初三數(shù)學(xué)平方根 算術(shù)平方根 立方根三說 專題輔導(dǎo) 不分版本

1、初三數(shù)學(xué)平方根 算術(shù)平方根 立方根三說王峰一、平方根、算術(shù)平方根、立方根知識(shí)點(diǎn)概要 1. 平方根、算術(shù)平方根的概念與性質(zhì) 如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a（即），那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根），記作：，這里a是x的平方數(shù)，故a必是一個(gè)非負(fù)數(shù)即；例如16的平方根是±4，從定義還可得出：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根；0的平方根只有一個(gè)0，即為它本身。 正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，表示為，例如16的算術(shù)平方根是，從定義中容易發(fā)現(xiàn)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：；。 2. 平方根、算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別：定義不同； 個(gè)數(shù)不同； 表示方法不同； 取值范圍

2、不同：平方根可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，而算術(shù)平方根只能取零及正數(shù)，即非負(fù)數(shù)。 聯(lián)系：它們之間具有包含關(guān)系； 它們賴以生存的條件相同，即均為非負(fù)數(shù)； 0的平方根以及算術(shù)平方根均為0。 3. 立方根的定義與性質(zhì) 如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a（即），那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根），記作：。 立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。二、解題中常見的錯(cuò)誤剖析 例1. 求的平方根。 錯(cuò)解： 的平方根是 剖析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，而是一個(gè)正數(shù)，故它的平方根應(yīng)有兩個(gè)即±3。 例2. 求的算術(shù)平方根。 錯(cuò)解： 的算術(shù)平方根是3 剖析：本題是沒有搞清題

3、目表達(dá)的意義，錯(cuò)誤的認(rèn)為是求9的算術(shù)平方根，因而導(dǎo)致誤解，事實(shí)上本題就是表示的9的算術(shù)平方根，而整個(gè)題目的意義是讓求9的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根。 ，而3的算術(shù)平方根為，故的算術(shù)平方根應(yīng)為。仿此你能給出的平方根的結(jié)果嗎？三、典型例題的探索與解析 例3. 已知：是算數(shù)平方根，是立方根，求的平方根。 分析：由算術(shù)平方根及立方根的意義可知 聯(lián)立<1><2>解方程組，得： 代入已知條件得： 所以 故MN的平方根是±。 例4. 已知，求的算術(shù)平方根與立方根。 分析：由已知得 聯(lián)立<1><2>解方程組，得： 所以 因而的算術(shù)平方根與立方根分別為。 例

4、5. 若一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別為和，求的值。 分析：由平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，因而可構(gòu)造方程 ，解得 從而 評(píng)注：本題利用平方根的性質(zhì)，構(gòu)造一元一次方程，先求出其平方根，再進(jìn)一步求出a，解法可謂簡(jiǎn)捷明了，令人耳目一新。事實(shí)上方程思想是初中階段一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)引起同學(xué)們高度重視。 例6. 比較的大小。 分析：要比較的大小，必須搞清a的取值范圍，由知，由知，綜合得，此時(shí)仍無法比較，為此可將a的取值分別為 ； 三種情況進(jìn)行討論，各個(gè)擊破。 當(dāng)時(shí)，取 則，顯然有 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，仿取特殊值可得 評(píng)注：本題的解答用到了分類討論的思想，所謂分類思想就是根據(jù)問題的需要

5、將涉及的對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后再逐類討論求解的思維方法。分類要遵循三條原則： 標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一； 任何兩種情況不重復(fù)； 每一種情況都不能遺漏。 例7. 已知有理數(shù)a滿足，求的值。 分析：觀察表達(dá)式中的隱含條件，被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)即，亦即，故原已知式可化為： 例8. 若x、y、m適合關(guān)系式，試求m的值。 分析：觀察等式的右邊的兩個(gè)表達(dá)式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，再結(jié)合只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，因而必有 所以。原已知式可化為： 再變形得： 將代入（*）得： 由算術(shù)平方根的非負(fù)性，再根據(jù)“若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則其中每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為零”，可得 解這個(gè)方程組得： 評(píng)注：抓住題目中隱含的算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：；是解決此類問題的關(guān)鍵。 例9. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸對(duì)應(yīng)點(diǎn)如下圖所示，化簡(jiǎn)。 分析：根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大可知： 再結(jié)合算術(shù)平方根應(yīng)為非負(fù)數(shù)，因而 原式 評(píng)注：本例借助以形（數(shù)軸）輔數(shù)（確定的符號(hào)）的方法解題的，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在已知條件下建立數(shù)和形之間的關(guān)系，以形輔數(shù)，以數(shù)定形，利用數(shù)、形的相互關(guān)系來解題的思維方法。 例10. 借助計(jì)算器計(jì)算下列各題： （1） （2） （3） （4） 仔細(xì)觀察上面幾道題及其計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一規(guī)