(完整版)求橢圓離心率范圍的常見題型及解析

1、求橢圓離心率范圍的常見題型解析解題關(guān)鍵：挖掘題中的隱含條件，構(gòu)造關(guān)于離心率e的不等式.、利用曲線的范圍，建立不等關(guān)系2 x2 a2例1 ：已知橢圓y21(a b 0)右頂為A,點(diǎn)P在橢圓上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 op垂b直于PA,求橢圓的離心率 e的取值范圍1-W* ,克尸在以為旦徑前圓上.U AO為百徑的圓方握為x2 卜-m = 0 .7電'1 消去舶電b EJ -|- y2 - az = 0(tr - aJ i x1 + trx -= 0-(/m + 口 = 申 mil = J,IK m < n.,-, > < < o t即卩屹o2乩可得用 PvF垢冷<

2、2盧貝.* (0.1),二勵(lì)園的厘心率的駛怕范圄対Fi( c,0), F2(c,0)若橢圓上存在2 2x y例2:已知橢圓-1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為a b一點(diǎn)P使asin PF1F2csin PF2F1，則該橢圓的離心率的取值范圍為.2 1,123由正弦定理得：smZPFi J*1? sin則由已知得：丄_ = 屮為I®Fd即：a|PF）| = Pfi|設(shè)點(diǎn)（乂0、附）由焦點(diǎn)半徑公式fl： IFiI = ex0,|PFi| = a- ej0K!l o(a+ eo) c(a exa)由橢圓的幾何性質(zhì)知:Xq > a則 fl (c 1)* A a i(£+ 1)

3、整理得e2 + 2e-l>0,解得：eV - 0 1或 e > v-1,又 e (0,1) f故橢圓的離心率：ee (y/2-1,1)a(c a)e(c + a)a(e - 1)IB 十 1)故答案為：（V烷 IJLsSB二、利用曲線的平面幾何性質(zhì)，建立不等關(guān)系例3 :已知R、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足一的點(diǎn)P總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）三、利用點(diǎn)與 橢圓的位置關(guān)系，建立不等關(guān)系例4 :已知ABC的頂點(diǎn)B為橢圓2x2a2y-1(a b 0)短軸的一個(gè)端點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)也在b橢圓上，若ABC的重心恰好為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F (c,0),求橢圓離心率的范圍四、利用函數(shù)的值域，建

4、立不等關(guān)系2y例5 :橢圓1 (a b 0)與直線x y 10相交于a、b兩點(diǎn)，且OA OB 0( Ob為原點(diǎn))，若橢圓長軸長的取值范圍為-5,6，求橢圓離心率的范圍怙京現(xiàn)=0.燈凱宀7%化盤宀純?nèi)宋濉⒗镁挡坏仁?，建立不等關(guān)系例6：已知Fl、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，/ F1PF2 = 60。.求橢圓離心率的范圍;2 2解 設(shè)橢圓方程為 2+ 2= 1(a>b>0)，|PFi|= m，|PF2|= n,貝U m+n = 2a.a b在厶PF1F2中，由余弦定理可知，4c2 = m2+ n2 2mn cos 60 = (m + n )2 3mn22 m I n 222

5、2=4a2 3mn>4a2 3 -= 4a2 3a2 = a2(當(dāng)且僅當(dāng)m= n時(shí)取等號).訂4,即1又0<e<1， e的取值范圍是 ，121(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)Px 【例7 ：已知F1、F2是橢圓r aF1PF290，求橢圓離心率e的取值范圍.解析1 ：令pF14e2PF2n，則m4e2 m2 nn 2a 由 PF1PF22a2即e2六、利用焦點(diǎn)三角形面積最大位置，建立不等關(guān)系解析2:不妨設(shè)短軸一端點(diǎn)為 B則 S f,PF22b tan45rbf22cbeb2 < e22 e2 a七、利用實(shí)數(shù)性質(zhì)，建立不等關(guān)系解析3 :設(shè) P x, yPF!PF2得x2，代入2x2a2e2eb2x20b2即 c2a2 c2， e -2 又 e 1 二 e 1a 22八、利用曲線之間位置關(guān)系，建立不等關(guān)系解析4 :PFiPF2P點(diǎn)在以FiF2為直徑的圓上又P在橢圓上，九、利用P為圓2x2a的公共點(diǎn).由圖可知b2說明：橢圓上一點(diǎn)距中心距離最小值為短半軸長f1pf2最大位置，建立不等關(guān)系52 2解析4：橢圓冷1 (a b