(完整版)小學奧數(shù)知識點及公式總匯(Paul)

1、小學奧數(shù)知識點及公式總匯（必背）1和差倍問題 32年齡問題的三個基本特征： 33歸一問題的基本特點： 34植樹問題 35雞兔同籠問題 36盈虧問題 47牛吃草問題 48周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 59平均數(shù) 510抽屜原理 511定義新運算 612數(shù)列求和 613二進制及其應(yīng)用 614加法乘法原理和幾何計數(shù) 715質(zhì)數(shù)與合數(shù) 716約數(shù)與倍數(shù) 817數(shù)的整除 818.余數(shù)及其應(yīng)用 919余數(shù)、同余與周期 920分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用 1021分數(shù)大小的比較 1122.分數(shù)拆分 1123完全平方數(shù) 1224比和比例 1225綜合行程 1226工程問題 1327邏輯推理 1328幾何面積 1429立體圖形 1

2、430時鐘問題 快慢表問題 1431時鐘問題 鐘面追及 1532濃度與配比 1533經(jīng)濟問題 1534簡單方程 1635不定方程 1636循環(huán)小數(shù) 17* 1至 30的平方 17* 世界上最神奇的數(shù)字是 1 除以 7 的循環(huán)節(jié)： 142857 17* 數(shù)學小故事：神奇美妙的“9 .” 18九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡 20* 缺 8 數(shù) 12345679實際上與循環(huán)小數(shù)是一根藤上的瓜，因為： 22缺 8 數(shù)的精細結(jié)構(gòu)引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到： 22差等于 9 的算術(shù)級數(shù)時，出現(xiàn) “走馬燈 ”的現(xiàn)象。例如： 23一以貫之 23輪流休息 23三位一體 24清一色 24速算公式 25

3、301 .和差倍冋題和差冋題和倍問題差倍問題已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式 和差）十2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù) （和+差）-2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù)和-較大數(shù)二較小數(shù)和*（倍數(shù)+ 1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù)差* （倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)+差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2.年齡問題的三個基本特征: 兩個人的年齡差是不變的； 兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的; 兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3.歸一問題的基本特點:問題中有一個不變的量，

4、一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度” 詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4.植樹問題基本 類型在直線或者不封閉的 曲線上植樹，兩端都 植樹在直線或者不封閉的 曲線上植樹，兩端都不 植樹在直線或者不封閉的 曲線上植樹，只有一端 植樹封閉曲 線上植 樹基本 公式棵數(shù)=段數(shù)+ 1 棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)我數(shù)1 棵距X段數(shù)二總長棵數(shù)=段數(shù) 棵距X段數(shù)=總長關(guān)鍵 問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5.雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為 置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來; 基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： 假設(shè)后

5、，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少； 每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因； 再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。基本公式： 把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)） 十（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)） 把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)） 十（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題 基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組， 又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于 分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，

6、根據(jù)這 個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量基本題型： 一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）*兩次每份數(shù)的差 當兩次都有余數(shù)；基本公式： 總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）*兩次每份數(shù)的 差 當兩次都不足；基本公式： 總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）寧兩次每份數(shù) 的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的 。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草 量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c：原草量和新草生長速度是不變的； 關(guān)鍵問題：確定兩個不變

7、的量。基本公式：生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）十（長時間-短 時間）；總草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。 周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有 366 天； 年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除； 平年：一年有 365 天。 年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)量*總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量*平均數(shù) 平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基

8、準數(shù)差的和寧總份數(shù)基本算法： 求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進行計算. 基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接 近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；再求出所 有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的 平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式10抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有 2 個物體。例：把 4 個物體放在 3 個抽屜里，也就是把 4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種 情況： 4=4+0+04=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 觀察上面四

9、種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有 2個或 多于 2 個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有 2 個物體。抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m那么必有一個抽屜至少有： k=n/m +1個物體：當n不能被m整除時。 k=n/m個物體：當n能被m整除時。理解知識點：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ； 關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行 運算。11定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。 基本思路：嚴格按照新定義

10、的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然 后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。注意事項：新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。 每個新定義的運算符號只能在本題中使用。12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中， 任意相鄰 兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù) 列?；靖拍睿菏醉棧旱炔顢?shù)列的第一個數(shù)，一般用 a1 表示； 項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用 n 表示； 公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用 d 表示； 通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用 an 表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用 Sn表示. 基本思路：等

11、差數(shù)列中涉及五個量： a1 ,an, d, n, sn, 通項公式中涉及四個量，如果 己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以 求這第四個?；竟剑和椆剑篴n = a1+ （n-1） d；通項=首項+（項數(shù)一 1） x公差； 數(shù)列和公式：sn,= （a1+ an） x n*2；數(shù)列和=（首項+末項）x項數(shù)* 2； 項數(shù)公式：n= （an+ a1） *d+ 1;項數(shù)=（末項-首項）*公差+ 1 ； 公差公式：d = （an-a1）*（ n-1）；公差=（末項首項）*（項數(shù)1）； 關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13 二進制及其應(yīng)用十進制：用

12、09十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位 上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2x 102+3x 10+4。=AnX 10n-1+An-1 x 10n-2+An-2 x 10n-3+An-3 x 10n-4+An-4 x 10n-5+An-6 x 10n-7+A3x 102+A2x 101+A1x 100注意：N0=1; N1 =N （其中N是任意自然數(shù)） 二進制 ：用 01 兩個數(shù)字表示，逢 2 進 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（ 2） = Anx 2n-1+An-1 x 2n-2+An-2x 2n-3+An-3

13、x 2n-4+An-4x 2n-5+An-6x 2n-7+A3x 22+A2x 21+A1x 20注意： An 不是 0 就是 1 。十進制化成二進制： 根據(jù)二進制滿 2 進 1 的特點，用 2 連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的 余數(shù)按自下而上依次寫出即可。 先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的 2的n次方， 依此方法一直找到差為 0，按照二進制展開式特點即可寫出。14加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有 ml種不同方法，在第二 類方法中有m2種不同方法 ，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù) 共有：

14、m1+ m2 +mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。 基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1 步用哪一種方法，第2步總有m2種方法 不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有 mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有： mix m2 x mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。 基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。 直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。 直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。 線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。

15、 射線特點：只有一個端點；沒有長度。 數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+ （點數(shù)一 1）; 數(shù)角規(guī)律=1+2+3+ （射線數(shù)一 1）; 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)： 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1x 1+2X 2+3X 3+行數(shù)x列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。 合數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù) ：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù) ：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分 解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解

16、質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<van。求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(r1+1) x (r2+1) x (r3+1) x x (rn+1) 互質(zhì)數(shù) ：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù) ：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù) 的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì) ：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的

17、最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù) m所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12的約數(shù)有 1、 2、 3、 4、 6、 12；18 的約數(shù)有： 1 、 2、 3、 6、 9、 18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1、 2、 3、 6；那么 12 和 18最大的公約數(shù)是： 6，記作( 1 2， 1 8) =6； 求最大公約數(shù)基本方法 ：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大 公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍

18、數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù) 的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48;18的倍數(shù)有：18、36、54、72;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，記作12， 18=36； 最小公倍數(shù)的性質(zhì) ：1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法： 1、短除法求最小公倍數(shù)； 2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那 么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、 常

19、用符號：整除符號“,不能整除符號“”;因為符號“” ,所以的符號“” ;二、整除判斷方法：1. 能被 2、 5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、 5 整除。2. 能被 4、 25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、 25 整除。3. 能被 8、 125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8、 125整除。4. 能被 3、 9 整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、 9 整除。5. 能被 7 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的

20、數(shù)之差能被11 整除。 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除。7. 能被 13 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)

21、a、b、q、r，如果使得a* b=qr，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)： 余數(shù)小于除數(shù)。 若 a、 b 除以 c 的余數(shù)相同，則 c|a-b 或 c|b-a 。 a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。 a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19余數(shù)、同余與周期一、同余的定義 ： 若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余 已知三個整數(shù)a、b、m 如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a= b(mod m),讀作a同余于b模m二、同余的性質(zhì) ：

22、自身性： a=a(modm)； 對稱性：若 a= b(modm)貝U b= a(modm)； 傳遞性：若 a= b(modm) b=c(modm),貝U a= c(modm)； 和差性：若 a= b(mod m), c=d(mod m),貝U a+c= b+d(modm), a-c = b-d(mod m)； 相乘性：若 a= b(modm), c=d(modm),貝U ax c= b x d(modm)； 乘方性：若 a= b(modm)貝U an三bn(modm； 同倍性：若 a= b(mod m)，整數(shù) c,貝U ax c= b x c(modnx c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識： 若 A

23、=ax b,貝U MA=MXb= (Ma b 若 B=c+d則 MB=Mc+d=MfcMd四、被 3、 9、 11 除后的余數(shù)特征： 一個自然數(shù)M n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則 M n(mod 9)或(mod 3)； 一個自然數(shù)M X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，丫表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù) 字的和，貝U MY-X 或 姑 11- (X-Y) (mod 11)；五、費爾馬小定理 ：如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1 = 1(mod p)。20分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)： 分數(shù)：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母

24、同時乘以或除以相同的數(shù)( 0 除外)，分數(shù)的大小不變。 分數(shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。 常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。 對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。 轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換 成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標準(在分數(shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化 成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。 假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假 設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果

25、，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如A、分量發(fā)生變化，總量不變何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明 朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21. 分數(shù)大小的比較基本方法： 通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較。 通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分

26、數(shù)大小和分子的關(guān)系比較。 基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。 分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越 大。 倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法 外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律) 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分數(shù)的值)后進行比較。 倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。 大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。 倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。22. 分數(shù)拆

27、分將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：圧括號內(nèi)填入不同的自憨數(shù)，使等式成立丄_ 11巨+C1 - 11,1|12= + +F3第一題你要拆1/12 (也就是1/A) 先列出12的約(因)數(shù)：1、2、3、4、6、12 隨便選兩個約數(shù) 分為a1 a2 這里我選3、4公式：1/A=A- a1x( a1+a2) /1+ A - a2x( a1+a2) /1 套入公式：1/12=12 - 3X( 3+4) /1+ 12 -4X( 3+4) /1 最后等于：1/12=1/28+1/21第二題就像上面的一樣套入公式計算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了。答案是：1/21+1/84+1/4223完全

28、平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。 平方差公式： X2-Y2=（ X-Y）（X+Y） 完全平方和公式： （X+Y）2= X2+2XY+Y2 完全平方差公式： （X-Y）2= X2-2XY+Y224比和比例比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。 比號前面的數(shù)叫比的前項， 比號后面的數(shù)叫比的后

29、項。 比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。 比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。 a:b=c:d 或 比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積 （交叉相乘 ） ，ad=bc。正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正 比。反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B 成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一定 比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程 基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的 關(guān)

30、系.基本公式：路程=速度X時間；路程十時間=速度；路程十速度=時間 關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間二路程差十速度差（寫出其他公式） 流水問題：順水行程=（船速+水速）X順水時間 逆水行程=（船速-水速）X逆水時間 順水速度 =船速 +水速 逆水速度 =船速-水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）* 2 水速=（順水速度-逆水速度）* 2 流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。 過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。 主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程 （相遇路程、追及路程）、 時間（相

31、遇時間、追及時間）、速度 （速 度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26工程問題基本公式：工作總量=工作效率X工作時間 工作效率二工作總量十工作時間 工作時間=工作總量十工作效率 基本思路： 假設(shè)工作總量為“ 1”（和總工作量無關(guān)）； 假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍 數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間 . 關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。 經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介： 條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷， 如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該

32、假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成 立的。例如，假設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么 a 一定是奇數(shù)。 條件分析一列表法：當題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進 行列表來輔助分析。 列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中， 表格的行、 列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。 條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個 對象之間的關(guān)系， 有連線則表示 “是，有”等肯定的狀態(tài)， 沒有連線則表示否定的狀態(tài)。 例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。 邏輯計算：在推

33、理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應(yīng)的 計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。 簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法， 并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28 幾何面積基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、 旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需 要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在

34、特殊位 置上）。4. 利用特殊規(guī)律 等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積） 梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。 圓的面積占外接正方形面積的 78.5%。29 立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體J8個頂點；6個面；相對的面相等；12條棱；相對的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方體8個頂點；6個面；所有面相等；12條棱；所有棱相等；S=6$V=ai圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面 展開后是長方形；S=S側(cè)+2S底S 側(cè)=ChV=Sh圓錐體A下底是圓；只有一個頂點；1:母線， 頂點到底圓周上任意一點的距離；S=S側(cè)+S底S

35、 側(cè)=rlV=Sh球體圓心到圓周上任意一點的距離是 球的半徑。S=4r2V=r330 時鐘問題一快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題;2、不同的表當成速度不同的運動物體；3、路程的單位是分格（表一周為 60 分格）；4、時間是標準表所經(jīng)過的時間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31時鐘問題鐘面追及 基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法： 分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成 60 小格，每小格我們稱為 1 分格。分針每小時走 60 分 格，即一周；而時針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時針每分鐘走 112

36、分格。 度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是 360°，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60 度，即 6°，時針每 分鐘轉(zhuǎn) 360/12*60 度，即 1/2 度。32濃度與配比 經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和 他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。 溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。 溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?=溶質(zhì)重量 +溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量X濃度；濃度=（溶質(zhì)/溶液）X 100%溶劑二溶液x（ 1-濃度） 理論部分小

37、練習：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。 經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和 他們濃度的變化成反比。33經(jīng)濟問題利潤的百分數(shù)=（賣價-成本）十成本X 100%賣價=成本x（ 1+利潤的百分數(shù)）；成本=賣價*（ 1+利潤的百分數(shù)）； 商品的定價按照期望的利潤來確定；定價=成本X（ 1+期望利潤的百分數(shù)）；本金：儲蓄的金額； 利率：利息和本金的比； 利息二本金X利率X期數(shù)； 含稅價格=不含稅價格X（ 1+增值稅稅率）；34簡單方程代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。 方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號

38、連起來。 列方程關(guān)鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。 等式性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個 數(shù)（除 0），等式不變。移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊； 移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。 加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運算 符號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“ +”或“”的，都按有“ +”處理。 移項關(guān)鍵問題：運用等式的性質(zhì)，移項規(guī)則，加、去括號規(guī)則。乘法分配率： a（b+c）=

39、ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；求解； 方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。35不定方程一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一， 所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一； 多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就 把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 涉及知識點：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：

40、 1、列方程； 2、消元； 3、寫出表達式； 4、確定范圍； 5、確定特 征； 6、確定答案；技巧總結(jié)：A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同 時考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；B消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；36.循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分數(shù)的規(guī)則 純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位 都是9, 9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。 混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9, 9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，

41、末幾位是0，0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。二、分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法： 一個最簡分數(shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù) 2和5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么 這個分數(shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。 一個最簡分數(shù)，如果分母中只含有 2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必 定是純循環(huán)小數(shù)。*1至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=36120*20=

42、40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130*30=900世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：142857142857X1 =142857142857 X 2 = 285714142857X 3 = 428571它神奇在哪里呢?1/7=0.142857 142857 1428571、我們把它從 1乘到6看看1f 4 28572 8571 44 2857 1142857 X 4 = 571428 5| 71|428142857 X 5 = 7142857 | 1428

43、5142857 X 6 = 8571428517 142同樣的6個數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復(fù)出現(xiàn)。2、我們從1乘到6除以7看看1/7=0.1428572/7=0.2857143/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1, 3, 5分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前移。2, 4, 6分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。3 、那么把它乘以7是多少呢？我們會驚人的發(fā)現(xiàn)是 9999994、142+857=999 14+28+57=99 1+4+2+8+5+7=9+9+95、我們用142857乘以14

44、2857=20408122449前五位+上后六位的得數(shù)是多少呢？20408 + 122449 = 142857“ 142857”發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它確實是一組神奇的數(shù)字。*數(shù)學小故事：神奇美妙的“ 9九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、 “九重”、“九霄”；將地劃為“九州”、“九域 ”；將宗廟稱為“九廟”；道路謂之 “九陌”；山有“九崇”；水曰“九河”；地有“九泉”；人分“九級”；官為“九品”。在古樂古詩中有九辯、九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位； 作為一個數(shù)學愛好者，應(yīng)該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊意。易經(jīng)上說，九數(shù)含有吉祥

45、的意思，如果按照“陰陽”來說，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為 陰，而九是陽數(shù)中最大的，稱為“極陽數(shù)”。十是一個完美的數(shù)字，而九接近十而不到 十，具有很強的傾向性，一位數(shù)字只有十個，而九是最大的一個，故為數(shù)字之極，寓義 崇高。也許，就是這個原因，九有其最多的奇妙特點，最多的趣味性質(zhì)。九有一個非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒有的。如果要求一個自然數(shù)除以九的余 數(shù)，則只要將這個數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，則再將這個和的各位 數(shù)字相加，最后所得的一位數(shù)，就是這個自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這一奇妙特點，總 使數(shù)學愛好者十分著迷，許多趣味數(shù)學游戲，都與九的這一規(guī)律有關(guān)。數(shù)學老師常用“湊 九”法驗算學生的算式是

46、否有誤，而“湊九”法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位 數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個非常和諧圓滿的數(shù)系。八位數(shù)12345679,如果將它同九相乘，奇怪的很，其積竟是全由1組成的數(shù)字111111111；如再乘18（九的2倍），可得九個2,乘27（九的3倍），可得九個3，直 到乘81,就可以得到九個9.這種整齊統(tǒng)一的特點，給人以多么美妙的印象啊！也許有人 要問為什么把8去掉，填上會有規(guī)律嗎？若把7、8都去掉，或把& 7、8都去掉，仍用 九去乘，還有規(guī)律嗎？答案是肯定的。九這個數(shù)字就是這么神奇，我們來看下列算式：9X9=8119X9=171129X9=11616=1+5123

47、9X9=111515-1+412349X9=1111414=1+3123459X9=11111313=1+21234569X111111212=1+112345679X9-1111111111=1+01234&678? X 1111111101縱觀上面九個算式，不僅算式的結(jié)果很有規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個算 式到第九個算式的變化，更能顯示出奇妙無比的秩序美。如果你隨便找來一個兩位以上的自然數(shù)，比如是317,將此數(shù)打亂，變成173、731、713吧，我們現(xiàn)在求出新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會有什么結(jié)論？這些差144、414、396竟然全是九的倍數(shù)。在這里，無論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的

48、順序，都是多么的隨心所 欲??！可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個 兩位以上的數(shù)，比方418,先將它的各位數(shù)字之和求出；用原數(shù)減去其數(shù)字之和 （418-18），其差405也是九的倍數(shù)。下列算式的確是種簡明的公式： 100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b ，公式的結(jié)果竟然是 一個常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是 4 位、5 位，是否還有規(guī)律呢 ?我們敢于肯定 地說，九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無論是多少位，九的統(tǒng)一美的光芒定會時時閃耀。九是一個神奇的反序數(shù)，在算式1089X 9=9801中可知，九乘某一個數(shù)字，能使其 順序正好顛倒過來。從算式123456

49、789X 8+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使 其順序顛倒 ;九也是一個神圣的自補數(shù) ，因為 92=81， 1+9=10;992=9801， 1+99=102;9992=998001，1+999=103;又 99X47=4658,而 53+47=102 999X 321=320679，而 670+321=103，九又是一個神秘的自生數(shù)， 93=729，993=970299， 9993=997002999;九也是一個奇妙的再植數(shù) ，從算式 109890X 9=989010中看出， 9竟然 將這個數(shù)的最高兩位變成最低兩位。 九還是有趣的勾股數(shù) 中不可缺少的成員： 2+402=412

50、、92+122=152、而 40+41=92、12+15=33=3X 9.啊! 九的奇特，操縱著無數(shù)數(shù)學 運算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術(shù)師。在除法中，九的奇異也使人迷戀。看下列等式： 1/9=0.111 ， 2/9=0.222 ， 8/9=0.888 ，多有規(guī)律啊 ! 在化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)時， 九又是大顯神手， 10是完美的數(shù) 字，對于 10， 9和 11 是對稱的， 這種對稱下也隱藏著許多秘密： 1/11=0.09 ， 2/11=0.18 ， 3/11=0.27 ， 9/11=0.81 ， 10/11=0.90 ，真巧，分母含 11 的倍數(shù)，化成循環(huán)小數(shù)， 其循環(huán)節(jié)的兩個數(shù)竟然也是九的倍數(shù)

51、。九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡九的有趣性質(zhì)簡直是太多啦 ! 實在是舉不勝舉。這么獨特的數(shù)字，難怪人們特別喜 歡它，非常崇拜它。正值冬天時，人們不數(shù) 3，也不數(shù) 10，偏偏數(shù)九：“頭九不算九 ; 二九凍死狗 ; 三九、四九掩門喚狗 ; 五九、六九水走頭 ; 七九、八九河邊看柳 ; 九九又一九， 犁牛遍地走”。重陽節(jié)是雙九，人們十分重視這個節(jié)日，因為“九月九”家家有，此時 正是收獲的季節(jié)。唐代詩人孟浩然寫出“待到重陽日，還來就菊花”的詩句，至今一直被文人墨客所 稱道。用九來起名的我國古代數(shù)學家泰九韶，所著的書名是算術(shù)九章，而書中共分 九大類，每類又有九道題，他簡直是九的又一個崇拜者。過去北京的

52、許多建筑都和“九”這個數(shù)目有關(guān)。例如，北京城內(nèi)最早是九個城門， 天安門的城樓是九重樓，故宮四個角樓的結(jié)構(gòu)是九梁十八柱，皇家建筑物大門上的釘數(shù) 是縱九橫九，北海和故宮的九龍壁，都是九只龍，更有趣的是天壇有個歷代皇帝祭天的 地方，無論是潔白的石欄桿，或是圓臺上磨平的石塊，其數(shù)目都和九字有關(guān)。在改革之 年，我相信人們將會以九牛二虎之力，去九天 、到九州探寶，朝著九千九百九十九 的通天大路奮勇向前。九，這個數(shù)字王國中的明珠，它太神奇，太美妙啦 !得到人們最高的崇尚，最好的 贊揚，最多的欣賞，最有情感的偏愛?？雌饋?，它是一個很普通的數(shù)，只不過與完美的 數(shù)字 10 差 1，只不過是一個完全平方數(shù)， 只不過

53、是一個最大的個位數(shù)， 但恰恰就這點原 因，竟蘊藏著變幻無窮的秘密，在你隨時隨地的數(shù)字運算過程中，也許就會突然發(fā)現(xiàn)九 之規(guī)律所在，你會為此興奮不已，感嘆不盡?？赡阋?，你這也僅僅是在九的奇妙獨 特性質(zhì)的海岸上，拾到的一塊小小的貝殼而已 ! 要真正地全面了解九的神奇，九的美妙， 無論是那個數(shù)學愛好者，都必須進行艱苦的探索和頑強的鉆研。1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 =98123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876

54、543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 1 x 9 + 2 =11 12 x 9 + 3 =111 123 x 9 + 4 =1111 1234 x 9 + 5 =11111 12345 x 9 + 6 =111111 123456 x 9 + 7 =1111111 1234567 x 9 + 8 =11111111 12345678 x 9 + 9 =111111111 123456789 x 9 +10=1111111111 很炫，是不是？ 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111

55、 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 12345432 1111111 x 111111 = 1234565432 11111111 x 1111111 = 123456765432 111111111 x 11111111 = 12345678765432 1111111111 x 111111111 =12345678987654321 再看看這個對稱式9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 88888889876543 x 9 + 1 = 8888888898765432