問題： 在某確定軌道（半徑一定）上圓周運動的衛(wèi)星，由于某種原因的影響，若速度發(fā)生了變化，由基本關系式=m八出:可以得出:GM由此可以看出，當衛(wèi)星速度變化時，軌道半徑隨之變化。例8.

13、 2008年9月25日至28日我國成功實施了 “神舟”七號載人航天飛行并實現了航天員首次出艙。如圖3所示，飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為 343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是：A.飛船在變軌前后的機械能相等A錯；飛船在圓軌道B對；飛船在此圓軌271赤道半徑是 R,對于中子星赤道上質量為m的部分物質，有關系式M二農二？品戸而，代入數據解得:B. 飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)C. 飛船在此圓軌道上運動的角速度大于同步衛(wèi)星運動的角速度D. 飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后圓軌道運動的加速

14、度 解析：飛船變軌前后，由于推進火箭的做功，飛船的機械能不守恒，上運動時時萬有引力來提供向心力，航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)，道上運動的周期 90分鐘小于同步衛(wèi)星運動的周期 24小時，根據 $可知，飛船在此圓 軌道上運動的角度速度大于同步衛(wèi)星運動的角速度，C對。飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時只有萬有引力來提供加速度，變軌后沿圓軌道運動也是只有萬有引力來提供加速度，沿兩軌道運動經過該點時，所受萬有引力相等，有牛二定律知加速度相等，D錯。本題選BCo8自轉天體不瓦解問題天體自轉時，天體表面的各部分隨天體做勻速圓周運動，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上質量為 Am的一部分將離未離天體的臨界條件是：

15、天體對該部分的支持力為零。 此時G r =對Am這部分運用萬有引力和牛頓第二定律有：£或&業(yè)二脅因竺）-,若已知天體的質量和半徑或天體的平均密度，可求出天體自轉的最 大角速度；若已知天體的最大自轉角速度或最小周期，可求出天體的最小平均密度。例9中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大。現有一中子星，觀測到它Is的自轉周期為工。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉而瓦解？計算時星體可視為均勻球體。 解析：設中子星的質量為 M9 雙星問題天文學上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點做圓周 運動的天體稱為雙星。雙星運行中，兩

16、星體間的萬有引力提供每個星體圓周運動的向心力， 兩天體的周期、角速度相等。例10.天文學家將相距較近，僅在彼此的引力作用下運行的兩顆行星稱為雙星。雙星系 統(tǒng)在銀河系中很普遍。 利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運行特征可推算出他們的總質量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞他們連線上某一固定點分別作勻速圓周運動，周期為T,兩顆恒星之間的距離為r,試推算這個雙星系統(tǒng)的總質量。解析：設兩星的質量分別為 m、m,軌道半徑分別為ri、2,運行周期為T。對m的運G丁 =G忑=）行有：（尸1 +弓）廠，對m的運行有：（勺+尸?）T ，依題意有:4護盧丄楓-亠I '。解以上三式得：雙星系統(tǒng)的總質量為10 .黑洞問題

17、宇宙空間的大質量恒星演化到末期，在其自身引力作用下發(fā)生急劇塌縮，形成密度極大，引力場特強的特殊星體。它的引力場強得使外界物質也只能進入星體內而不可能逃離，就連射向它的光線也只能乖乖被俘無法反射，看上去它就像宇宙中的無底洞，天文學上稱這類星體叫黑洞。若取無限遠處為引力勢能的零位置，在它的引力作用范圍內，物體的引力勢能總是負值。例11. 2008年12月，天文學家們通過觀測的數據確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A”的質量與太陽質量的倍數關系。研究發(fā)現。有一星體S2繞人馬座A做橢圓運動，其軌道半2長軸為9.50 X 10天文單位（地球公轉軌道的半徑為一個天文單位），人馬座A就處在該橢圓的一個焦點上。觀測到S2星的運行周期是15.2年。（1）若將S2星的運行軌道視為半徑 r=9.50：102天文單位的圓軌道。試估算人馬座A的質量M是太陽質量 M的多少倍（結果保留一位有效數字）；（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不 足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質量為 m的粒子具有的勢能為（設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零），式中M R分別表示黑洞的質量和O半徑。已知引力常量 G=6.7 ： 10-11Nm2/kg2，光速 c=3.0，108m