對面積的曲面積分的概念與性質ppt課件

1、第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質 二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對面積的曲面積分 第十章 0 0、引言：、引言： 前面我們曾用第一型對弧長的曲線前面我們曾用第一型對弧長的曲線積分來表示質量非均勻分布的曲線形物積分來表示質量非均勻分布的曲線形物件的質量，用類似的方法可以表示質量件的質量，用類似的方法可以表示質量非均勻分布的曲面殼的質量。非均勻分布的曲面殼的質量。oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質引例引例: 設曲面形構件具有連續(xù)面密度設曲面形構件具有連續(xù)面密度)

2、,(zyx類似求平面薄板質量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質 “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 類似的象求溫度非均勻分布的曲面類似的象求溫度非均勻分布的曲面 上的熱量、電荷非均勻分布的曲面上的熱量、電荷非均勻分布的曲面殼上的電量等問題，也會遇到上述殼上的電量等問題，也會遇到上述類型的和式極限，因而，有必要研類型的和式極限，因而，有必要研究這一類型的和式極限，為此，我究這一類型的和式極限，為此，我們引入對面積的曲面

3、積分的概念。們引入對面積的曲面積分的概念。SzyxMd),(定義定義: 設 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構件的質量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(Szyx

4、fSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質.則為常數(shù)設,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似. 積分的存在性. 假設 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxyz定理定理: 設有光滑曲面設有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明證

5、明: 由定義知由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),

6、(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達式 , 也可將對面積的曲面積分轉化為對參數(shù)的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yxD例例1. 計算曲面積分計算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 考慮考慮

7、:假設 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa那么hhoxzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 計算計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設設上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xozy例例3. 設2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解:

8、錐面錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD那么 1d)(22SyxI機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 考慮考慮: 若例若例3 中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當22yxz當計算結果如何 ? 例例4. 求半徑為求半徑為

9、R 的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心.解解: 設設 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標,0 yx而 z 223RRR用球坐標cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例例 3 是否可用球面坐標計算是否可用球面坐標計算 ?例3 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 計算計算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標系取球面坐標系, 那么那么,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d機動 目錄 上頁 下頁 返回

10、完畢 例例6. 計算計算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zzd例例7. 計算計算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后若將曲面分為前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素取曲面面積元

11、素兩片, 則計算較繁. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oyxzL例例8. 求橢圓柱面求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9. 設有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 運行的角速度與地球自轉角速度相同, 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半

12、徑 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐標系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 ,利用球坐標系, 那么ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求此題也可用二重積分求 A (見下冊見下冊P109 例例2) . yzxohR R內(nèi)容小結內(nèi)容

13、小結1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設,),( , ),(:yxDyxyxzz那么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習思考與練習P190 題1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P190 題1.SzyxzyIxd),()(22P191 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設那么0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P191 題4(

14、1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域為2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2xyD)(2:22yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P191 題7. 如下圖, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 典型 題2. 設),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè) P190 4(1)(3); 5(2); 6(1), (2); 7 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 備用題備用題 1. 已知曲面已知曲面殼殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質量 M . 解解: 在在 xoy 面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設設 是四面體是四面體的