第六節(jié)定積分的幾何應(yīng)用ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用回憶回憶 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、微元法一、微元法 曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（2）計計算算iA 的的近近似似值值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示

2、提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；微元法的一般步驟：微元法的一般步驟：這個方法通常叫做微元法這個方法通常叫做微元法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等xyo)(xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxx

3、fA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxgxfA)()(二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積xdxx xyo)(g xy )(xfy abxdxx 1.直角坐標(biāo)情形例例 1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyy

4、dA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 xxy63 2x

5、y 于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab xo d d 面積元素面積元素 drdA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(2

6、12 drA )( rr 2.極坐標(biāo)情形解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22ar 1A例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0三、體積三、體積1.1.旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的

7、立體這直線叫做旋條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( dxxfdV2)( xdxx xyo)(xfy y解解xhry

8、 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，直線直線 方程為方程為OPrhPxodxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoayxb例8. 計算由橢圓12222 byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程a)xa(xaaby 22那那么么xd)x(aaba202222 ( (利用對稱性利用對稱性) ) 3222312xxaab0a234ab o aV02xdy2x方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos那么xyV

9、ad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時時, 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a.105323a 解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 a星形線是內(nèi)擺線的一種星形線是內(nèi)擺線的一種.t大圓半徑大圓半徑 Ra小圓半徑小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時時, 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)tay, tax星形線形線的參數(shù)方33sincos xyo)(yx cddyy2)( dc

10、Vxoab2.平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積xdxx xyo解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形截面面積

11、截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR x xyo解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 三、平面曲線的弧長三、平面曲線的弧長*xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是曲線弧上的兩是曲線弧上的兩個端點(diǎn)，在弧上插入分點(diǎn)個端點(diǎn)，在弧上插入分點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線

12、，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時時，此此折折線線的的長長|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長長.1.1.平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyab取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21

13、 弧長弧長.12dxysba xdxx dy2.2.直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 1 14 4 計計算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長長)0( nx. 解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)

14、()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 3.3.參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1,cos12022dxxa 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dtyxVay)(220

15、2 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12,1s 曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 4.

16、4.極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 1.1.求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積極坐標(biāo)系下平面圖形的面積. .（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運(yùn)算）積分運(yùn)算）四、小結(jié)四、小結(jié)2.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積3.平行截面面積為已知的

17、立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周 4.4.平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下5.5.弧微分的概念弧微分的概念6.求弧長的公式求弧長的公式 思考題一思考題一 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過原點(diǎn)及點(diǎn)過原點(diǎn)及點(diǎn))3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.思考題二思考題二 求曲線求曲線4 xy，1 y，0 x所圍成所圍成的圖形繞的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.思考題三思考題三 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 是是否否一一定定可可求求長長？思考題一解答思考題一解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(0