封閉圖形中的植樹問題

1、封閉圖形中的植樹問題教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)： 學(xué)生通過直觀的方式能用多種策略來解決圍棋中的數(shù)學(xué)問題， 并引導(dǎo)學(xué)生解決封閉圖形中的植樹問題，使不同的學(xué)生在數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)上有不同的發(fā)展。技能目標(biāo)：初步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效 方法的能力；情感目標(biāo)：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生感受到數(shù) 學(xué)的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：能用多種方法去解決圍棋中的數(shù)學(xué)問題， 并學(xué)會(huì)解決封閉圖形中的植樹問題 難點(diǎn)：溝通圍棋中的數(shù)學(xué)問題與植樹問題之間的關(guān)系。三、教學(xué)預(yù)設(shè)為了達(dá)成以上教學(xué)目標(biāo)，本課教學(xué)流程設(shè)計(jì)分三大板塊：（一）探究新知 同學(xué)們，老師先來考考你

2、們，看看會(huì)不會(huì)被難倒。如果兩根手指夾一只 粉筆，那么一只手能夾幾枝粉筆呢？為什么 5根手指只能夾 4 只粉筆？1、同學(xué)們喜歡下棋嗎？下過圍棋嗎？今天老師帶來了一題有關(guān)圍棋的數(shù) 學(xué)問題，有興趣去解決嗎？（有）2、出示例 3 圍棋盤的最外層每邊能放 19個(gè)棋子。最外層一共可以擺放 多少棋子？讓學(xué)生感覺到一邊放 19 個(gè)棋子挺麻煩的，由此想到假設(shè) 最外層每邊放 9 個(gè)棋子，那么最外層一共可以擺放多少棋子？（課件 出示：先出示圍棋盤，然后在一邊上擺放 9 個(gè)棋子，最后四邊全部擺 上棋子）（1）學(xué)生動(dòng)手解決，教師巡視，尋找學(xué)生中典型的解題方法。（預(yù)設(shè)學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的情況有： ,改 9 顆棋子為 19 顆

3、。（2） 匯報(bào)交流：A、首先匯報(bào)交流第一中解法即19X4= 76 （個(gè)），（生說算式， 教師板書）師問：你是怎么想的？ （生：每邊有 19 個(gè)棋子，四邊就有 19? = 76 個(gè)棋子）B、師再問其他學(xué)生：同意他的想法嗎？（生：不同意，如果這樣的 話，角上的 4 個(gè)棋子好像重復(fù)算了）師追問：那你是怎么算的？（生說：19X 4-4= 72個(gè)，教師板書）， 然后教師強(qiáng)調(diào)：為什么要減去4?（生：把角上重復(fù)的4個(gè)棋子去掉）這 時(shí)教師順?biāo)浦郏耗闶钦f四個(gè)角上的棋子重復(fù)算了，所以還要減去重復(fù) 的4個(gè)棋子（師邊說邊課件演示：4個(gè)角上的棋子變色）。C教師提問：還有其他算法嗎？（生回答教師板書：17X 4+ 4=

4、 72個(gè)），這個(gè)算式你們看得懂嗎？誰來說說你看懂了什么？D如果學(xué)生出現(xiàn)19X 2 + 17X2 = 72個(gè)，則讓其他學(xué)生猜一猜：他 是怎么想的？并做課件演示；E如果學(xué)生出現(xiàn)18X 4= 72個(gè)，就請?zhí)峁┧闶降耐瑢W(xué)說一說：你是 怎么想的？教師課件配合演示。）3、當(dāng)然以上5種算式，、兩種算式學(xué)生可能不大容易出現(xiàn)。所 以如果學(xué)生不出現(xiàn)的話，教師就引導(dǎo)學(xué)生一起來看一看書上是怎樣解決 的？并提問：你看懂了什么？再輔助課件加以說明。（二）、發(fā)現(xiàn)、溝通通過剛才的學(xué)習(xí)，老師發(fā)現(xiàn)我們班的同學(xué)非常的聰明，老師這兒又 有個(gè)數(shù)學(xué)問題，你能幫忙解決嗎？（能）1、試一試出示題目：當(dāng)湖公園的工作人員打算在一塊正方形草地的周

5、圍種 上一批樹（4個(gè)角上都要種）?，F(xiàn)在有三種方案：（1）每邊種16棵松樹；（2）每邊種25棵桃樹；（3）每邊種31棵梨樹。請你選擇其中的一種方案，用你剛才學(xué)習(xí)的喜歡的方法算一 算草地的四周一共要種幾棵樹？a、學(xué)生練習(xí)，教師巡視b、反饋交流：師：誰來說一說桔樹共有多少棵？（生：60棵）師：你是怎么算的？（教師根據(jù)學(xué)生回答板書算式）并問：你是怎么想的？（因 為學(xué)生受前面圍棋中多種解法的啟發(fā)，所以解題方法較多，在這里我 只反饋其中的一種解題思路，學(xué)生說到哪種就反饋哪種，并把算式進(jìn) 行板書，板書在與例題解法相同的算式的下面）關(guān)于桃樹與梨樹的反 饋與桔樹一樣。并把反饋的結(jié)果填入表格中每邊的棵數(shù)四邊總數(shù)桔

6、樹16棵60棵桃樹25棵96棵120梨樹31棵2、溝通我們用剛學(xué)的各種方法解決了這個(gè)問題，大家的表現(xiàn)非常的好！前 面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)植樹的問題，那么這題我們能不能用植樹問題的 思考方法去解決呢？想一想，在植樹問題中我們認(rèn)識(shí)了哪些數(shù)量？（棵 數(shù)、間隔數(shù)）a、那我們來看看，每邊種16棵松樹，有幾個(gè)間隔數(shù)？（在表格中 出現(xiàn)每邊間隔數(shù)）25棵呢？ 31棵呢？（根據(jù)學(xué)生回答教師完成表格中的 數(shù)據(jù)）每邊棵數(shù)每邊間隔數(shù)四邊總棵數(shù)松樹16棵1560棵桃樹25棵2496棵梨樹31棵30120棵師：那么每邊的棵數(shù)與每邊間隔數(shù)有什么關(guān)系呢？（每邊棵數(shù)-1 =每邊間隔數(shù)）再來觀察一下，每邊間隔數(shù)與四邊總數(shù)又有著怎樣

7、的關(guān)系 呢？b、剛才我們學(xué)習(xí)的圍棋中的數(shù)學(xué)問題，能不能用植樹問題的思考方 法去解決呢？（再次出現(xiàn)圍棋圖） 學(xué)生試做 反饋：重點(diǎn)反饋（19- 1）X 4= 72這種解法師:19 - 1表示什么？（表示每邊有18個(gè)間隔）師再問：19- 1除了表示18個(gè)間隔外，還表示了什么？（每邊看作 有18個(gè)棋子）教師演示課件一條變色問：是這樣嗎？（是的）師：這種現(xiàn)象是植樹問題中的哪種情況呢？生：是植樹問題中一端栽，一端不栽的情況教師課件演示其他三邊一端栽一端不栽的情況，并提問：在植樹問 題一端栽一端不栽的情況下，植樹的間隔數(shù)與棵數(shù)有著什么關(guān)系呢？師：所以這個(gè)18可以表示為18個(gè)間隔，也可以表示為18個(gè)棋子, 乘

8、邊數(shù)4就等于72, 72即表示72個(gè)間隔，也表示72個(gè)棋子。3、揭示課題：封閉圖形中的植樹問題這就是今天我們要學(xué)習(xí)的封閉圖形中的植樹問題，板書課題。（三）、靈活運(yùn)用老師發(fā)現(xiàn)我們班的同學(xué)真的很棒！愛動(dòng)腦，勤思考，所以我們解決 了很多的數(shù)學(xué)問題。下面我們來看這題。1、要在五邊形的水池邊上擺上花盆，使每一邊都有 4 盆花，可以怎樣擺 放？（1）討論可以怎么擺放？（五個(gè)角上都擺或都不擺）（2）要最少應(yīng)該怎么擺？（必須五個(gè)角上都擺）（3）練習(xí)反饋（重點(diǎn)反饋（41）X 5= 15 （盆）這種解法） 師小結(jié)：其實(shí)我們在解決正方形、正五邊形及正多邊形的植樹問題時(shí)， 都可以用棵數(shù)=間隔數(shù)2、48 名學(xué)生在操場上

9、做游戲。大家圍成一個(gè)正方形，每邊人數(shù)相等。四 個(gè)頂點(diǎn)都有人，每邊各有幾名學(xué)生？（四）、小結(jié) ：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？ 最后我還安排了一道延伸題。（五）、延伸圓形滑冰場的一周全長是 150米。如果沿著這一圈每隔 1 5米安裝一 盞燈，一共需要裝幾盞燈？13植樹問題（三）教學(xué)案例南河小學(xué) 李素靜教學(xué)內(nèi)容： 120121頁例 3教學(xué)目標(biāo)：1、能理解并掌握“植樹問題”的基本解題方法，并能解決生活中的一些有關(guān)與“植樹”問題的實(shí)際問題。2、會(huì)通過觀察、操作及交流活動(dòng)，探索并認(rèn)識(shí)封閉線路上間隔排列中的簡單規(guī)律，并能將這種認(rèn)識(shí)應(yīng)用到解決類似的實(shí)際問題之中。3、培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、操作能力以及與人合作的

10、能力。4、情感與態(tài)度目標(biāo)： 讓學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，激發(fā)學(xué)生探索 的欲望。教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)根據(jù)題意具體分析，建立解題模型、正確解答實(shí)際問題。教具準(zhǔn)備：實(shí)物投影 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。同學(xué)們，生活中需要數(shù)學(xué)知識(shí)，對于具體問題，要具體分析，認(rèn)真 考慮，得到正確答案。前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有關(guān)“植樹問題”的哪些情 況？根據(jù)學(xué)生的回憶內(nèi)容，老師整理板書：1）兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多 1。他們的關(guān)系是：棵數(shù)二全長+株距+1株距二全長*（棵數(shù)-1 ） 全長二株距X棵數(shù)-1）2）一端植樹，則棵數(shù)比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少 1。他們的關(guān)系是：全長二株距X棵數(shù)棵數(shù)二全長+株距株距=全長+棵數(shù)3）兩端都不植

11、樹，則棵數(shù)比段數(shù)少 1?？脭?shù)二全長*株距-1株距二全長+（棵數(shù)+1）今天我們繼續(xù)來研究第三種“植樹問題”，這種情況比較特殊，也 很有意思，看誰最先發(fā)現(xiàn)規(guī)律。二、探究新知，講授新課：1 、學(xué)習(xí)例 3。1 ）投影出示圍棋盤。大家見過圍棋盤嗎？會(huì)下圍棋嗎？2）、數(shù)一數(shù)。圍棋盤的最外層每邊能放多少個(gè)棋子？3）算一算。圍棋盤上一個(gè)點(diǎn)可以放一個(gè)子。 圍棋盤的最外層每邊能放 1 9個(gè)棋子，最外一層一共可以擺放多少個(gè)棋子？2、4人小組交流，然后匯報(bào)算法和結(jié)果。方法一：19X 4=76（個(gè)）方法二：19X 4-4=72 （個(gè)）方法三： 19X 2+17X 2=72（個(gè)）方法四： 18X 4=72（個(gè)）敘述每種方

12、法的理由：1 ）第一種方法：因?yàn)橥鈱用窟呌?19 個(gè)棋子，四邊就有 4 個(gè) 19，而忽略了角上的棋子，算重了。2）第二種方法：考慮了角上有 4 個(gè)棋子算重了，所以從總數(shù)中再減去多算的 4個(gè)棋子。3）第三種方法：先看上下兩邊，每邊是 19 個(gè)棋子，然后再看左右兩邊,由于上下兩邊已經(jīng)包括了兩個(gè)端點(diǎn), 所以左右兩邊每邊都少了 2個(gè)棋子，只有 17 個(gè)，把四邊上的棋子加起來，就可以得到最外層棋子的 總數(shù)。4）第四種方法：每邊都只算一個(gè)端點(diǎn),這樣每邊正好都是18個(gè)棋子,用18X 4=72,得出結(jié)果。3、說一說你用哪一種思考方法，還有其他的方法嗎？ 4、想一想,圍棋盤最外層擺放的棋子有多少個(gè)間隔？1 ）學(xué)

13、生自主探究。2）4 人小組討論。3）匯報(bào)并小結(jié)：圍棋盤最外層擺放的棋子數(shù)正好等于最外層每兩個(gè)棋子間的間隔數(shù)。5、類推。如果某塊綠地類似與正方形的圍棋棋盤,最外層擺放的不是棋子,而是樹,那么樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間存在什么關(guān)系？1）動(dòng)腦筋想一想,和我們剛才學(xué)習(xí)的內(nèi)容有什么關(guān)系？2）匯報(bào)學(xué)習(xí)情況并板書：樹的棵數(shù)正好等于間隔數(shù)6、小結(jié)：對于數(shù)學(xué)問題,不要急于算出答案,要先弄清楚題目意思,畫畫圖,多想一會(huì),找出正確的解題方法,還可以用不同的方法來解題。三、反饋練習(xí)。1、有一塊正方形的空地，每邊都種 19 棵數(shù)，四個(gè)角都種一棵樹，共種 樹多少棵？2、一個(gè)圓形花壇，它的周長是 150米，每隔 2 米栽一棵樹，

14、共需要多少 棵樹苗？ 從上面的練習(xí)中你發(fā)現(xiàn)了什么？四、鞏固練習(xí)，形成能力。1、121 頁做一做1。2、121 頁做一做2。3、121 頁做一做3。五、總結(jié)：這節(jié)課學(xué)習(xí)封閉圖形的“植樹問題”，你有什么收獲？板書：栽樹的棵樹正好等于間隔數(shù)。六、板書設(shè)計(jì)：植樹問題（三）方法一：19X 2+17X 2=72 （個(gè)）方法二：18X 4=72 （個(gè)）封閉圖形的“植樹問題”：栽樹的棵樹正好等于間隔數(shù)。封閉圖形的植樹問題案例以及設(shè)計(jì)意圖與結(jié)對子學(xué)校交流活動(dòng)、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題：這學(xué)期，我們學(xué)校開展了豐富多彩的活動(dòng)，咱們看看有經(jīng)典誦讀比賽、團(tuán)體操、合唱比賽等等。為迎接六、一文藝匯演，各年級都在 做積極準(zhǔn)備，校舞

15、蹈隊(duì)也在排練節(jié)目。這些里面都有數(shù)學(xué)問題，咱們?nèi)?看看？校舞蹈隊(duì)的表演需要變化多種隊(duì)形，她們先排成一排，每隔 2 米站1 人，隊(duì)伍總長 22 米，請問有多少人參加比賽？生 1: 22 - 2=11 (個(gè))11+ 1 = 12(人)教師：大家同意他的意見嗎？能解釋一下嗎？ 教師：當(dāng)兩邊都站的時(shí)候，有 11 個(gè)間隔就有 12 人，這就相當(dāng)于在線段上兩端都植樹的植樹問題。這一內(nèi)容是學(xué)生的前知，是直線上兩端都植的植樹問題的變式，是學(xué)生上節(jié)課所研究的直線上的植樹問題的一部分，放置在此處一方面 是溝通前知與新知的聯(lián)系，另一方面體會(huì)直線上的植樹問題與封閉圖形 的植樹問題之間的聯(lián)系與區(qū)別。 】1 、圍成O。還是

16、這 12 人，她們現(xiàn)在圍成了一個(gè)圓形，相鄰 2 人的間隔還是 2米，這一周有多長呢？生1：12X 2=24米生 2：(12 1)X 2=22 米(12+1)x 2=26 米教師：說說你是怎么想的？生 1 認(rèn)為有 12 個(gè)間隔；生 2 認(rèn)為有 11 個(gè)間隔；生 3 認(rèn)為有 13 個(gè)間隔）這里學(xué)生之所以不能確定，主要是對圍成圓形的情況下，到底人數(shù)與間隔數(shù)有什么聯(lián)系學(xué)生很模糊，這也是這節(jié)課要重點(diǎn)解決的問題之 一?！拷處煟耗堑降子卸嗌匍g隔呢？我們先來數(shù)數(shù)。先從這個(gè)小女孩這里開始。（12 個(gè)間隔）這一周有多長呢？教師引導(dǎo)學(xué)生梳理: 12人圍成一個(gè)圓形，共有 12個(gè)間隔。（板書:O 12 人12 個(gè)間隔）

17、2 、圍成教師：這 12 個(gè)人，又圍成了一個(gè)三角形，這時(shí)候她們之間有多少個(gè)間隔呢？（ 12個(gè)等）教師：你是怎么知道的？生1：我是數(shù)的。（她數(shù)的對嗎？其他學(xué)生也數(shù)一數(shù)。 ） 教師：除了數(shù)，還有別的方法嗎？ 生2:算的，一邊有4的間隔，三角形有3條邊就有4X 3=12 （個(gè)）間隔。生生之間質(zhì)疑： 4是怎么來的？（數(shù)）（每邊上有 5個(gè)人，在這條線段上 5個(gè)人，就是 4個(gè)間隔。）教師:好極了，他一下子就能看出來，這就還是線段上兩端都站人的情況，有 5 個(gè)人，間隔數(shù)就比人數(shù)少一，就是 4個(gè)間隔。那圍成的這個(gè)三角形共有多少個(gè)間隔呢？你能用算式表示出來嗎？ （5-1 ）X 3=12個(gè)）教師：這 1 2個(gè)人，

18、圍成三角形，間隔數(shù)也是 12個(gè)。教師：當(dāng)每條邊上有 5 人，大家很正確的算出了一個(gè)有多少個(gè)間隔？那如果有 50 人的話，你還能算出有多少個(gè)間隔嗎？生：(50-1 ) X 3=147 個(gè) 教師：同意嗎？說說你的想法。 （50-1 就是每邊上有 50人，那就有49個(gè)間隔， 3條邊就是 40乘3=147個(gè)間隔。）教師：解釋的非常清楚，那當(dāng)每條邊上是 50 人的時(shí)候，一共可以站多少人呢？（ 147 人）教師：算到這里，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？（生猜測：當(dāng)圍成圓形的時(shí)候， 或者三角形或者其他圖形的時(shí)候，人數(shù)與間隔數(shù)相等）教師：同學(xué)們剛才猜測當(dāng)圍成封閉圖形時(shí)，人數(shù)與間隔數(shù)相等，我 們現(xiàn)在只證明了在圓形中，在三角形

19、中是這樣，那是否是在所有的封閉 圖形中，人數(shù)與間隔數(shù)都相等呢？我們得一一驗(yàn)證一下。我們先來看，這 12 個(gè)人，圍成正方形的時(shí)候，有多少個(gè)間隔呢？(4-1=33 X 4=12 個(gè))教師：那在其余的封閉圖形中也是這樣嗎？請用 1 號學(xué)具紙中任選 一個(gè)封閉圖形，用喜歡的符號表示人，進(jìn)行驗(yàn)證，看哪一組做的又好又 快！教師沒有直接使用課本上的情境圖，而是根據(jù)實(shí)際情況，依據(jù)學(xué)生喜聞樂見的舞蹈比賽隊(duì)列變化的場景來創(chuàng)設(shè)情景，通過從直線上圓 形三角形正方形的植樹問題的過程，讓學(xué)生體會(huì)與猜測封閉圖形中人數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，然后再推廣到任意封閉圖形，讓學(xué)生通過自 己的驗(yàn)證得出，在所有的封閉圖形中都存在：間隔數(shù) =人數(shù) 的關(guān)系。】二、小組合作，獲取新知：、組間合作驗(yàn)證。、匯報(bào)交流：教師：哪個(gè)小組想來展示一下你們組的想法。）我們組選的是 6 邊形，我們每邊放 4 人，這樣一共是 18個(gè)人，也是18個(gè)間隔，人數(shù) =間隔數(shù)。2 ）我們選的是這個(gè)不規(guī)則的圖形，我們認(rèn)為在這樣的一個(gè)圖形中應(yīng) 該人數(shù)與間隔數(shù)不相等，但是我們安排了 10 個(gè)人，也是 10 個(gè)間隔，人 數(shù)=間隔數(shù)。3 ）我們選的是心形， 也是 5個(gè)人，5 個(gè)間隔，人數(shù)=間隔數(shù)。 , ,教師：我們能一一驗(yàn)證完嗎？（不能）通過我們對多種封閉圖形