(完整版)平面向量練習(xí)題集答案

1、平面向量練習(xí)題集答案典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例1】下列命題： 向量AB的長(zhǎng)度與BA的長(zhǎng)度相等； 向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； 兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同； 向量AB與向量CD是共線向量，則 A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號(hào)是.【解析】對(duì)；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯(cuò)；顯然錯(cuò)；AB與CD是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯(cuò).故是真命題的只有【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè) 反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式: |a|= , a?a

2、； (a?b) ? c= a? (b?c); OA OB = BA ；在任意四邊形 ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，貝U AB + DC = 2 MN ；a = (cos a, sin a,b= (cos B, sin 3，且 a 與 b 不共線，則(a+ b)丄(a b).其中正確的個(gè)數(shù)為(A.1D.4C.3B.2正確;【解析】選D.| a| =BA正確；如下圖所示,MN = MD + DC +CN 且 MN = MA + AB + BN ,兩式相加可得2MN = AB + DC，即命題正確;因?yàn)閍, b不共線，且|a|= |b|= 1，所以a+ b, a b為菱形的兩條對(duì)角線,

3、即得(a+ b)丄(a b).所以命題正確題型二 與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)M在線段DO上，且DM二丄DO，點(diǎn)N在線段OC上，且ON二丄OC ,設(shè)AB =a, AD =b,試用33a、b 表示 AM，An，MN .【解析】在？ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，1 1 1所以 DO = 2DB = 2（ AB AD ） = 0 b）, 1 1 1 AO = OC = 2 AC = 2（ AB + AD ） = 2（a+ b）. 1 ' 1 又 DM = 3 DO , ON = 3OC ,1 所以 AM = AD + DM = b +

4、3 DO1 115=b + 3（a b） = 6a + 6b,一. 一. 一 一- 1 一- AN = AO + ON = OC + §OC44 12=3OC = 3 >2（a + b） = 3（a + b）.所以 MN = AN AM2 1511=3（a+ b） （6a + 6b）= 2a 6»【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形【變式訓(xùn)練2】O是平面a上一點(diǎn)，A、B、C是平面a上不共線的三點(diǎn)，平面a內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =OA + % AB +

5、 AC），若 & 扌時(shí)，則 PA ? （ PB + PC ）的值為.【解析】由已知得OP OA = % AB + AC），1 一 1 即 AP = %AB + AC），當(dāng) %= 2 時(shí)，得 AP = 2（ AB + AC），所以 2AP = AB + AC，即 AP AB = AC AP，所以BP = PC，所以 PB + PC = PB + BP = 0，所以 PA ? (PB + PC) = PA?0 = 0,故填 0.題型三向量共線問題【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.若 AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),求證：A, B, D三點(diǎn)共線；

6、試確定實(shí)數(shù)k，使ka+ b和a + kb共線.【解析】(1)證明：因?yàn)?AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b),所以 BD = BC + CD = 2a + 8b + 3(a b) = 5(a + b) = 5 AB ,所以AB , BD共線.又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn) B,所以A, B, D三點(diǎn)共線.因?yàn)閗a + b和a + kb共線,所以存在實(shí)數(shù) 入使ka+ b= Xa + kb),所以(k Xa =(入1)b.因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量，所以k X=入k 1 = 0,所以k2 1 = 0,所以k=±.【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向

7、量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的 其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線【變式訓(xùn)練3】已知0是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn)，OA+2OB +3OC =0,則厶OAC的面積與厶OAB的面積之比是()A3A.2B.fC.2D-3【解析】如圖，在三角形 ABC 中， OA + 20B + 3 0C = 0，整理可得 0A + 0C + 2(0B + 0C )= 0.1令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為 E, BC邊的中點(diǎn)為F,則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的§處，即OE =

8、 2OF.1h h 1設(shè)三角形 ABC 中 AB 邊上的高為 h，貝U Sac= Szoae + Szoec = ?0E? §+ 2)= 2OE h,1 1 1Szoab= 2AB ?2h= 4AB h,由于 AB = 2EF , OE = EF，所以 AB= 30E ,1S8AC所以S/OABOE?h 21-AB?h42=3.故選B.總結(jié)提高1向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合）的情形，而向量平行則包括共線（即重合）的情形2判斷兩非零向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè) 向量表示出來3當(dāng)向量a與b共線同向時(shí),

9、|a+ b|= |a|+ |b|;當(dāng)向量a與b共線反向時(shí)，|a + b|= |a|b|;當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，|a+ b|v |a|+ |b|.典例精析題型一 平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】如圖？ABCD中,M,N分別是DC , BC中點(diǎn)已知AM =a, AN =b,試用a, b表示AB , AD與AC【解析】 易知AM = AD + DM1 - =AD +2AB,1 AN = AB + BN = AB + 2 AD ,1AD -AB a,即21 -AB AD b.22 2所以 AB = 3（2b a）, AD = 3（ 2a b）.2所以 AC = AB + AD = 3（a+ b）.【點(diǎn)撥

10、】運(yùn)用平面向量基本定理及線性運(yùn)算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運(yùn)用值得仔細(xì)領(lǐng)悟【變式訓(xùn)練1】已知D為/ ABC的邊BC上的中點(diǎn)， ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P,滿足PA + BP + CP=o,則LPD1等于（）|AD|11AB.C.1D.23 2PB + PC = 2PD，因【解析】由于D為BC邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知| PD |此結(jié)合PA + BP + CP = 0即得PA = 2PD，因此易得P, A, D三點(diǎn)共線且 D是RA的中點(diǎn)，所以 |AD|=1即選C.題型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 2】 已知 a= (1, 1), b = (x, 1), u

11、= a + 2b, v= 2a b.(1) 若 u = 3v,求 x; (2)若 u / v,求 x.【解析】因?yàn)閍= (1, 1), b= (x, 1),所以 u= (1 , 1) + 2(x, 1) = (1 , 1) + (2x, 2)= (2x+ 1, 3),v= 2(1, 1) (x, 1) = (2 x, 1).(1) u = 3v? (2x + 1, 3) = 3(2 x, 1)? (2x+ 1 , 3)= (6 3x , 3),所以 2x+ 1 = 6 3x ,解得 x = 1.(2) u / v ? (2x + 1, 3) = ?(2 x , 1)? 2x 1(2 x),3?

12、 (2x+ 1) 3(2 x) = 0? x= 1.【點(diǎn)撥】對(duì)用坐標(biāo)表示的向量來說，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點(diǎn)在解題中很重要，應(yīng)引起重視.n nn nrrr【變式訓(xùn)練2】已知向量an=(COS7 ,si門7亦 N*) ,|b|= 1.則函數(shù)y=|a1+ b|2 +念+b|2+念+b|2+ |a141+ b|2的最大值為 .n【解析】設(shè) b= (cos0,sin0),所以 y= |ab|2+|a2 + b|2+ |a3+b|2+ - + |aw + b|2=(a1 )2+ b2 + 2(cos7 ,n141 n 141 nnsin7)(cos 0, sin 0 + + (a141)2+ b2+

13、2(cos, sin )(cos 0 sin 0)= 282 + 2cos(7 0),所以 y 的最大 值為284.題型三 平行(共線)向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知 ABC的角A , B , C所對(duì)的邊分別是a , b , c ,設(shè)向量m = (a , b) , n = (sin B , sin A) , p= (b 2 , a 2).(1)若m / n ,求證： ABC為等腰三角形；若mlp,邊長(zhǎng)c= 2,角C = n求厶ABC的面積.【解析】(1)證明：因?yàn)?m/ n ,所以asin A = bsin B.由正弦定理，得 a2= b2 ,即a = b.所以ABC為等腰三角形.因?yàn)閙丄p,所以

14、m p= 0，即a(b 2) + b(a2) = 0，所以 a+ b= ab.由余弦定理，得 4 = a?+ b? ab = (a+ b)? 3ab,所以(ab)2 3ab 4= 0.所以ab= 4或ab= 1(舍去).1i所以 Szabc= ?absin C = ?X4【點(diǎn)撥】設(shè) m= (xi, yi), n = (x2, y2),則m n? xiy2 = x2yi : m± n? xix2 + yiy2= 0.【變式訓(xùn)練3】已知a, b, c分別為 ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，向量m = (2cosCi, 2), n =(cos C, cos C+ 1).若mln,且a

15、 + b = 10,則厶ABC周長(zhǎng)的最小值為()A.10 5 .3B.10 + 5 .3C.10 2,3D.10 + 2,31【解析】由 m丄 n 得 2cos2C 3cos C 2 = 0,解得 cos C= q或 cos C= 2(舍去)，所以 c2= a2 + b2 2abcosC= a2 + b2 + ab= (a + b)2 ab= 100 ab,由 10= a + b>2 . ab? ab< 25，所以 c2>75，即 c> 5 3，所以 a + b+ c> 10+ 5 ,3，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 5時(shí)，等號(hào)成立故選B.典例精析題型一利用平面向量數(shù)量

16、積解決模、夾角問題【例1】 已知a, b夾角為120°且|a|= 4, |b|= 2，求:(1) |a + b|;(2) (a+ 2b) (a + b);(3) a與(a+ b)的夾角0.【解析】(1)(a+ b)2= a2+ b2 + 2a b=16 + 4 2 >4 X2 弓=12,所以 |a+ b|= 2 .3.2 2(2)(a+ 2b) (a + b) = a2 + 3a b + 2b21=16 3 X4 > K+ 2 > = 12.(3) a (a+ b)= a2+ a b= 16-4 >2 弓=12.所以cos 0=a?(a b)lalla b|1

17、24> .3窪所以7t=6.【點(diǎn)撥】禾U用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律可以解決向量的模、夾角等問題【變式訓(xùn)練1】已知向量a, b, c滿足:|a|= 1, |b|= 2, c= a+ b,且c丄a,則a與b的夾角大小是 【解析】由c丄a? c a = 0? a2 + a b = 0,1所以 cos 0=- 2,所以 0= 120 °題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在厶ABC中，AB = (2, 3), AC = (1 , k)，且 ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 k的值.【解析】當(dāng)/ A= 90°時(shí)，有AB AC = 0,2所以 2 > + 3 k

18、= 0,所以 k=- 2;3 當(dāng)/B= 90 時(shí)，有 AB BC = 0,又 BC = AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3),11所以 2 > 1) + 3 >k 3)= 0? k = 3; 當(dāng)/C= 90 時(shí)，有 AC BC = 0,所以一1 + k (k 3) = 0, 所以 k2 3k 1 = 0? k= 3 ±2 13.2113 ±13所以k的取值為一3, §或一匸.【點(diǎn)撥】因?yàn)槟膫€(gè)角是直角尚未確定，故必須分類討論在三角形中計(jì)算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向 及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練 2】 ABC中，AB = 4, BC=

19、 5, AC = 6,求 AB BC + BC 【解析】因?yàn)? AB CA + CA BC + 2BCAB. CA + 2CA AB* ” *Ll丄丄丄=(AB BC + CA-AB)+(CA AB + BC CA)+ (BC CA + BC AB)=AB ( BC + CA) + CA ( AB + BC ) + BC (CA + AB )=AB BA + CA AC + BC CB=-42-62 - 52= 77.所以 AB BC + BC CA + CA AB =馬.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸Ox, Oy交于點(diǎn)0,且/ xOy=n構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系，厲，良分別是與Ox, Oy同向3的單位向量，設(shè)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且 OP = xei+ ye2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),已知Q( 1, 2).(1) 求|OQ |的值及OQ與Ox的夾角；過點(diǎn)Q的直線I丄OQ，求I的直線方程(在斜坐標(biāo)系中).1【解析】(1)依題意知，ei e2 = 2，且 OQ = e1 + 2e2,所以 OQ 2= ( &+ 2e2)2 = 1 + 4 4e1 e2= 3.所以|Oq |= 3又 OQ e1 = ( e1 + 2e2) e1 = e1+ 2e1 ? e2= 0.所以O(shè)Q丄&,即卩OQ與Ox成90。角.(2