2013中考數(shù)學(xué)壓軸題正方形問(wèn)題精選解析二

1、2013中考數(shù)學(xué)壓軸題正方形問(wèn)題精選解析(二)NKGCEDFABPM例3 如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的兩側(cè)作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三點(diǎn)在一直線上，連接MF交線段AD于點(diǎn)P，連接NP，設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為x，正方形DMNK的邊長(zhǎng)為y（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)NPF的面積為32時(shí)，求x的值；（3）以P為圓心，AP為半徑的圓能否與以G為圓心，GF為半徑的圓相切？如果能，請(qǐng)求出x的值，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCDEF90O ，AEMC，MCNKAENK，KNAEAFKNAEAF，即

2、yx6（0x6）（2）由（1）知NKAE，ANAF正方形DMNK，APNM，1FPPM，SMNPSNPF32S正方形DMNK2SMNP64y8，x2（3）連接PG，延長(zhǎng)FG交AD于點(diǎn)H，則GHAD易知：AP，AHx，PHx，HG6；PGAPGFx當(dāng)兩圓外切時(shí)在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(x)262(x)2解得：x33（舍去）或x33當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)在RtGHP中，PH 2HG 2PG 2，即(x)262(x)2方程無(wú)解所以，當(dāng)x33時(shí)，兩圓相切例4 已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，射線AE與射線BC交于點(diǎn)E，射線AF與射線CD交于點(diǎn)F，EAF45°，連接EF（1）如圖1，

3、當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（2）設(shè)BEx，DFy，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括點(diǎn)B、C），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不含端點(diǎn)B），點(diǎn)F在射線CD上運(yùn)動(dòng)試判斷以E為圓心，以BE為半徑的E和以F為圓心，以FD為半徑的F之間的位置關(guān)系；ABDCEFG圖2ABDCEF圖1（4）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AE與CD交于點(diǎn)G問(wèn)：EGF與EFA能否相似？若能相似，求出BE的長(zhǎng)，若不可能相似，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）猜想：EFBEDF證明：將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得ABF，易

4、知點(diǎn)F、B、E在同一直線上（如.圖1）ABDCEF圖1F12AFAFFAE132390°45°45°EAF又AEAE，AFEAFEEFFEBEBFBEDF（2）在RtEFC中，EC 2FC 2EF 2EC1x，F(xiàn)C1y，EFxy(1x)2(1y)2(xy)2y（0x1）（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、C之間時(shí)，由（1）知EFBEDF，故此時(shí)E與F外切；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時(shí)，DF0，F(xiàn)不存在.當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得ABF（如圖2）則AFAF，12，BFDF，F(xiàn)AF90°FAEEAF45°又AEAE，AFEAFEEFEF

5、BEBFBEDF此時(shí)E與F內(nèi)切綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，E與F外切；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，E與F內(nèi)切ABDCEFG圖2F12（4）EGF與EFA能夠相似，只要當(dāng)EFGEAF45°即可此時(shí)CECF設(shè)BEx，DFy，由（3）知EFxy在RtCFE中，CE 2CF 2EF 2(x1)2(1y)2(xy)2y（x1）由CECF，得x11y，即x11化簡(jiǎn)得x22x10，解得x11（舍去），x21EGF與EFA能夠相似，此時(shí)BE的長(zhǎng)為1例5 已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90°，AD2，BC6，AB3E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG

6、和梯形ABCD在BC的同側(cè)（1）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；（2）將（1）問(wèn)中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFG為正方形BEFG，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，連接BD，BM，DM是否存在這樣的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)的平移過(guò)程中，設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍BACD備用圖BACD解析：（1）如圖，設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為x則BEFGBGxBACD圖EFGAB3，BC6

7、，AGABBG3xGFBE，AGFABC，即 解得x2，即BE2（2）存在滿足條件的t，理由如下：如圖，過(guò)D作DHBC于點(diǎn)H則BHAD2，DHAB3由題意得：BBHEt，HB|t2|，EC4tBACD圖EFGHBMN在RtBME中，BM 2BE 2ME 222(2t)2t22t8EFAB，MECABC，即 ，ME2t在RtDHB 中，BD 2DH 2BH 232(t2)2t24t13過(guò)M作MNDH于點(diǎn)N則MNHEt，NHME2tDNDHNH3(2t)t1在RtDMN中，DM 2DN 2MN 2t2t1（）若DBM90°，則DM 2BM 2BD 2即 t2t1(t22t8)(t24t1

8、3)，解得t（）若BMD90°，則BD 2BM 2DM 2即t24t13( t22t8)( t2t1)，解得t13，t230t4，t3（）若BDM90°，則BM 2BD 2DM 2即 t22t8(t24t13)( t2t1)，此方程無(wú)解BACD圖EFGBH綜上所述，當(dāng)t 或3 時(shí)，BDM是直角三角形（3）當(dāng)0t 時(shí)，S t2當(dāng) t2時(shí)，S t2t 當(dāng)2t 時(shí)，S t22t BACD圖EFGBH當(dāng) t4時(shí)，St提示：當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，如圖FE2，EC4t，DH3，HC4由FECDHC，得 即 ，t當(dāng)點(diǎn)G落在AC上時(shí)，點(diǎn)G也在DH上（即DH與AC的交點(diǎn)）BACD圖EFGBMNt2當(dāng)點(diǎn)G落在CD上時(shí)，如圖GB2，BC6t由GBCDHC，得 即 ，t當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，t4BACD圖EFGBMNPQ當(dāng)0t 時(shí)，如圖MFt，F(xiàn)NtSSFMN·t·t t2當(dāng) t2時(shí)，如圖PFt ，F(xiàn)QPFt1BACD圖EFGBPQMNSFPQ( t )( t1) t2t SSFMNSFPQ t2( t2t ) t2t 當(dāng)2t 時(shí)，如圖BMBC( 6t)3 tGM2( 3 t)t1S梯形GM