實(shí)際問題與二元一次方程組應(yīng)用題歸納(整理)

1、實(shí)際問題與二元一次方程組題型歸納知識點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系 起來，找出題目中的相等關(guān)系.一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足: 方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.知識點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題:(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀, 畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程差=開始時兩者相距的路程;路程相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它

2、的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直 觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和=總路程。(3)航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣? 船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度; 順?biāo)俣?逆水速度=2 X水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行， 解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類 似。2 .工程問題：工作效率X工作時間=工作量.3 .商品銷售利潤問題:利潤率=售瞪誓價創(chuàng)叩(1)利潤=售價成本(進(jìn)價)；(2)進(jìn)價；利潤=成本(進(jìn)價)X利潤率;標(biāo)價=成本(進(jìn)價)X(1 +利潤率)；(5)實(shí)際售價=標(biāo)價X打折率;注意：“商品利潤=售價一成本”中的

3、右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4 .儲蓄問題:（1）基本概念本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。 本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。（2）基本關(guān)系式 利息=本金X利率X期數(shù) 本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X （1 +利率X期數(shù)） 利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。月制率占利率工一 稅后利息=利息X （1 利息稅率）年利率=

4、月利率X 1212。注意：免稅利息=利息5 .配套問題:解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例 =每一套各部分之間的比例。6 .增長率問題:解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量X （1 +增長率）=增長后的量;原量X（1 減少率）=減少后的量.7 .和差倍分問題:解這類冋題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量n為整8 .數(shù)字問題:解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng) 數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1（或2n-1），偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位 數(shù)=十位數(shù)字X10+個位數(shù)字179 .濃度問題：溶液質(zhì)量X濃度

5、=溶質(zhì)質(zhì)量.10 幾何問題： 解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式11 年齡問題： 解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的12 優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。知識點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問題時，一般可分為以下六個步驟：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為 “審、找、列、解、答 ”

6、五步，即：審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答” ，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；審題時，注意從文

7、字，圖表中獲得有關(guān)信息;注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆;的條件；列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。分類練習(xí): 類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題V尸1.甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次 出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī).這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米?【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他

8、們在乙出發(fā)2.5 小時后相遇；如果乙比甲先走 2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多 少千米?【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜 水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問:(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天 完成，單獨(dú)請哪組，商店所付費(fèi)用最少?【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公 司單獨(dú)做4周

9、后，剩下的由乙公司來做，還需 9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨(dú)完成, 從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由 類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題格調(diào)整后，甲商品的利潤率為 4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分 別是多少元?【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了 10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利 18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種 植了多少畝?【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表:AB進(jìn)價（元

10、/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利=售價一進(jìn)價）求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題錢，一種是年利率為2.25 %的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25 %的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額X20%，教育儲蓄沒有利息所得 稅）【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了 2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得 利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公 民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額X 20% ）【變式2】

11、小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了 3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25% ；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計 利息稅），問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元?類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣 身和衣袖恰好配套?【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成 一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒

12、身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓 14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套?！咀兪?】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿 300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌 面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌?類型六：列二元一次方程組解決增長率問題支出比去年減少了 10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元?【變式1】若條件不變，求今年

13、的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元?【變式2】某城市現(xiàn)有人口 42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加 0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全 市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題1.6 倍、1.5帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷.為此，全體職 工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的倍，恰好按時完成了這項(xiàng)任務(wù).求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳 篷多少千頂?【變式1】（2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題）“地球一小時”是世界自然基金會在 2007年提

14、出的一項(xiàng)倡議.號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分一21時30分熄 燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活.中國 內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項(xiàng)活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的 3倍少13個, 問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項(xiàng)活動.【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到 藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多 1倍，你知道男孩與女孩各有 多少人嗎?類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題比兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的

15、右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù);在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大 2178，求這兩個兩位數(shù)。變式 1 】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 3 倍，結(jié)果是 23 ；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是 5 ，余數(shù)是 1 ，這個兩位數(shù)是多少？變式 2 】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？變式 3 】某三位數(shù)，中間數(shù)字為 0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是 9 ，如果百位數(shù)字減 1，個位數(shù)字加 1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位

16、數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題比是4 : 1，今要得到酒精與水的比為3 ：2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少?【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需 多少?【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為 35%的農(nóng) 藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克?類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題少？【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去, 則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少?【變式2】

17、一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，貝U長和寬分別為多少?類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題的年齡各是多少?【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)?三分之一.試求出今年小李的年齡.類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題:售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至 7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn) 行細(xì)加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時進(jìn)行.受季節(jié)條件的限制，公司必須在 15天 之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工;方案二：盡可能多的對蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售;方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？為什么?舉一反三：變式 1 】某商場計劃撥款 9 萬元從廠家購進(jìn)50 臺電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺 1500 元，乙種每臺2100 元，丙種每臺 2500 元。(1)若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號的電視機(jī)50 臺，用去 9 萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案；(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利