2014挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題15因動點產(chǎn)生的梯形問題

1、1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題例1 2012年上海市松江區(qū)中考模擬第24題已知直線y3x3分別與x軸、y軸交于點A，B，拋物線yax22xc經(jīng)過點A，B（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點B關(guān)于直線l的對稱點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形求點D的坐標(biāo)；將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P，其對稱軸與直線y3x3交于點E，若，求四邊形BDEP的面積圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“12松江24”，拖動點P向右運動，可以體驗到，D、P間的垂直距離等于7保持不變，DPE與PDH保持相等請打開超級畫板文件名“12松

2、江24”， 拖動點P向右運動，可以體驗到，D、P間的垂直距離等于7保持不變，DPE與PDH保持相等，四邊形BDEP的面積為24思路點撥1這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個點必須畫準(zhǔn)確，其實拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了2拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點間的垂直距離等于73已知DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點間的垂直距離等于7，那么點P向右平移到直線x3時，就停止平移滿分解答（1）直線y3x3與x軸的交點為A(1，0)，與y軸的交點為B(0,3)將A(1，0)、B(0,3)分別代入yax22xc，得 解得 所以拋物線的表達式為yx22x3對稱軸為直

3、線x1，頂點為(1,4)（2）如圖2，點B關(guān)于直線l的對稱點C的坐標(biāo)為(2,3)因為CD/AB，設(shè)直線CD的解析式為y3xb，代入點C(2,3)，可得b3所以點D的坐標(biāo)為（0，3）過點P作PHy軸，垂足為H，那么PDHDPE由，得而DH7，所以PH3因此點E的坐標(biāo)為（3，6）所以圖2 圖3考點伸展第（2）用幾何法求點D的坐標(biāo)更簡便：因為CD/AB，所以CDBABO因此所以BD3BC6，OD3因此D（0，3）例2 2012年衢州市中考第24題如圖1，把兩個全等的RtAOB和RtCOD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上已知點A(1，2)，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、

4、F拋物線yax2bxc經(jīng)過O、A、C三點（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點P為線段OC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若AOB沿AC方向平移（點A始終在線段AC上，且不與點C重合），AOB在平移的過程中與COD重疊部分的面積記為S試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“12衢州24”， 拖動點P在線段OC上運動，可以體驗到，在AB的左側(cè)，存在等腰梯形ABPM拖動點A在線段AC上運動，可以

5、體驗到，RtAOB、RtCOD、RtAHG、RtOEK、RtOFG和RtEHK的兩條直角邊的比都為12請打開超級畫板文件名“12衢州24”，拖動點P在線段OC上運動，可以體驗到，在AB的左側(cè)，存在AM=BP拖動點A在線段AC上運動，發(fā)現(xiàn)S最大值為0.375思路點撥1如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長的底邊，這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長線段2AOB與COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補得到，即OFG減去OEH3求OEH的面積時，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么RtEHK的直角邊的比為124設(shè)點A移動的水平距離為m，

6、那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入yax2bxc，得 解得， 所以（2）如圖2，過點P、M分別作梯形ABPM的高PP、MM，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AMBP，因此yAy MyPyB直線OC的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，那么解方程，得，x2的幾何意義是P與C重合，此時梯形不存在所以圖2 圖3（3）如圖3，AOB與COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EKOD于K設(shè)點A移動的水平距離為m，那么OG1m，GBm在RtOFG中，所以在RtAHG中，AG2m，所以所以在RtOEK中，OK2 EK；在RtEHK中，EK2HK；

7、所以O(shè)K4HK因此所以所以于是因為0m1，所以當(dāng)時，S取得最大值，最大值為考點伸展第（3）題也可以這樣來解：設(shè)點A的橫坐標(biāo)為a由直線AC：yx3，可得A(a, a3)由直線OC：，可得由直線OA：y2x及A(a, a3)，可得直線OA：y2x3a3，由直線OC和直線OA可求得交點E(2a2，a1)由E、F、G、H 4個點的坐標(biāo)，可得例 4 2011年義烏市中考第24題已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x4，設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線 y2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存

8、在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN/x軸，交PB于點N 將PMN沿直線MN對折，得到P1MN 在動點M的運動過程中，設(shè)P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“11義烏24”，拖動點M從P向O運動，可以體驗到，M在到達PO的中點前，重疊部分是三角形；經(jīng)過中點以后，重疊部分是梯形思路點撥1第（2）題可以根據(jù)對邊相等列方程，也可以根據(jù)對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況2第（

9、3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO的中點滿分解答（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12) 兩點，得 解得 所以二次函數(shù)的解析式為，頂點P的坐標(biāo)為（4，4）（2）由，知點B的坐標(biāo)為（6，0）假設(shè)在等腰梯形OPBD，那么DPOB6設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，2x)由兩點間的距離公式，得解得或x2如圖3，當(dāng)x2時，四邊形ODPB是平行四邊形所以，當(dāng)點D的坐標(biāo)為(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形圖3 圖4 圖5（3）設(shè)PMN與POB的高分別為PH、PG在RtPMH中，所以在RtPNH中，所以 如圖4，當(dāng)0t2時，重疊部分的面積等于PMN的面積此時如圖5，當(dāng)2t4時，重

10、疊部分是梯形，面積等于PMN的面積減去PDC的面積由于，所以此時考點伸展第（2）題最好的解題策略就是拿起尺、規(guī)畫圖：方法一，按照對角線相等畫圓以P為圓心，OB長為半徑畫圓，與直線y2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點方法二，按照對邊相等畫圓以B為圓心，OP長為半徑畫圓，與直線y2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點例5 2010年杭州市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y ，點C的坐標(biāo)為(4，0)，平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q(x，y)在拋物線上，點P(t，0)在x軸上 (1)

11、寫出點M的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時 求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍； 當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為12時，求t的值圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10杭州24”，拖動點Q在拋物線上運動，從t隨x變化的圖象可以看到，t是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下還可以感受到，PQCM12只有一種情況，此時Q在y軸上；CMPQ12有兩種情況思路點撥1第（1）題求點M的坐標(biāo)以后，RtOCM的兩條直角邊的比為12，這是本題的基本背景圖2第（2）題中，不變的關(guān)系是由平行得到的等角的正切值相等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，列關(guān)于t與x的比例式，從而得到t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系 3探求自

12、變量x的取值范圍，要考慮梯形不存在的情況，排除平行四邊形的情況4梯形的兩底的長度之比為12，要分兩種情況討論把兩底的長度比轉(zhuǎn)化為QH與MO的長度比滿分解答(1)因為ABOC 4，A、B關(guān)于y軸對稱，所以點A的橫坐標(biāo)為2將x2代入y，得y2所以點M的坐標(biāo)為（0，2）(2) 如圖2，過點Q作QH x軸，設(shè)垂足為H，則HQy，HPx t 因為CM/PQ，所以QPHMCO因此tanQPHtanMCO，即所以整理，得如圖3，當(dāng)P與C重合時，解方程，得如圖4，當(dāng)Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x 2因此自變量x的取值范圍是，且x 2的所有實數(shù) 圖2 圖3 圖4因為sinQPHsinMCO，所以

13、，即當(dāng)時，解方程，得（如圖5）此時當(dāng)時，解方程，得如圖6，當(dāng)時，；如圖6，當(dāng)時， 圖5 圖6 圖7考點伸展本題情境下，以Q為圓心、QM為半徑的動圓與x軸有怎樣的位置關(guān)系呢？設(shè)點Q的坐標(biāo)為，那么而點Q到x軸的距離為因此圓Q的半徑QM等于圓心Q到x軸的距離，圓Q與x軸相切例7 2009年廣州市中考第25題如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，1），ABC的面積為（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在

14、，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動感體驗 請打開幾何畫板文件名“09廣州25”，可以看到，ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，拖動點M在y軸上運動，可以體驗到，過M的直線與圓相切或者相交時有公共點在拋物線上有兩個符合條件的點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形思路點撥1根據(jù)ABC的面積和AB邊上的高確定AB的長，這樣就可以把兩個點的坐標(biāo)用一個字母表示2數(shù)形結(jié)合，根據(jù)點A、B、C的坐標(biāo)確定OA、OB、OC間的數(shù)量關(guān)系，得到AOCCOB，從而得到ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，再根據(jù)對稱性寫出m的取值范圍3根據(jù)直角梯形的定義，很容易確定符合條件的點D有兩個，但是求點D的坐標(biāo)比較麻煩，根據(jù)等角的正切相等列方程相對簡單一些滿分解答（1）因為OC1，ABC的面積為，所以AB設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，0），那么點B的坐標(biāo)為（a，0）設(shè)拋物線的解析式為，代入點C（0，1），得解得或因為二次函數(shù)的解析式中，所以拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)因此點A、B的坐標(biāo)分別為，所以拋物線的解析式為（2）如圖2，因為，所以因此AOCCOB所以ABC是以AB為斜邊的直角三角形，外接圓的直徑為AB因