歌德巴赫猜想之猜解-新課標(biāo)

1、歌德巴赫猜想之猜解1742年德國(guó)數(shù)學(xué)家,歌德巴赫從8=5+3、10=7+3、12=7+5、14=11+3等現(xiàn)象中，提出了（A）每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和的猜想，用簡(jiǎn)化的方法表示成（1+1），這就是著名的歌德巴赫猜想。猜想是正確的，但需要證明，現(xiàn)證明如下：一、猜想的命題是：每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成一個(gè)素?cái)?shù)加一個(gè)素?cái)?shù)的和。即大偶數(shù)=（1+1）。二、相關(guān)定律1、 偶數(shù)的相關(guān)特性偶數(shù)=奇數(shù)+奇數(shù)、偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)、偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù) （1）。2、 自然數(shù)列1、2、3、4、5無(wú)限，公差是1。其特性有，an= an-1 +a1、an-2 +a2 an-(n-1)+ an-1或an=a

2、1 +（n-1）d（2）。其中（an-1+a1）、（an-3 +a3）（an-(n-1)+ an-1）暫定義叫做項(xiàng)數(shù)對(duì)，也叫做奇2元組合。3、 奇數(shù)數(shù)列1、3、5、7、9無(wú)限。奇數(shù)又可分為合數(shù)、質(zhì)數(shù)（也稱素?cái)?shù)，用P表示）兩種數(shù)。4、 合數(shù)數(shù)列9、15、21、25、27、33無(wú)限。5、 素?cái)?shù)數(shù)列3、5、7、11、13、17無(wú)限。6、類同數(shù)6-1 類同數(shù)的定義：個(gè)位數(shù)及個(gè)位數(shù)加10、加10·2，加10·3、10·n的偶數(shù)暫定義叫做類同偶數(shù)。如，10、20、30100、110，12、22、32、102。個(gè)位數(shù)及個(gè)位數(shù)加10、加10·2，加10·310

3、·n的奇數(shù)暫定義為叫做類同奇數(shù)，用a(x)表示，如：a(3)=3、13、23、33，a(1)=1、11、21、31，a(7)=7、17、27、，a(9)=9，19，29。6-2，類同偶數(shù)的特性偶數(shù)=奇數(shù)1+奇數(shù)2=奇數(shù)3+奇數(shù)4。如10=1+9=3+7=5+5。類同偶數(shù)=奇數(shù)1+類同奇數(shù)2或類同奇數(shù)1+奇數(shù)2或類同素?cái)?shù)+素?cái)?shù)如 10=7+3 則20=17+3，20=7+13 12= 7+5 則22=17+5 14= 7+7 則 24=17+7 16=13+3 則 26=23+3 18=13+5 則 28=23+5 logean1（詳見(jiàn)類同偶數(shù)表）三、素?cái)?shù)定理及模數(shù)(x)·l

4、ogexx x(x)logexxx高斯的素?cái)?shù)定理，即：lim =1,或lim =1。陳景潤(rùn)在素?cái)?shù)分布的簡(jiǎn)單概況一文中，應(yīng)用素?cái)?shù)定理證明了“有無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)”的結(jié)論。(日)堀場(chǎng)芳數(shù)著的（素?cái)?shù)的奧秘）一書(shū)中，應(yīng)用素?cái)?shù)定理證明了當(dāng)X（自然數(shù)）105時(shí)，用素?cái)?shù)定理計(jì)算的素?cái)?shù)值誤差大于9%；而當(dāng)X約等于107時(shí)，則其誤差約為6%。誤差并不防礙素?cái)?shù)定理的偉大意義，重要的是再于應(yīng)用素?cái)?shù)定理，可計(jì)算出每一個(gè)合數(shù)單元域分布的最少素?cái)?shù)量?？墒?，由于“x”屬于通用變量符號(hào)，用于素?cái)?shù)定理中是不夠準(zhǔn)確的。如陳景潤(rùn)在初等數(shù)論一書(shū)中，引證“在數(shù)論里經(jīng)常用（x）表示不大于x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，所以（3）=2，（100）=25，（10

5、00）=168”。以（100）=25為例，（100）=25，那么當(dāng)計(jì)算自然數(shù)100至200間的100個(gè)自然數(shù)含有多少個(gè)素?cái)?shù)時(shí)，則x=200-100=100，則（x）=（100）=25顯然是錯(cuò)誤的。正確的計(jì)算是（200）-（100）=46-25=21。所以“x”應(yīng)記作：（an）表示1、3、5、7n自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)。（x）應(yīng)計(jì)作（an）。11x(x)x xlogeanlogeanlogex由素?cái)?shù)定理lim =1,導(dǎo)出(x)= 。所以（an）=an· ，則 ，logex定義為叫做素?cái)?shù)模數(shù)。四、合數(shù)單元域篩選法 另冊(cè)五、素?cái)?shù)分布的特征 另冊(cè)六、素?cái)?shù)的奇2元組合 另冊(cè)七、類同偶數(shù)表 另冊(cè)八、求

6、證：大偶數(shù)=一個(gè)素?cái)?shù) + 一個(gè)素?cái)?shù)。即（1+1）。解：（1）設(shè)任意大偶數(shù)為一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)，用A末表示。則根據(jù)公式（2）當(dāng)公差為1時(shí)。A末=A（末-n）+An。令n為奇數(shù)。則根據(jù)公式（1）所以A末A n=奇數(shù)。如果n不是合數(shù)，那么n就一定是素?cái)?shù)。取n為素?cái)?shù)數(shù)列中任意數(shù)，用P1表示。即A n= P1=3、5、7、11、13<An。根據(jù)公式（2）A末=A（末-1）+A1=A（末-3）+A3=A末-（末-1）+A（末-1）中的每個(gè)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和。而項(xiàng)數(shù)對(duì)又分為奇合數(shù)+奇合數(shù)對(duì)，奇合數(shù)+素?cái)?shù)對(duì)，素?cái)?shù)+素?cái)?shù)對(duì)，命題所求證是大偶數(shù)必須等于素?cái)?shù)+素?cái)?shù)對(duì)的和，那么，公式（2）中的諸奇數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)，有否素?cái)?shù)項(xiàng)

7、數(shù)對(duì)呢！回答是肯定的，有。因?yàn)楦鶕?jù)公式（1）A末-P1=P2，一定是類同1、3、7、9、的奇數(shù)，其相鄰類同奇數(shù)間的差是10或10的倍數(shù)。根據(jù)合數(shù)單元域篩選結(jié)果表明，每個(gè)合數(shù)單元域都含有類同1、3、7、9的素?cái)?shù)，而且由于合數(shù)單元域的增大，所含的每種類同素?cái)?shù)是約同比例增多的，并且至少有2個(gè)或多個(gè)。其相鄰的類同素?cái)?shù)間的差也是10或10的倍數(shù)。因?yàn)镻1是連續(xù)的，無(wú)限的。所以，A末-P1=P2（素?cái)?shù)），如100-3=97（素?cái)?shù)）。當(dāng)A末-P1=P2為奇合數(shù)時(shí)，則A末-（P1+10）=P2或A末-P1+（10·n）=P2 即可是素?cái)?shù)。如100-7=93（奇合數(shù)），則100-17=83（素?cái)?shù)）。9

8、8-7=91（奇合數(shù)），98-（7+30）=61（素?cái)?shù)）。故，P2=1、3、7、9的類同奇數(shù)中，必然含有素?cái)?shù)。即公式（1）A末-P1=P2（奇數(shù)），必然含有A末-P1=P2（素?cái)?shù)）的項(xiàng)數(shù)對(duì)。因?yàn)镻1是素?cái)?shù)，所以A末=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)，（1+1）。成立。解（2）：根據(jù)合數(shù)單元域篩選的結(jié)果表明，P2=A末-f(X)=類同1、3、7、9的奇數(shù)的素?cái)?shù)，任意合數(shù)單元域都分布有類同1、3、7、9的素?cái)?shù)。而A末-P2=P1=1、3、7、9的類同奇數(shù)。根據(jù)前述類同1、3、7、9的奇數(shù)中一定含有素?cái)?shù)。即A末-P2=P1（素?cái)?shù)），故A末=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)（1+1）成立。解（3）：根據(jù)6-2素?cái)?shù)的奇2元組合定律

9、，大偶數(shù)An所含的素?cái)?shù)的奇2元組合，即C2n+ C1n組合的偶數(shù)，包含了An的全部偶數(shù)，所以An=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)的組合（1+1）成立。所以任意大偶數(shù)都可以表示成一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)，都可以表示成所含的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和，都可以表示成只少一對(duì)或多對(duì)素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和，即（1+1）。例1：令A(yù)=22 則P2=A末-f(x)=22-f(x)=19·17·13·11 A末-P1= P2， 取P1=3、5、7、11P2=22-3=1922-5=1722-7=15 （15） （不是素?cái)?shù)）22-11=11在P2=19、17、15、13、11中，15不是素?cái)?shù)，所以22=（19+3）=

10、（17+5）=（11+11）均為素?cái)?shù)對(duì)。所以（1+1）成立。例2、令A(yù)=100 則P2=A末-f(x)=100-f(x)=97·89·83·79·73·71·67·61·59·53·477、5、3。則：P2=100-3=97100-5=95 （不是素?cái)?shù)）100-7=93 （不是素?cái)?shù)）100-11=89100-13=87 （不是素?cái)?shù)）100-17=83100-19=81 （不是素?cái)?shù)）100-23=77 （不是素?cái)?shù)）100-29=71100-31=69 （不是素?cái)?shù)）100-37=63 （不是素?cái)?shù)）1

11、00-41=59100-43=57 （不是素?cái)?shù)）100-47=53所以：100=（97+3）=（89+11）=（83+17）=（71+29）=（59+41）=（53+47）均為素?cái)?shù)對(duì)。故（1+1）成立。例3：令A(yù)=97320，則Z2=A末-f(x)= 97320-f(x)=37259、97241則：P1=97320-97259=61查P1素?cái)?shù)數(shù)列，61為素?cái)?shù)。所以，97320=97259+61 （1+1）成立。同理：97320=97241+79 （1+1）成立。例4：令：A=103686，則P2=A末-f(x)=103686-f(x)= 103643、94513則： P1=103686-103

12、643=43103686-94513=9173所以, 103686=103643+43=94513+9173。（1+1）成立。例5：令A(yù)=1014996，則P2=A末-f(x)= 1014996-f(x)=1014907。所以1014996=1014907+89。（1+1）成立。（詳見(jiàn)類同偶數(shù)表）經(jīng)上述計(jì)算證明，2位數(shù)、3位數(shù)n位數(shù)的偶數(shù)都能表示成至少一對(duì)或多對(duì)素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和。故A末=P1+P2成立。所以每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)的和，即（1+1）。九、解（4）：更大、更大更大的偶數(shù)都能表示成（1+1）。經(jīng)過(guò)上述用計(jì)算的方法，已經(jīng)證明2位數(shù)、3位數(shù)n位的偶數(shù)都能表示成（1

13、+1），并且A（末）數(shù)值愈大，所含的素?cái)?shù)對(duì)（1+1）的對(duì)數(shù)則愈多，這是無(wú)可置疑的。但是更大、更大更大的偶數(shù)如何證明呢！計(jì)算是很困難的，但是證明卻不難，其道理很簡(jiǎn)單，其一，每一個(gè)合數(shù)單元域都有素?cái)?shù)分布，是連續(xù)的，無(wú)限的。隨合數(shù)單元域的增大，每種類同素?cái)?shù)至少有2個(gè)或多個(gè)，并且是約同比例增多的。其二，An所含的素?cái)?shù)的奇二元組合，即C2n+ C1n組合的偶數(shù)包含了An的全部偶數(shù)。其三，就是任何大的偶數(shù)為末項(xiàng)數(shù)的自然數(shù)列，都含有A（末-10）、A（末-10·2）、3位、2位的類同偶數(shù)為末項(xiàng)數(shù)的自然數(shù)列，是同一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，同一個(gè)數(shù)列的公差，具有同一個(gè)通項(xiàng)特性an=(an-1+ a1)、(an-

14、3+a3)(an-（n-1）+a(n-1),都含有相同的素?cái)?shù)、項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)數(shù)對(duì)，如前所述2位數(shù)的偶數(shù)，都能表示成一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)，都含有一對(duì)或多對(duì)素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。3位數(shù)的偶數(shù)也能表示成一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)，同所含有的2位數(shù)的類同偶數(shù)為末項(xiàng)數(shù)的自然數(shù)列，都含有相同的素?cái)?shù)、項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)數(shù)對(duì)，根據(jù)類同偶數(shù)的特性，也必然同所含的諸類同偶數(shù)含有至少一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)或類同素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)，如，10=7+3，20=17+3，100=97+3都等于an-3+a3，或10=7+3，20=17+3，30=17+13，40=37+3=17+23，都等于類同素?cái)?shù)+類同素?cái)?shù)，其素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和及類同素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和，自然等于大

15、偶數(shù)的和。4位數(shù)的偶數(shù)也都能表示成一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)，同所含有的（4-1）位數(shù)、（4-2）數(shù)的諸類同偶數(shù)為末項(xiàng)數(shù)的自然數(shù)列都含有至少一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)或類同素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。以此遞推，5位數(shù)、6位數(shù)、7位數(shù)n位數(shù)的偶數(shù)都能表示成一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)。同所含有的諸類同偶數(shù)為末項(xiàng)數(shù)的自然數(shù)列。都含有至少一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)或類同素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。其素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)及類同素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和，自然等于大偶數(shù)的和，所以任何更大的偶數(shù)都能表示成一對(duì)或多對(duì)素?cái)?shù)對(duì)的和，即一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)的和，即（1+1）。例1末位數(shù)是0的偶數(shù)。根據(jù)公式（2）aa= aa-1+ a1= an-2+ a2an-n+ an。如：10=

16、7+3= an-3+ a3100=97+3= an-3+ a31000=997+3= an-3+ a3又如：80=73+7= 43+37 （類同素?cái)?shù)+類同素?cái)?shù)）100=83+17=53+47 （類同素?cái)?shù)+類同素?cái)?shù)）100=89+11= an-11+ a11100000=99989+11= an-11+ a11200=181+19= an-19+ a191000100=1000081+19= an-19+ a1970=59+11= an-11+ a115670=5659+11= an-11+ a111016170=1016159+11= an-11+ a1180=67+13= an-13+ a1

17、3n-13+ a13詳見(jiàn)類同偶數(shù)表通過(guò)上述計(jì)算、排列、對(duì)比證明，任何末位數(shù)是0的大偶數(shù)同A（末-10）、A（末-10·n）的類同偶數(shù)為末項(xiàng)數(shù)的數(shù)列至少有一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。所以A末=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)即（1+1）。例2：末位數(shù)是2的偶數(shù)如22=19+3= an-3+ a31022=1019+3= an-3+ a3100022=100009+3= an-3+ a322+17+5= an-5+ a5102=97+5= an-5+ a51012722=1012717+5= an-5+ a522=11+11= an-11+ a111012822=1012811+11= an-11+

18、a11n-11+ a11詳見(jiàn)類同偶表（2）。通過(guò)上述計(jì)算、排列、對(duì)比證明，任何末位數(shù)是2的大偶數(shù)同A(末-10)、A(末-10n)位數(shù)的類同偶數(shù)，都含有至少一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。所以A末=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)即（1+1）。例3：末位數(shù)是4的偶數(shù)如14=11+3= an-3+ a3104=101+3= an-3+ a310114=10111+3= an-3+ a31016114=1016111+3= an-3+ a334=29+5= an-5+ a51134=1129+5= an-5+ a5100134=100129+5= an-5+ a574=67+7= an-7+ a714874=148

19、67+7= an-7+ a7n-7+ a7詳見(jiàn)類同偶數(shù)表通過(guò)上述計(jì)算、排列、對(duì)比證明，任何末位數(shù)是4的偶數(shù)同A（末-10）、A（末-10·n）的類同偶數(shù)，都含有一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。所以A末=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)即（1+1）。例4：末位數(shù)是6的偶數(shù)如46=43+3= an-3+ a3446=443+3= an-3+ a34946=4943+3=an-3+ a398446=98443+3= an-3+ a31011146=1011143+3= an-3+ a396=89+7= an-7+ a71296=1289+7= an-7+ a76696=6689+7= an-7+ a7101

20、2496=1012489+7 =an-7+ a766=61+5= an-5+ a5101166=101161+5= an-5+ a5 n-5+ a5詳見(jiàn)類同偶數(shù)表通過(guò)上述計(jì)算、排列、對(duì)比證明，任何末位數(shù)是6的大偶數(shù)同A（末-10）、A（末-10·n）類同偶數(shù)都含有一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。所以A末=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)即（1+1）。例5：末位數(shù)是8的偶數(shù)如8=3+5= an-5+ a5 18=13+5= an-5+ a5 18=11+7= an-7+ a728=23+5= an-5+ a5 38=31+7= an-7+ a748=43+5= an-5+ a5 48=41+7= an-

21、7+ a758=53+5= an-5+ a5 68=61+7= an-7+ a7118=113+5= an-5+ a5 12118=12113+5= an-5+ a5 10118=10111+7= an-7+ a7 1009958=109953+5= an-5+ a5 1009958=109951+7= an-7+ a7n-5+ a5 n-7+ a7n-7+ a7 n-7+ a7詳見(jiàn)類同偶數(shù)表通過(guò)上述計(jì)算、排列、對(duì)此證明，任何末位數(shù)是8的大偶數(shù)同A（末-10）、（末-20）（末-10·n）位數(shù)的類同偶數(shù)，都含有一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。所以A未=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)，即（1+1）。由

22、此證明，任何大偶數(shù)同A（末-10）、A（末-10·n）3位、2位數(shù)的類同偶數(shù)都含有至少一對(duì)或多對(duì)相同的素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)。所以任何更大的偶數(shù)都能表示成一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)的和，即（1+1）。十、結(jié)論經(jīng)篩選、計(jì)算與推理，結(jié)論是：（1）由于合數(shù)單元域是連續(xù)的，遞增的，無(wú)限的，所含的類同1、3、7、9的素?cái)?shù)也是連續(xù)的，約同比例增多的，無(wú)限的。所以，An-P1=P2。令P1=3、5、7、11諸素?cái)?shù)，則P2一定是類同1、3、7、9的奇數(shù)，在諸奇數(shù)中至少含有一個(gè)或多個(gè)素?cái)?shù)，所以An=P1+P2=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)，即（1+1）。（2）由于An所含的<An的素?cái)?shù)的奇2元組合，即C2n+ C1n組合的偶

23、數(shù)，包含了An的全部偶數(shù)，所以An=一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)，即（1+1）。（3）每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成一個(gè)自然數(shù)列的末項(xiàng)數(shù)。每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成所含的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和。每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成至少一對(duì)或多對(duì)素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)的和，即一個(gè)素?cái)?shù)+一個(gè)素?cái)?shù)的和。所以證明猜想（A）每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都能表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和，即大偶數(shù)=（1+1）是正確的，是每一個(gè)不小于6的偶數(shù)必然具備的一個(gè)特性。十一、猜想（B）每一個(gè)不小于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。證：奇數(shù)-素?cái)?shù)=偶數(shù)，偶數(shù)=（1+1），故，奇數(shù)=素?cái)?shù)+（1+1）=（1+1+1）。所以，猜想（B）也是正確的。參考文獻(xiàn)：1、初等數(shù)論、陳景潤(rùn)

24、著。 2、哥德巴赫猜想潘承洞、潘承彪著。 3、素?cái)?shù)的奧秘（日）堀場(chǎng)芳數(shù)著。 4、作登號(hào)（略）通信地址：吉林省吉林市昌邑區(qū)延安路36-4-4 郵編：132001聯(lián)系電話2004-04-03 吉林 櫓人四、合數(shù)單元域篩選法4-1合數(shù)計(jì)算方法。表1 奇數(shù)數(shù)列合數(shù)乘數(shù) (積)因子3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 3 5 7 9 11 13 15 17 199 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 15 25 35 45 55 65 75 85 9521 35 49 63 77 91

25、27 45 63 81 99 11733 55 77 99 121 14339 65 91 117 143 16945 75 10551 85 11957 95 表中第一橫行和第一豎行均為奇數(shù)數(shù)列，第一豎行暫定義為叫做乘數(shù)因子，表中的合數(shù)為乘數(shù)因子與奇數(shù)的積。在橫5行中的15，橫7行中的21、35，橫11行中的33、55、77、99均為橫3行的公倍數(shù)，是重復(fù)的。橫9行的全部合數(shù)，均為橫3行的公倍數(shù)，是重復(fù)的。橫15行的全部合數(shù)、橫21行的全部合數(shù)均為橫3行、橫5行的公倍數(shù)。所以表1可化簡(jiǎn)為表2合 奇數(shù)數(shù)列數(shù)（積）乘數(shù)因子3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

26、 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57an=9+(n-1)6 3an=15+(n-1)10 5an=21+(n-1)14 7 11 13 17 19an= a1 +(n-1)2a 9 15 21 27 33 39 45 51 5715 25 35 45 55 21 35 49 注：a=3、5、7、11、13。a1=3a=9、15、21、33。d=2a=6、10、14、22。表2合數(shù)數(shù)列計(jì)算法4-2合數(shù)單元域的劃分定義：乘數(shù)因子a1與相同的奇數(shù)的乘積a12與乘數(shù)因子（a1+2）2間的自然數(shù)列域叫做一個(gè)合數(shù)單元域，a12叫單元域下界,(a1+2)2叫單

27、元域上界，如單元（a1）域包含的自然數(shù)表示為1，9，單元（a3）域包含的自然數(shù)表示為9，25，單元（a5）域包含的自然數(shù)表示為25，49。單元（a3）域的自然數(shù)，只用素因子3的一個(gè)合數(shù)數(shù)列即可篩出域內(nèi)的素?cái)?shù)。單元（a5）用素因子3、5兩個(gè)合數(shù)數(shù)列即可篩出域內(nèi)的素?cái)?shù)。單元（a7）用素因子3、5、7三個(gè)合數(shù)數(shù)列即可篩出域內(nèi)的素?cái)?shù)。單元（a9）域因?yàn)?是3 的公倍數(shù)，所以（a9）也只用3、5、7三個(gè)素因子篩選。單元（a11）用3、5、7、11四個(gè)素因子篩選。同理，15、21、25、27等都是素因子的公倍數(shù)，是重復(fù)數(shù)列，可不用。合數(shù)單元域是連續(xù)的，遞加8個(gè)自然數(shù)增大的，無(wú)限的。4-3、合數(shù)單元域合數(shù)數(shù)

28、列篩選舉例單元（a1）域的自然數(shù)：1、3、5、7、9，素?cái)?shù)有（2）、3、5、7。單元（a3）域：9、11、13、15、17、 19、21、23、（25）a3=9+(n-1)6: 9 15 21素?cái)?shù)有： 11 13 17 19 23單元域：（a5）25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 （49）a3=9+(n-1)6： 27 33 39 45a5=15+(n-1)10：25 35 45素?cái)?shù)有： 29 31 37 41 43 47單元域：（a7）：49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 （81） a3=9+(n

29、-1)6： 51 57 63 69 75a5=15+(n-1)10： 55 65 75a7=21+(n-1)14： 49 63 77素?cái)?shù)有： 53 59 61 67 71 73 79 單元域（a9）：81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 （121）a3=9+(n-1)6: 81 87 93 99 105 111 117a5=15+(n-1)10: 85 95 105 115a7=21+(n-1)14: 91 105 119 素?cái)?shù)有： 83 89 97 101 103 107 109 113單元

30、域（a11）: 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 157 159 161 163 165 167 （169）a3=9+(n-1)6: 123 129 135 141 147 153 159 165a5=15+(n-1)10: 125 135 145 155 165 a7=21+(n-1)14: 133 147 161a11=33+(n-1)22 121 143 165素?cái)?shù)的： 127 131 137 139 149 151 157 163 167（a13）單元域：169 171 173

31、 175 177 179 181 183 185 187 189 191 193 195 197 199 201 203 205 207 209 211 213 215 217 219 221 223 （225）an=9+(n-1)6: 171 177 183 189 195 201 207 213 219 an=15+(n-1)10: 175 185 195 205 215 an=21+(n-1)14: 175 189 203 217an=33+(n-1)22: 187 209an=39+(n-1)26: 169 195 221素?cái)?shù)有： 173 179 181 191 193 197 199

32、 211 223（a29）單元域: 841 843 845 847 849 851 853 855 857 859 861 863 865 867 869 871 873 875 877 879 881 883 885 887 889 891 893 895 897 899（961）an=9+(n-1)6: 843 849 855 861 867 873 879 885 891 897an=15+(n-1)10: 845 855 865 875 885 895 an=21+(n-1)14: 847 861 875 889an=33+(n-1)22: 847 869 891an=39+(n-1)

33、26: 845 871 897 an=51+(n-1)34: 867 an=57+(n-1)38: 855 893 an=69+(n-1)46: 851 897an=87+(n-1)58:841 素?cái)?shù)有： 853 857 859 863 877 881 883 887 899綜上述篩選證明：合數(shù)單元域是連續(xù)的，遞增的，即：（a1）<（a3）<（a5）<（an）。logean1logea51logea31logea11故P1=a1· <P3 = a3· <P5 = a5· <Pn = an· 。所以每個(gè)合數(shù)單元域都必然有

34、素?cái)?shù)分布，合數(shù)單元域是連續(xù)的，遞增的，無(wú)限的，素?cái)?shù)的分布也是連續(xù)的，增多的，無(wú)限的（詳見(jiàn)5-1，5-2素?cái)?shù)分布列表）。4-4類同奇數(shù)數(shù)列篩選舉例類同奇數(shù)數(shù)列，即等差數(shù)列，其公差均為10，是常數(shù)。如：a(1):an=1+(n-1)10=1、11、21、31、41、51、 a(3):an=3+(n-1)10=3、13、23、33、43、53 a(5):an=5+(n-1)10=5、15、25、35、45、55 a(7):an=7+(n-1)10=7、17、27、37、47、57 a(9):an=9+(n-1)10=9、19、29、39、49、59上述各式，公差均是10，所以，每個(gè)合數(shù)單元域含有的類

35、同奇數(shù)的個(gè)數(shù)是C=（an）·1/10=（ n+2）2·1/10。以a（1）數(shù)列為例。（a3）域，C=25·1/10=2，（a5）域，C=49·1/10=4，（a7）域，C=81·1/10=7，（a9）域，C=121·1/10=11，（an）域，C=（an+2）2·1/10。再討論一下類同奇數(shù)數(shù)列含有的合數(shù)個(gè)數(shù)。其中a(5)的類同奇數(shù)數(shù)列公差是10，而產(chǎn)生類同5 的合數(shù)數(shù)列an=15+(n-1)10,其公差也是10；所以，a(5)的類同奇數(shù)數(shù)列,除5以外都是合數(shù)，沒(méi)有素?cái)?shù)。反之，1、3、7、9的類同奇數(shù)數(shù)列中合數(shù)的數(shù)列的公差是

36、2a;分別是6、14、22、26，只有乘上系數(shù)5，則是10的公倍數(shù)，才是類同奇數(shù)數(shù)列中的合數(shù)。即a（1）的類同奇數(shù)數(shù)列所含的合數(shù)數(shù)列是：a3=an=21+(n-1)·30a7=an=21+(n-1)·70a11=an=121+(n-1)·110；a(3)的類同奇數(shù)數(shù)列所含的合數(shù)數(shù)列是：a3=an=33+(n-1)·30。a7=an=63+(n-1)·70。a11=an=33+(n-1)·110。a(7)的類同奇數(shù)數(shù)列所含的合數(shù)數(shù)列是：a3=an=27+(n-1)·30。a7=an=77+(n-1)·70。a11=a

37、n=77+(n-1)·110。a(9)的類同奇數(shù)數(shù)列所含的合數(shù)數(shù)列是：a3=an=9+(n-1)·30。a7=an=49+(n-1)·70。a11=an=99+(n-1)·110。注：a=3、7、11、13素?cái)?shù)數(shù)列a1=a·a（x）,a(x)=3、7、9、11類同數(shù)d=10·a根據(jù)上述各式, 合數(shù)數(shù)列的公差均為30、70、110、130n，（類同1、3、7、9的素因子×10）。所以由于合數(shù)單元域的增大，含有的類同合數(shù)的個(gè)數(shù)最多是：（a7）·1/30（a9）·(1/30+1/70)（a11）·(1

38、/30+1/70+1/110)（a13）·（1/30+1/70+1/110+1/130）10x1X=(an)1/2X=3（an）·(1/30+1/70+1/110+1/10（an）1/2)=（an）· · 。所以（a7）·1/10=7 > a7·1/30（a9）·1/10=11 > a9·(1/30+1/70)（a11）·1/10=16 > a11·(1/30+1/70+1/110)（a13）·1/10=22 > a13·(1/30+1/70+1/11

39、0+1/130)10x1X=（an）1/2X-1所以，（an）·1/10=c>(an)· · 。舉例a(1)的類同奇數(shù)數(shù)列的篩選。 （a3）域的類同數(shù)列 1、11、21、 a3=an=21+(n-1)30 21剩余數(shù) 11（a5）域類同數(shù)列31、41a3=an= 21+(n-1)30剩余數(shù) 31、41（a7）域類同數(shù)列51、61、71a3=an=21+(n-1)30 51剩余數(shù) 61、71（a9）域類同數(shù)列81、91、101、111a3=an=21+(n-1)30 81 111a7=an=21+(n-1)70 91剩余數(shù) 101（a11）域類同數(shù)列121、1

40、31、141、151、161a3=an=21+(n-1)30 141a7=an=21+(n-1)70 161a11=an=121+(n-1)110 121剩余數(shù) 131、 151、（a13）域類同數(shù)列171、181、191、201、211、221a3=an=21+(n-1)30 171 201a7=an=21+(n-1)70 a11=an=121+(n-1)110 a13=an=51+(n-1)130 221剩余數(shù) 181 191、 211綜上述，所以每個(gè)合數(shù)單元域含有的1的類同奇數(shù)必然多于1的類同合數(shù)，故每個(gè)合數(shù)單元域都有剩余類同1的奇數(shù)，故都分布有類同1的素?cái)?shù)。4-5類同1、3、7、9的素

41、數(shù)分布列表1379合 累備 注(a1)1,9112說(shuō)明：（1），2、5雖是素?cái)?shù)，但不是1、3、7、9的類同素?cái)?shù)，此表不統(tǒng)計(jì)。（2），1的類同素?cái)?shù)占40/1000；3的類同素?cái)?shù)占42/1000；7的類同素?cái)?shù)占46/1000；9的類同素?cái)?shù)占37/1000。表明：1、3、7、9的類同素?cái)?shù)量是隨合數(shù)單元域的增大，約同比例增多的。（3），隨合數(shù)單元域的增大，所含每種類同素?cái)?shù)量至少是2個(gè)或多個(gè)。（4），類同素?cái)?shù)間的差是10或10的倍 數(shù)。(a3)9,25121157(a5)25,492121613(a7)49,812212720(a9)81,1211322828(a11)121,1692142937(a13)169,2253312946(a15)225,28943331359(a17)289,36123421170(a19)361,44133241282(a21)441,52934341496(a23)529,625336315111(a25)625,729543315126(a27)729,841444517143(a29)841,961346316159(a31)961,1089644418177(a43)184