電路學(xué)：第2章線性電阻電路分析

1、 第第2章章 線性電阻電路分析線性電阻電路分析u 2.1 二端網(wǎng)絡(luò)及其等效變換二端網(wǎng)絡(luò)及其等效變換u 2.2 電阻星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接電阻星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接u 2.3 電壓源與電流源的等效變換電壓源與電流源的等效變換u 2.4 結(jié)點(diǎn)電壓法結(jié)點(diǎn)電壓法u 2.5 疊加定理疊加定理u 2.6 戴維南定理和諾頓定理戴維南定理和諾頓定理u 2.7 最大功率傳輸定理最大功率傳輸定理u 本章小結(jié)本章小結(jié) 2.1 二端網(wǎng)絡(luò)及其等效變換二端網(wǎng)絡(luò)及其等效變換2.1.1 基本概念基本概念1. 二端網(wǎng)絡(luò)二端網(wǎng)絡(luò) 具有兩個(gè)端鈕與外電路相聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)叫二端網(wǎng)絡(luò)，也稱單口網(wǎng)絡(luò)。二端網(wǎng)絡(luò)根據(jù)其內(nèi)部是否包含電源（獨(dú)立源），分為無

2、源二端網(wǎng)絡(luò)和有源二端網(wǎng)絡(luò)。每一個(gè)二端元件就是一個(gè)最簡單的二端網(wǎng)絡(luò)。 圖2.1所示為二端網(wǎng)絡(luò)的一般符號(hào)。二端網(wǎng)絡(luò)端鈕上的電流I、端鈕間的電壓U分別叫做端口電流和端口電壓。圖2.1中端口電壓U和端口電流I的參考方向?qū)Χ司W(wǎng)絡(luò)來說是關(guān)聯(lián)一致的，UI應(yīng)看成該網(wǎng)絡(luò)消耗的功率。端口的電壓、電流關(guān)系又稱二端網(wǎng)絡(luò)的外特性。2. 等效變換等效變換 當(dāng)一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)與另一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓電流關(guān)系完全相同時(shí)，這兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)對(duì)外部來說叫做等效網(wǎng)絡(luò)。等效網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)雖然不同，但對(duì)外部電路而言，它們的作用和影響完全相同。換言之，等效網(wǎng)絡(luò)互換后，雖然其內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，但它們的外特性沒有改變，因此對(duì)外電路的影響也就不

3、會(huì)改變。因此我們所說的“等效”是對(duì)網(wǎng)絡(luò)以外的電路而言，是對(duì)外部等效。 求一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)等效網(wǎng)絡(luò)的過程叫做等效變換。等效變換是電路理論中一個(gè)非常重要的概念，它是簡化電路的一個(gè)常用方法。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，通常將電路中的某些二端網(wǎng)絡(luò)用其等效電路代替，這樣不會(huì)影響電路其余部分的支路電壓和電流，但由于電路規(guī)模的減小，則可簡化電路的分析和計(jì)算。 一個(gè)內(nèi)部不含電源的電阻性二端網(wǎng)絡(luò)（即無源二端網(wǎng)絡(luò)），總有一個(gè)電阻元件與之等效，這個(gè)電阻叫做該網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。其數(shù)值等于該網(wǎng)絡(luò)在關(guān)聯(lián)參考方向下端口電壓與端口電流的比值，用R表示。 此外，還有三端網(wǎng)絡(luò)、四端網(wǎng)絡(luò)n端網(wǎng)絡(luò)。兩個(gè)n端網(wǎng)絡(luò)，如果對(duì)應(yīng)各端鈕間電壓電流關(guān)系相同，

4、就是等效網(wǎng)絡(luò)。2.1.2 電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián) 1. 電阻的串聯(lián)及其分壓電阻的串聯(lián)及其分壓 幾個(gè)電阻首尾依次相聯(lián)，中間沒有分支，電路中通過同一電流，這種聯(lián)接方式稱為電阻的串聯(lián)。圖2.2（a）所示為n個(gè)電阻串聯(lián)的無源二端網(wǎng)絡(luò)。圖2.2（b）所示為只有一個(gè)電阻R的無源二端網(wǎng)絡(luò)，如果圖（b）中端口電壓、端口電流與圖（a）中完全相同，則這兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)就是等效的，R就是圖（a）中n個(gè)串聯(lián)電阻的等效電阻。由KVL可以推出，串聯(lián)電阻的等效電阻為 R = R1 + R2 + Rn = （2.1） nkkR1 即電阻串聯(lián)時(shí)，其等效電阻等于各個(gè)串聯(lián)電阻的代數(shù)和。 電阻串聯(lián)具有分壓特點(diǎn)，各電

5、阻上的電壓關(guān)系為 u1：u2：un = R1：R2：Rn （2.2）這說明，電阻串聯(lián)時(shí)，各個(gè)電阻上的電壓按電阻的大小進(jìn)行分配，各個(gè)電阻上的電壓大小與其電阻值成正比。其中，電阻Rj上的電壓uj等于uRRuRRunkkjjj1(2.3) 同樣，電阻串聯(lián)時(shí)，各電阻的功率大小與其電阻值成正比，電阻大的功率大。根據(jù)電阻的功率公式可得 p1：p2：pn = R1：R2：Rn （2.4）串聯(lián)電阻的總功率等于各個(gè)電阻功率的和，即 p = u i = i 2R1 + i2R2 + + i n2 Rn （2.5） 例例2.1 圖2.3所示是某電子設(shè)備中的一個(gè)分壓電路。R = 680的電位器與電阻R1、R2串聯(lián)，已

6、知R1 = R2 = 550，電路輸入電壓U1 = 12 V，求輸出電壓U2的變化范圍。 解：解： 電位器實(shí)際上是具有a、b、c三個(gè)端鈕的可變電阻。當(dāng)滑動(dòng)端c移動(dòng)到a端時(shí)，電位器全部與R2串聯(lián)，輸出電壓為V2981268055055068055012122URRRRRU 滑動(dòng)端c移動(dòng)到b端時(shí)，電位器全部與R1串聯(lián)，輸出電壓為V713126805505505501212 2URRRRU 因此，調(diào)節(jié)680的電位器時(shí)，輸出電壓可在3.71 V8.29 V之間變化。 例例2.2 現(xiàn)有一個(gè)內(nèi)阻為20 k、量程為10 V的電壓表，如圖2.4所示，今欲將電壓表量程擴(kuò)大為50 V和250 V，問需串聯(lián)的附加電

7、阻值為多少？ 解：解： 電壓表內(nèi)阻Rg = 20 k，量程為10 V，即Ug = 10 V。在50 V這一擋量程，總電壓U = 50 V，串聯(lián)電阻為R1，根據(jù)分壓公式（2.3）可得URRRU1ggg502020101R即所以 R1 = 80 k在250 V這一擋量程，總電壓U = 250 V，串聯(lián)電阻為R1和R2，同理可得URRRRU21ggg即250802020102R得 R1 = 400 k2. 電阻的并聯(lián)及其分流電阻的并聯(lián)及其分流 幾個(gè)電阻的一端聯(lián)在一起，另一端也聯(lián)在一起，在電源作用下，各電阻兩端具有同一電壓，這種聯(lián)接方式稱為電阻的并聯(lián)。圖2.5（a）所示為n個(gè)電阻并聯(lián)的無源二端網(wǎng)絡(luò)。其

8、等效電路如圖2.5（b）所示，由KCL可以推出，并聯(lián)電阻的等效電阻為nRRRR111121 (2.6)或用電導(dǎo)表示為 G = G1 + G2 + Gn = （2.7）nkkG1 式（2.6）和（2.7）表明，電阻并聯(lián)時(shí)，其等效電阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)電阻的倒數(shù)之和，或者說，總電導(dǎo)等于各并聯(lián)電導(dǎo)之和。 電阻并聯(lián)具有分流的特點(diǎn)，各電阻上的電流關(guān)系為 i 1：i 2：i n = G 1：G 2：Gn （2.8） 這說明，電阻并聯(lián)時(shí)，各個(gè)電阻上的支路電流與電阻成反比或與電導(dǎo)成正比，電阻?。妼?dǎo)大）的支路，支路電流大。其中，電阻Rj上的電流ij等于iGGuGRuijjjj(2.9) 同樣，并聯(lián)電路中，各電阻

9、的功率也與電阻成反比，即 p1：p2：pn = （1/R1）：（1/R2）：（1/Rn） （2.10） 并聯(lián)電阻的總功率等于各電阻功率的總和。 兩個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)，其等效電阻為2121RRRRR(2.11) 其電流分配關(guān)系為iRRRi2121iRRRi2112(2.12)3. 電阻的混聯(lián)電阻的混聯(lián) 既有串聯(lián)又有并聯(lián)的電路稱為混聯(lián)電路。利用串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的特點(diǎn)，就可以將混聯(lián)電路進(jìn)行簡化，進(jìn)而分析計(jì)算電路。 例例2.3 求圖2.6（a）所示電路ab端的等效電阻Rab。 解：解： 分析無源二端網(wǎng)絡(luò)ab端的等效電阻（即輸入電阻），必須正確識(shí)別電阻的串并聯(lián)關(guān)系。為了便于分析，可將電路內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)標(biāo)上字母，

10、且縮短無電阻支路（即短路線），在不改變電路聯(lián)接關(guān)系的前提下，可在引出端鈕a、b之間，逐一分析結(jié)點(diǎn)之間的電阻，適當(dāng)改畫電路圖，以便識(shí)別電阻串并聯(lián)關(guān)系。 在圖2.6（a）中，用c、d、e標(biāo)出其余各結(jié)點(diǎn)，c、d間因?yàn)槭嵌搪肪€聯(lián)接，實(shí)質(zhì)為一點(diǎn)。從a點(diǎn)開始，12、4電阻出自a點(diǎn)聯(lián)接于c（d），從c（d）分出4、6、3三個(gè)電阻，其中4電阻聯(lián)接到b端，6和3電阻聯(lián)接到e，再由e出來經(jīng)2電阻到b。這樣在不改變電路聯(lián)接關(guān)系情況下，原電路圖可畫成圖2.6（b）的形式，電阻間串并聯(lián)關(guān)系就比較清楚了。因此等效電阻為523)23636(4)23636(4412412abR 需要注意的是，在電路改畫過程中，必須從a端順勢

11、畫到b端，而不能中途改變方向。圖2.6（a）中不改變各電阻阻值，將a、e間用短路線聯(lián)接如圖2.6（c）所示，那么a、b之間等效電阻Rab等于多少呢？讀者可自行分析。（注意：在圖（c）中ade支路的4電阻和3電阻被短路線短接。答案：Rab = 1.6）。 例例2.4 將內(nèi)阻Rg = 2 000，滿偏電流Ig = 100A的直流表頭做成多量程的直流電流表，采用圖2.7所示的環(huán)形分流器?，F(xiàn)要求量程為1mA、10mA、100mA三檔，試求分流電阻R1、R2和R3。 解：解： 分流器開關(guān)S打在位置“3”時(shí)，量程最小，分流電阻最大，為R1 +R2 +R3 ，S打在位置“1”時(shí)，量程最大，分流電阻最小，為R

12、1。因此可以利用電阻串并聯(lián)關(guān)系，首先從最小量程開始，求得總的分流電阻，在從最大量程開始，逐一求出各分流電阻。分析如下： S打在1 mA檔，R1、R2、R3串聯(lián)后與Rg并聯(lián)，Ig = 100A = 0.1 mA，I = 1 mA，根據(jù)分流關(guān)系，得 )(321gggRRRRRIII 即 )(200020001101321RRR所以 R1 +R2 +R3 = 222.22S打在100 mA檔，Rg、R2、R3串聯(lián)后與R1并聯(lián)，Ig = 100A = 0.1mA，I = 100 mA。)(g32132ggRRRRRRRIII)()(32gg321gRRRIRRRRII222100)200022222(

13、 10)(g321g1IRRRRIR S打在10 mA檔，Rg、R3串聯(lián)，R1、R2串聯(lián)，Ig = 100A = 0.1mA，I = 10 mA。)()(g3213ggRRRRRRIII)()(3gg321gRRIRRRRII202222222222212RR200222222222)(22222213RRR2.2 電阻星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接的等效變換電阻星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接的等效變換2.2.1 電阻的星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接電阻的星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接 電阻的連接方式，除了串聯(lián)和并聯(lián)外，還有更復(fù)雜的聯(lián)接，本節(jié)介紹的星形聯(lián)接和三角形聯(lián)接就是電阻復(fù)雜聯(lián)接中的常見情形。而且這兩種復(fù)雜的聯(lián)接無法用串聯(lián)和并聯(lián)

14、等效變換進(jìn)行簡化。 將三個(gè)電阻的一端連在一起，另一端分別接到三個(gè)不同的端鈕上，就構(gòu)成了電阻的星形聯(lián)接，又稱Y形聯(lián)接，如圖2.8（a）所示。將三個(gè)電阻分別接到三個(gè)端鈕的每兩個(gè)之間，這樣就構(gòu)成了電阻的三角形聯(lián)接，又稱為形聯(lián)接，如圖2.8（b）所示。2.2.2 電阻電阻Y形聯(lián)接與形聯(lián)接與形聯(lián)接的等效變換形聯(lián)接的等效變換 電阻的Y形聯(lián)接和形聯(lián)接是無源電阻性三端網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)多端網(wǎng)絡(luò)等效變換的條件，讓其對(duì)應(yīng)端口的電壓、電流分別相等，利用KCL、KVL就可推導(dǎo)出兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間等效變換的參數(shù)條件。它們是：（1）將形聯(lián)接等效為Y形聯(lián)接：31231212311RRRRRR31231212322RRRRRR312312

15、23313RRRRRR(2.13)當(dāng)R12 = R23 = R31= R 時(shí)，有R1 = R2 = R3 = RY = 。R31（2）將Y形聯(lián)接等效為形聯(lián)接：313322112RRRRRRRR113322123RRRRRRRR213322131RRRRRRRR(2.14) 當(dāng)R1 = R2 = R3 = RY時(shí)，有R12 = R23 = R31= R= 3RY 。 在電路分析中，有時(shí)將形電阻網(wǎng)絡(luò)與Y形電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行等效變換，就有可能把復(fù)雜的電路轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵坞娐?，使分析?jì)算大為簡化。所謂簡單電路是指利用電阻的串并聯(lián)逐步化簡，最后能化為一個(gè)等效電阻的電路。 例例2.5 求圖2.9（a）所示電路中電流I

16、。 解：解： 將3、5和2三個(gè)電阻構(gòu)成的三角形網(wǎng)絡(luò)等效變換為星形電阻網(wǎng)絡(luò)，如圖2.8（b）所示，根據(jù)式（2.13）求得 R1 = 1.5 R2 = 0.6 R3 = 1523535232352352 再用電阻串聯(lián)和并聯(lián)公式,求出連接到電壓源兩端的等效電阻為114160114160）（）（ R = 1.5 + 2.5 最后求得A4521010RI 此題也可以利用Y形電阻網(wǎng)絡(luò)等效變換為三角形電阻網(wǎng)絡(luò)的方法進(jìn)行求解，請(qǐng)讀者自行分析。2.3 電壓源與電流源的等效變換電壓源與電流源的等效變換2.3.1 獨(dú)立電源的串聯(lián)和并聯(lián)獨(dú)立電源的串聯(lián)和并聯(lián) n個(gè)理想電壓源串聯(lián)，可以等效成一個(gè)電壓源。圖2.10（a）所

17、示為兩個(gè)電壓源US1和US2串聯(lián)，可以用一個(gè)等效的電壓源US代替。 n個(gè)理想電流源并聯(lián)，可以等效成一個(gè)電流源，如圖2.10（b）所示。 圖2.11（a）、（b）、（c）、（d）所示均為含有獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)等效變換的例子。這些等效變換的結(jié)果簡化了部分電路而不影響其外電路的工作狀態(tài)。 從以上例子可以看出， 一個(gè)電壓源并聯(lián)若干元件（如電阻、電流源），對(duì)外等效仍為該電壓源，如圖2.11中的（a）和（c）；一個(gè)電流源串聯(lián)若干元件（如電阻、電壓源），對(duì)外等效仍為該電流源，如圖2.11中的（b）和（d）。這是電壓源和電流源的特點(diǎn)所決定的。但將電壓不相等的電壓源并聯(lián)或電流不相等的電流源串聯(lián)是不允許的，這將違背K

18、VL和KCL。2.3.2 兩種實(shí)際電源模型的等效變換兩種實(shí)際電源模型的等效變換 第1.4節(jié)中介紹過實(shí)際電源的兩種電路模型，即電壓源與電阻的串聯(lián)組合和電流源與電阻的并聯(lián)組合。在電路分析中常常要求兩種電源模型之間進(jìn)行等效變換，以簡化電路，從而便于分析和計(jì)算。 圖2.12給出了實(shí)際電源的兩種模型。所謂等效仍然是指外部等效。要求等效變換前后，兩種模型的外特性即端鈕處電壓電流關(guān)系不變。也就是與相同外電路聯(lián)接的端鈕a、b之間電壓相同時(shí)，兩模型端鈕上的電流也必須相同（大小相等，參考方向相同）。 圖2.12（a）是電壓源與電阻串聯(lián)的模型，輸出電壓u = uS i R i，也可表示為iiSiSRuRuRuui

19、圖2.12（b）是電流源與電阻并聯(lián)的模型，輸出電流為 iSRuii 根據(jù)等效的含義，上面兩個(gè)式子中對(duì)應(yīng)項(xiàng)應(yīng)該相等，即iSSRui iiRR (2.15) 應(yīng)用式（2.15）進(jìn)行等效變換時(shí)，應(yīng)該注意變換前后電流源與電壓源參考方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系：電流源的參考方向應(yīng)與電壓源的參考“-”極到參考“+”極的方向一致，反過來也是一樣，如圖2.12所示。 例例2.6 求圖2.13（a）所示電路的等效電流源模型和圖2.13（b）所示電路的等效電壓源模型。 解：解： 圖2.13（a）中 Is = ， R i/ = R i = 4 根據(jù)等效前US的極性，可知等效后電流源IS的參考方向應(yīng)向下。圖2.13（b）中 Us

20、= R i/Is = 63 = 18 V ， R i = R i/ = 3 原電流源模型中IS參考方向向上，等效后的電壓源模型中US的參考極性應(yīng)是上正下負(fù)。 例例2.7 化簡圖2.14（a）所示的有源二端網(wǎng)絡(luò)為等效的電壓源模型。 解：解： 此題在分析時(shí)要注意，IS1與R1/、IS2與R2/這兩個(gè)電流源模型中間有電阻R3相隔，不是并聯(lián)關(guān)系。 首先將IS1與R1/的電流源模型等效為US1與R1串聯(lián)的電壓源模型，如圖2.14（b）所示。 Us1 = R1/Is1 = 46 = 24 V ， R1 = R1/ = 4 再將US1、R1、R3的串聯(lián)支路等效為=電流源IS3與電阻R3/的并聯(lián)，如圖2.14

21、（c）所示。ARUi3412sA42424311S3SRRUI624313RRR 最后可得等效的電壓源模型如圖2.14（e）所示，電壓源電壓參考極性上正下負(fù)。 ， V632SiSIRU2iiRR 例例2.8 在圖2.15（a）所示電路中，計(jì)算電阻R2中的電流I2。 解：解： 首先將圖2.15（a）中IS與R1的并聯(lián)組合電路，等效變換成US1與R1的串聯(lián)組合電路，如圖2.15（b）所示。其中 US1 = R1 IS= 68 = 48 V 再將圖2.15（b）中US1、US2的串聯(lián)電路等效變換為US，如圖2.15（c）所示，注意US1與US2的參考方向是相反的，所以 US = US1-US2 =

22、4818 = 30 V 最后由圖2.15（c）計(jì)算出電流I2A52483021S2RRUI 由以上例題可以看出，利用兩種電源模型的等效變換可以簡化含源電路，從而使電路的分析變的簡便。這種分析電路的方法稱為等效變換法。利用等效變換法分析電路時(shí)需要注意，等效變換只能等效待求支路以外的部分，否則，待求物理量就會(huì)因此而消失。 例例2.9 含受控源的二端網(wǎng)絡(luò)如圖2.16（a）所示，求二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R 。 解：解： 受控源元件雖是有源元件，但含有受控源的電路若沒有獨(dú)立源的激勵(lì)便不能產(chǎn)生響應(yīng)，所以由受控源和電阻組成的二端網(wǎng)絡(luò)，其等效電路是一個(gè)電阻。求該等效電阻時(shí)，一般不能利用電阻的串并聯(lián)等效方法來求，而

23、是利用“外施電源法”，寫出端口電壓、電流的關(guān)系式，即U-I關(guān)系式，從而求出等效電阻。 圖2.16（a）中受控源是電壓控制電流源。受控源與獨(dú)立源一樣，也可進(jìn)行電源的等效變換，圖2.16（a）中的受控電流源與電阻的并聯(lián)等效變換為受控電壓源與電阻的串聯(lián)。如圖2.16（b）所示。 假想在端口外加電流源I，在圖2.16（b）中分析端口U-I關(guān)系。選定I1、I2參考方向如圖所示 U = 2I +（10 +10）I1 4U （10 +10）I1 4U 20I2 = 0 I2 = I I1聯(lián)立解之得4IUR 例例2.10 試將圖2.17（a）所示的含受控源的二端網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行化簡。 解：解： 圖2.15（a）中既含

24、有受控源，也含獨(dú)立源，其等效電路應(yīng)為一個(gè)獨(dú)立電壓源與一個(gè)電阻的串聯(lián)。同樣利用“外施電源法”，寫出端口U-I關(guān)系式 。 圖2.17（a）中的受控電流源與電阻的并聯(lián)等效變換為受控電壓源與電阻的串聯(lián)。如圖2.17（b）所示。寫出端口的U-I關(guān)系式為 U = -500 I + 1000 I + 1000 I +20 = 1500 I + 20 根據(jù)這一電壓電流關(guān)系式，可得到相應(yīng)的等效含源支路如圖2.17（c）所示。從本例可以看到，電流控制電壓源在這里好比一個(gè)“-500”的電阻。受控源相當(dāng)于負(fù)電阻是由受控電壓參考方向與控制電流參考方向之間的關(guān)系決定的。2.4 結(jié)點(diǎn)電壓法結(jié)點(diǎn)電壓法2.4.1 結(jié)點(diǎn)電壓及結(jié)

25、點(diǎn)電壓方程結(jié)點(diǎn)電壓及結(jié)點(diǎn)電壓方程 上一章介紹的支路電流分析法實(shí)際上是應(yīng)用基爾霍夫定律，以各支路電流為未知量列方程進(jìn)行求解的方法。顯然，這種分析方法只適于求解支路數(shù)比較少的電路，當(dāng)電路中支路數(shù)較多時(shí)，再以各支路電流為未知量列方程就非常麻煩。為此，本節(jié)介紹一種新的分析方法，叫做結(jié)點(diǎn)電壓分析法，簡稱結(jié)點(diǎn)法。 結(jié)點(diǎn)法是這樣的：首先選電路中某一結(jié)點(diǎn)作為參考點(diǎn)（其電位為零），其它各結(jié)點(diǎn)到參考點(diǎn)的電壓稱為該結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓（實(shí)際上就是該結(jié)點(diǎn)的電位），一般用V表示。然后以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，應(yīng)用KCL列出各結(jié)點(diǎn)的KCL方程，解方程得到結(jié)點(diǎn)電壓，繼而以結(jié)點(diǎn)電壓為依據(jù)，求出各支路電流。結(jié)點(diǎn)法的理論根據(jù)是基爾霍夫電流定

26、律。 在結(jié)點(diǎn)電壓分析法中電阻元件的參數(shù)值用電導(dǎo)表示，即RG1GVRVI電導(dǎo)的單位是西門子，符號(hào)為S 。 圖2.18所示電路共有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，選結(jié)點(diǎn)4為參考結(jié)點(diǎn)，則V4 = 0，其它各結(jié)點(diǎn)到參考結(jié)點(diǎn)的電壓（即各結(jié)點(diǎn)的電位）分別是V1、V2、V3。則各支路電流可用結(jié)點(diǎn)電壓表示為 I2 = G2（V1 V2）， I3 = G3V2 I4 = G4V3 ， I5 = G5（V1 V3） 對(duì)各結(jié)點(diǎn)列KCL方程： 結(jié)點(diǎn)1 G2（V1V2）+ G5（V1V3）= Is1 結(jié)點(diǎn)2 G3V2 - G2（V1 V2）= Is6 結(jié)點(diǎn)3 G4V3 - G5（V1 V3）= - Is6 整理得 （G2 + G5）V1-

27、G2V2 G5V3 = Is1 -G3V1 +（G2 + G3）V2 = Is6 -G5V1 +（G4 + G5）V3 = -Is6 這樣就把以支路電流為變量的電流方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐越Y(jié)點(diǎn)電壓為變量的方程，解方程求得V1、V2、V3，就可以進(jìn)一步分析各支路電流，而方程數(shù)目卻大為減少。電路有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，必須要列（n -1）個(gè)以結(jié)點(diǎn)電壓為變量的結(jié)點(diǎn)方程。顯然對(duì)多支路、少結(jié)點(diǎn)的電路來說，這種方法是比較適宜的。 上式中，令G11 = G2 + G5，G22 = G2 + G3，G33 = G4 + G5，G11、G22、G33分別為結(jié)點(diǎn)1、結(jié)點(diǎn)2、結(jié)點(diǎn)3的自導(dǎo)，是分別連接到結(jié)點(diǎn)1、2、3的所有支路電導(dǎo)之和。用G

28、12 和G21、G13 和G31、G23 和G32分別表示結(jié)點(diǎn)1和2、結(jié)點(diǎn)1和3、結(jié)點(diǎn)2和3之間的互導(dǎo)，分別等于相應(yīng)兩結(jié)點(diǎn)間公共電導(dǎo)并取負(fù)值。本例中，G12 = G21 = - G2，G13 = G31 = -G5，G23 = G32 = 0。由于規(guī)定各結(jié)點(diǎn)電壓的參考方向都是由非參考結(jié)點(diǎn)指向參考結(jié)點(diǎn)，所以各結(jié)點(diǎn)電壓在自導(dǎo)中所引起的電流總是流出該結(jié)點(diǎn)的，在該結(jié)點(diǎn)的電流方程中，這些電流前取“+”號(hào)，因而自導(dǎo)總是正的。結(jié)點(diǎn)1、2或3中任一結(jié)點(diǎn)電壓在其公共電導(dǎo)中所引起的電流則是流入另一個(gè)結(jié)點(diǎn)的，所以在另一個(gè)結(jié)點(diǎn)的電流方程中，這些電流前取“-”號(hào)。為使結(jié)點(diǎn)電壓方程的形式整齊而有規(guī)律，我們把這類電流前的負(fù)

29、號(hào)包含在和它們有關(guān)的互導(dǎo)中，因而互導(dǎo)總是負(fù)的。此外，用IS11、IS22、IS33分別表示電流源或電壓源流入結(jié)點(diǎn)1、2、3的電流。本例中，Is11 = Is1，Is22 = Is6，Is33 = -Is6。其中，電流源電流參考方向指向結(jié)點(diǎn)時(shí)，該電流前取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)；電壓源與電阻串聯(lián)的支路，電壓源的參考“+”極指向結(jié)點(diǎn)時(shí)，等效電流源前取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。這樣寫成一般形式為 G11V1 + G12V2 + G13V3 = Is11 G21V1 + G22V2 + G23V3 = Is22 (2.16) G31V1 + G32V2 + G33V3 = Is33 式（2.16）是4個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路結(jié)點(diǎn)

30、電壓方程的一般形式。由此不難推出n個(gè)結(jié)點(diǎn)電路結(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式為11S1)1(1212111ivGvGvGnn22S1) 1(2222121ivGvGvGnn)1)(1S(1)1)(1(22)1(11 )1(nnnnnnnivGvGvG(2.17)2.4.2 結(jié)點(diǎn)法應(yīng)用舉例結(jié)點(diǎn)法應(yīng)用舉例結(jié)點(diǎn)電壓分析法為我們分析計(jì)算電路又提供了一個(gè)有利的工具。用此方法可以求解各支路電流。 例例2.11 圖2.19所示電路中，已知Us1 = 16 V，IS3 = 2 A，Us6 = 40 V，R1 = 4，R1/= 1，R2 = 10，R3 = R4 = R5 = 20，R6 = 10，o為參考結(jié)點(diǎn)，求結(jié)點(diǎn)電

31、壓V1、V2及各支路電流。 解：解： 選定各支路電流參考方向如圖所示。由已知可得43211111111RRRRRG52201201101141S411012012012011111654322RRRRGS101)201201()11(432112RRGGA2121416311111SSSIRRUIA61040266322RUIISSS 按式（2.17）列出結(jié)點(diǎn)電壓方程為211015221VV64110121VV聯(lián)立解之得 V1 = 10 V， V2 = 28 V根據(jù)I1I6的參考方向可求得A21141610111S11RRUVIA11010212RVIA902028103213RVVIA902

32、028104214RVVIA412028525RVIA211040286626RUVIS 例例2.12 用結(jié)點(diǎn)電壓法求圖2.20電路的結(jié)點(diǎn)電壓。 解：解： 選定6 V電壓源電流I的參考方向如圖所示。選接地點(diǎn)作為參考結(jié)點(diǎn)，則結(jié)點(diǎn)1、2的結(jié)點(diǎn)電壓分別為V1和V2。計(jì)入電流變量I列出兩個(gè)結(jié)點(diǎn)方程為 V1 = 5 I 0.5V2 = -2 + I 補(bǔ)充方程 VI V2 = 6解得 V1 = 4 V， V2 = -2 V 例例2.13 圖2.21電路中，已知R1 = 12，R1/= 8，R2 = 10，R3 = 10，Us1 = 100 V，Us2 = 100 V，IS3 = 5 A，各支路電流參考方向

33、如圖所示，求各支路電流。 解：解： 以o點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，則結(jié)點(diǎn)1的電位為V1，根據(jù)式（2.16）列出結(jié)點(diǎn)電壓方程為 3S22S111S13211)111(IRURRUVRRRRV40101101812151010081210011132113S22S111S1RRRRIRURRUV根據(jù)圖中各支路電流參考方向可求得A781210040111S11RRUVIA6101004022S12RUVIA41040313RVI 例例2.14 電路如圖2.22所示。 已知g = 2 S，求結(jié)點(diǎn)電壓和受控電流源發(fā)出的功率。 解：解： 當(dāng)電路中存在受控電壓源時(shí)，應(yīng)增加電壓源電流變量I來建立結(jié)點(diǎn)方程。 2V1 V2

34、= 6 I -V1 + 3V2 V3 = 0 -V2 + 2V3 = gV2 + I求解可得 V1 = 4 V， V2 = 3 V， V3 = 5 V，受控電流源發(fā)出的功率為 W30325)(23gUUP2.5 疊加定理疊加定理 疊加定理是分析線性電路的一個(gè)重要定理。其表述為：在線性電路中有幾個(gè)獨(dú)立源共同作用時(shí)，各支路的電流（或電壓）等于各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生的電流（或電壓）的代數(shù)和（疊加）。 使用疊加定理時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）在計(jì)算某一獨(dú)立電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生的電流（或電壓）時(shí)，應(yīng)將電路中其它獨(dú)立電壓源用短路線代替（即令Us = 0），其它獨(dú)立電流源以開路代替（即令I(lǐng)s = 0）。

35、（2）功率不是電壓或電流的一次函數(shù)，故不能用疊加定理來計(jì)算功率。圖2.28（a）所示電路中共有兩個(gè)獨(dú)立電源（以下簡稱電源）。下面以支路電流I1和R2兩端電壓U2為例應(yīng)用疊加定理推導(dǎo)I1和U2的求解過程。 首先，讓電壓源Us單獨(dú)作用，電流源Is不作用，以開路代替，得到圖2.28（b）電路?？汕蟮?1S1RRUIS2122URRRU 其次，讓電流源Is單獨(dú)作用，電壓源Us不作用，以短路代替，得到2.28（c）電路。可求得IRRRIS2121S21212IRRRRU 21S111RRUIII應(yīng)用疊加定理得到IRRRS212S212222URRRUUUS2121IRRRR 例例2.19 在圖2.29（

36、a）所示電路中，用疊加定理求支路電流I1和I2。 解：解： 根據(jù)疊加定理畫出疊加電路圖如圖2.29所示。圖2.29（b）所示為電壓源US1單獨(dú)作用而電流源IS2不作用，此時(shí)IS2以開路代替，則A50301020211S21RRUII IS2單獨(dú)作用時(shí)，US1不作用，以短路線代替，如圖2.29（c）所示，則A25230103032122S1 RRRIIA75030101032112S2 RRRII 根據(jù)各支路電流總量參考方向與分量參考方向之間的關(guān)系，可求得支路電流 0.5 - 2.25 = - 1.75 A 0.5 + 0.75 = 1.25 A 111III 222III 根據(jù)疊加定理可以推導(dǎo)

37、出另一個(gè)重要定理齊性定理，它表述為：在線性電路中，當(dāng)所有獨(dú)立源都增大或縮小k倍（k為實(shí)常數(shù)）時(shí)，支路電流或電壓也將同樣增大或縮小k倍。例如，將例2.15中各電源的參數(shù)做以下調(diào)整：US1 = 40 V，IS2 = 6 A，再求支路電流I1和I2。很明顯，與原電路相比，電源都增大了1倍，因此根據(jù)齊性定理，各支路電流也同樣增大1倍，于是得到I1 = -3.5 A，I2 = 2.5 A。掌握齊性定理有時(shí)可使電路的分析快速、簡便。 例例2.20 路如圖2.30（a）所示。已知r = 2，試用疊加定理求電流I和電壓U。 解：解： 此題電路中含有受控源，應(yīng)用疊加定理時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是受控源不能“不作用”，應(yīng)

38、始終保留在電路中；二是受控源的控制量應(yīng)分別改為電路中的相應(yīng)量。 根據(jù)疊加定理畫出疊加電路圖如圖2.30所示。 圖（b）電路中，只有獨(dú)立電壓源單獨(dú)作用，列出KVL方程為03122III求得 I / = -2 A， U / = -3 I / = 6 V圖（c）電路中，只有獨(dú)立電流源單獨(dú)作用，列出KVL方程為 0)6(32 III求得 I / = 3 A， U / = 3 （6 - I / ）= 9 V根據(jù)各電壓、電流的參考方向，最后疊加得到 - 2 + 3 = 1 A 6 + 9 = 15 V 通過以上分析可以看出，疊加定理實(shí)際上將多電源作用的電路轉(zhuǎn)化成單電源作用的電路，利用單電源作用的電路進(jìn)行計(jì)

39、算顯然非常簡單。因此，疊加定理是分析線性電路經(jīng)常采用的一種方法，望讀者務(wù)必熟練掌握。 III UUU2.6 戴維南定理和諾頓定理戴維南定理和諾頓定理 在電路中，有時(shí)只要分析某一支路的電流或電壓，而不需要求電路其余部分的電流或電壓。那么，這個(gè)待分析支路以外的部分就可看作一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)。如果我們能用一個(gè)最簡單的電路等效代替這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，待求支路電流的分析計(jì)算就可以大為簡化。這個(gè)最簡單的電路就是有源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路。根據(jù)等效的含義，用等效電路代替有源二端網(wǎng)絡(luò)后，對(duì)外電路（即待求支路）的影響應(yīng)該完全相同，即外電路中的電流或電壓應(yīng)等于替代前的數(shù)值。因此等效電路與相應(yīng)的有源二端網(wǎng)絡(luò)必須滿足端口電壓、電

40、流關(guān)系完全相同，也就是端鈕間電壓相等時(shí)，流出（或流入）端鈕的電流也必須相等。 由2.1節(jié)已知，無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路可以用一個(gè)無源支路表示，支路中的電阻即為該二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。那么任意一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路可表示為什么形式呢？2.7.1 戴維南定理戴維南定理 定理內(nèi)容：任何一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，就端口特性而言，可以等效為一個(gè)電壓源和一個(gè)電阻相串聯(lián)的結(jié)構(gòu) 圖2.31（a）。電壓源的電壓等于有源二端網(wǎng)絡(luò)端口處的開路電壓uoc ；串聯(lián)電阻Ro等于二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源作用為零時(shí)的等效電阻圖2.31（b）。 圖2.31（a）中電壓源與電阻的串聯(lián)支路稱為戴維南等效電路，其中串聯(lián)電阻在電子電路中，當(dāng)二

41、端網(wǎng)絡(luò)視為電源時(shí)，常稱做輸出電阻，用Ro表示；當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)視為負(fù)載時(shí)，則稱做輸入電阻，用Ri表示。應(yīng)用戴維南定理，可以簡化線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而使電路分析變得簡便。 例例2.21 求圖2.32（a）所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。 解：解： 首先求有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc。 將2 A電流源和4電阻的并聯(lián)等效變換為8 V電壓源和4電阻的串聯(lián)，如圖2.32（b）所示。由于a、b兩點(diǎn)間開路，所以左邊回路是一個(gè)單回路（串聯(lián)回路），因此回路電流為A43636I所以 Uoc = Uab = -8 +3I = -8 +34 = 4 V再求等效電阻Ro，圖2.32（b）中所有電壓源用短路線代替，如圖2.3

42、2（c）所示。則 所求戴維南等效電路如圖2.32（d）所示。663634aboRR 例例2.22 電橋電路如圖2.33（a）所示，當(dāng)R = 2和R = 20時(shí)，求通過電阻R的電流I。 解：解： 這是一個(gè)復(fù)雜的電路，如果用前面學(xué)過的支路電流法和結(jié)點(diǎn)電壓法列方程聯(lián)立求解來分析，當(dāng)電阻R改變時(shí)，需要重新列出方程。而用戴維南定理分析，就比較方便。 用戴維南定理分析電路中某一支路電流或電壓的一般步驟是：（1）把待求支路從電路中斷開，電路的其余部分便是一個(gè)（或幾個(gè)）有源二端網(wǎng)絡(luò)。（2）求有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路，即求Uoc和Ro 。（3）用戴維南等效電路代替原電路中的有源二端網(wǎng)絡(luò)，求出待求支路的電流或

43、電壓。 將圖2.33（a）電路中待求支路斷開，得到圖2.33（b）所示有源二端網(wǎng)絡(luò)。求這個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。 在圖2.33（b）中選定支路電流I1、I2參考方向如圖所示。A384361IA624362I所以圖2.33（b）中ab端的開路電壓Uoc為 Uoc = Uab = 8 I1 - 2 I2 = 83 - 26 = 12 V求等效電阻Ro，電壓源用短路線代替，如圖2.33（c）所示。424248484aboRR圖2.33（b）所示的有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路如圖2.33（d）所示，接上電阻R即可求出電流I。 R = 2時(shí)， R = 20時(shí)，A22412oocRRUIA5020

44、412oocRRUI2.6.2 諾頓定理諾頓定理 諾頓定理研究的對(duì)象也是線性有源二端網(wǎng)絡(luò)。其內(nèi)容表述為：任何一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，就端口特性而言，可以等效為一個(gè)電流源和一個(gè)電阻相并聯(lián)的形式 圖2.34（a）。電流源的電流等于二端網(wǎng)絡(luò)端口處的短路電流isc ；并聯(lián)電阻Ro等于二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源作用為零時(shí)的等效電阻圖2.34（b）。 圖2.34（a）中電流源與電阻的并聯(lián)模型稱為諾頓等效電路。應(yīng)用諾頓定理，同樣可以簡化線性有源二端網(wǎng)絡(luò)。 例例2.23 求圖2.35（a）所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效電路。 解：解： 首先求a、b兩點(diǎn)間的短路電流Isc，如圖2.35（b）所示，選定電流I1、I2參考方向

45、如圖所示。A4281IA26122I 根據(jù)KCL I1 = I2 + Isc所以短路電流 Isc = I1 I2 = 4 2 = 2 A 再求等效電阻Ro，將圖2.35（a）中電壓源用短路線代替，得無源二端網(wǎng)絡(luò)ab如圖2.35（c）所示。則 516262aboRR求得諾頓等效電路如圖2.35（d）所示。 例例2.24 求圖2.36（a）所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路和諾頓等效電路。二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部有電流控制電流源，Ic = 0.75 I1。 解：解： 先求開路電壓Uoc。圖2.36（a）中，當(dāng)端口a、b端開路時(shí)，有 I2 = I1 + Ic = 1.75 I1對(duì)網(wǎng)孔1列KVL方程，得 5103

46、I1 + 20103 I2 = 40代入I2 = 1.75 i1，可以求得I1 = 10 mA。而開路電壓 Uoc = 20103 I2 = 35 V當(dāng)端口a、b端短路時(shí)，如圖2.36（b）所示，可求得短路電流Isc。此時(shí)mA81054031I Isc = I1 + Ic = 1.75 I1 = 14 mA故得k52scocoIUR 對(duì)應(yīng)戴維南等效電路和諾頓等效電路分別如圖2.36（c）和（d）所示。當(dāng)有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含受控源時(shí)，在它內(nèi)部的獨(dú)立電源作用為零時(shí)，等效電阻Ro有可能為零或?yàn)闊o窮大。當(dāng)Ro = 0時(shí)，等效電路成為一個(gè)電壓源，這種情況下，對(duì)應(yīng)的諾頓等效電路就不存在，因?yàn)榈刃щ妼?dǎo)Go =

47、 。同理，如果Ro = 即Go = 0，諾頓等效電路就成為一個(gè)電流源，這種情況下，對(duì)應(yīng)的戴維南等效電路就不存在。通常情況下，兩種等效電路是同時(shí)存在的。Ro也有可能是一個(gè)線性負(fù)電阻。 戴維南-諾頓定理是電路中非常重要的定理，它們不僅指出了線性有源二端網(wǎng)絡(luò)最簡等效電路的結(jié)構(gòu)形式，還給出了直接求解等效電路中參數(shù)的方法。這樣以來，對(duì)于任何線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用定理可以直接將其化簡。此外，定理還有一個(gè)突出的特點(diǎn)，即實(shí)踐性強(qiáng)。其等效電路中的三個(gè)參數(shù)Uoc、isc和Ro可以直接測得。圖2.37便是測量三個(gè)參數(shù)的電路。圖2.37（a）中，將電壓表并接在二端網(wǎng)絡(luò)的輸出端，則電壓表的測量值近似為端口處的開路電壓u

48、oc；圖2.37（b）中，將電流表串接在二端網(wǎng)絡(luò)的輸出端，則電流表的測量值近似為端口處的短路電流isc，然后利用公式 即可求出等效電阻Ro。scocoiuR 2.6.3 戴維南戴維南-諾頓定理在電路調(diào)試中的應(yīng)用諾頓定理在電路調(diào)試中的應(yīng)用 戴維南-諾頓定理在實(shí)際中有著非常重要的應(yīng)用。實(shí)際的電路，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)往往都是未知的，應(yīng)用戴維南-諾頓定理可以將這個(gè)未知的電路用一個(gè)結(jié)構(gòu)、參數(shù)都可知的具體的電路去替代，這就給電路的分析、調(diào)試帶來極大的方便，這是其他電路分析方法難以做到的。 一個(gè)新的電子產(chǎn)品往往需要調(diào)整電路的某些元件參數(shù)來改善其電氣性能。其電路模型可以抽象為如圖2.38（a）所示的結(jié)構(gòu)形式，圖2.

49、38（a）中，RL為需要調(diào)整參數(shù)的元件，當(dāng)然，根據(jù)需要，調(diào)試元件也可以是其他的元件。實(shí)際中為了便于調(diào)試，需要找出元件參數(shù)變動(dòng)時(shí)電壓和電流變化的規(guī)律。為此，將圖（a）中除電阻RL之外的其余部分用戴維南-諾頓等效電路來模擬，得到圖2.38（b）和（c）所示電路模型，由此可以寫出電壓、電流隨RL變化的函數(shù)關(guān)系式分別為ocL0ocL0L11uRRuRRRu(2.20a)sc0LscL0L11iRRiRRRi(2.20b) 這是工作于線性區(qū)的任何電阻電路中任一電阻電壓和電流的一般表達(dá)式，由此可得出電路參數(shù)變化對(duì)電壓、電流的影響作用。例如，對(duì)于R00的情況，可以得出以下結(jié)論： 1、欲提高電路中任一電阻RL的電壓，應(yīng)增加其電阻值。電壓隨電阻RL變化的具體規(guī)律由式（2.20a）確定，如圖2.39（a）曲線所示。由曲線可見，當(dāng)電阻RL由零逐漸增加到無窮大時(shí)，電壓u將從零逐漸增加到最大值uoc，且當(dāng)RL = R0時(shí)，u = 0.5 uoc，即電阻電壓為開路電壓的一半。若要電阻電壓大于開路電壓，即uuoc，則需要調(diào)整電路其他元件的參數(shù)來提高uoc。 2、欲減小電路中任一電阻RL的電流，應(yīng)增加其電阻值。電流隨電阻RL變化的具體規(guī)律由式（2.20b）確定，如（b）曲線所示。由曲線可見，當(dāng)電阻RL由零逐漸增加到無窮大時(shí)，電流i將從最大值isc逐漸減小到零，且當(dāng)RL = R0時(shí)，