四川省樂山市2020屆高三第一次調(diào)查研究考試(12月)數(shù)學(xué)理科試題

1、四川省樂山市2020屆高三第一次調(diào)查研究考試(12月)試題數(shù)學(xué)理科一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知集合 A=x| (x+2) (x-3) V0, B=x|y=Vx<,則 AH (?RB)=()A. -2, 1)B. 1, 3C. (-8, 2)D. (-2, 1)2 .已知0A= ( 5, - 1),而=(3, 2) , E對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則工=()A. 5- iB. 3+2iC. - 2+3iD. - 2 - 3i3 . (2x-y) 5的展開式中，含x3y2的系數(shù)為()A. 80B. - 80C.

2、 40D. - 404 .在一次期末考試中，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績，成績?nèi)吭?0分至100分之間，將成績按如下方式分成5 組：50,60),60,70),70,80),80,90),90, 100).據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.則這200名學(xué)生中成績在80, 90)中的學(xué)生有( )A . 30 名B . 40 名C . 50 名D . 60 名x>D5 .函數(shù)f （x） =' 4的零點(diǎn)之和為（）x+lo g36，工A.TB. 1C. - 2D. 26 .我市高中數(shù)學(xué)研究會(huì)準(zhǔn)備從會(huì)員中選拔x名男生，y名女生組成一個(gè)小組去參加數(shù)學(xué)文2s£-y5化知識(shí)競賽，若x

3、, y滿足約束條件A. 21 名B. 16 名,則該小組最多選拔學(xué)生(C. 13 名D. 11 名7 .設(shè) m= log0.30.6, n = lo gjO, 6,則（）A. m+nvmnv0B. mnv0vm+nC. m+nv0v mnD. mnvm+nv0我有一壺酒，攜著游春走，遇店8 .元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩:添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示若將 沒了壺中酒”改為 剩余原壺中己的酒量”即輸出值是輸入值的 1 , 則輸入的x=()B-n9.已知單位向量e 2分別與平面直角坐標(biāo)系x, y軸的正方向同向，且向量 AC

4、 =3日-日丁 BD= 2ei+6er則平面四邊形ABCD的面積為(A. MIOB. 2V10C. 10D. 20,2-sinx，一 八一。 八一10函數(shù)的部分圖象可能是B.11.已知函數(shù)f （x）=7K-xlnx ,比0-J,M0,令函數(shù)式K）=f （工）得工-,若函數(shù)g （x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（A. £B. (8, 0)a °)u0日)D 9, 0)U*12.如圖，已知函數(shù) f （工）三苧恒j匕冗x | , Ai, A2, A3是圖象的頂點(diǎn),O, B, C, D 為 f（x）與x軸的交點(diǎn)，線段 A3D上有五個(gè)不同的點(diǎn) Qi, Q2,，Q5,isn1

5、=OA2'OQ1(i=1, 2,，5),則 ni+n2+ n5的值為()4小題；每小題5分，共20分.二、填空題：本大題共D.4513. （5分）命題？xCR, f （x）蟲”的否定形式是14. （5分）如圖，函數(shù)f （x）的圖象是折線段 ABC,其中A, B, C的坐標(biāo)為（0, 4）, （2,0) , (6, 4),則 f (f (0) =;函數(shù) f (x)在 x= 1 處導(dǎo)數(shù) f' (1)=15. （5分）如圖，在單位圓中，7sPON=2行，AMON為等邊三角形， M、N分別在單位圓的第一、二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則 sin/POM =/p16. （5分）已知 4ABC中，角 A,

6、B, C對應(yīng)的邊分別為 a, b, c,且BC邊上的高為 a, 則互一三的取值范圍為c b三、解答題：本大題共 5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.17. （12分）已知an是遞增的等差數(shù)列，且滿足 a2+a4=20, ai?a5=36.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若bn =N*），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的最小值.18. （12分）在4ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對邊分別是 a, b, c,且滿足且辿.tar 2b-a（1）求角C;（2）設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，4ABC的面積為 卬與，求邊CD的最小值.19. （12分）如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，側(cè)面

7、 ABB1A是菱形，D為AB的中點(diǎn)， 一, .I 兀,兀一 ABC 為等腰直角二角形，/ ACB = , Z ABB 1=,且 AB = BiC. i-rO（1）求證：CD,平面 ABBiAi;（2）求CD與平面BCC1B1所成角的正弦值.C20 .（12分）某校為了解學(xué)生一周的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生對其進(jìn)行調(diào)查. 下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的一周學(xué)生閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，且將一周課外閱讀時(shí)間不低于 200分鐘的學(xué)生稱為 閱讀愛好”，低于200分鐘的學(xué)生稱為 非閱 讀愛好” .（1）根據(jù)已知條件完成下面 2X2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為 閱讀愛好

8、”與性別有關(guān)？非閱讀愛好閱讀愛好合計(jì)男50女14合計(jì)(2)將頻率視為概率，從該校學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法抽取4人，記被抽取的四人中 閱讀愛好”的人數(shù)為E,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求七的分布列和數(shù)學(xué)期望 E E.附:P (K2*)0.010.050 0.025 0.0100.001k02.706 3.841 5.024 6.63510.828n(ad-bc) 2(a+t) (c+d) (a+c) (t)+d),n=a+b+c+d.21 . (12分)已知函數(shù)f (x) = eax+b (a, bCR)的圖象與直線l： y=x+1相切，f' (x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，且 f'

9、 (1) = e.(1)求 f ( x);(2)函數(shù)g (x)的圖象與曲線y=kf (x) (kCR)關(guān)于y軸對稱，若直線l與函數(shù)g (x) 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A (x1, g (x1), B (x2, g (x2),求證：x1+x2<-4.請考生在第22-23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22 . ( 10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為瞿二5*、/1 口亡3勺中_(中為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)H丞 in。系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p= 4cos 0.(1)求曲線C1與曲線C2兩

10、交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為p-)=2五，直線l與y軸的交點(diǎn)為M，與曲線C1相交于A, B兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|的值.選彳4- 4-5:不等式選講23.已知x, y, z均為正數(shù).(1)若 xy v 1,證明：|x+z|? |y+z|>4xyz;(2)若 加 =，求2xy? 2yz? 2xz的最小值. x+y-i-z 3參考答案與試題解析、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 . (5 分)已知集合 A=x|(x+2) (x3)<0, B=x|y=Jl,則 AA (?RB)=()A. -

11、2, 1)B. 1, 3C. (-8, 2)D. (-2, 1)【分析】可以求出集合 A, B,然后進(jìn)行交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可.【解答】解：丁 A=x|- 2<x< 3, B = x|x>1.?rB = x|xv 1, AA (?rB) = (- 2, 1).故選：D.【點(diǎn)評】本題考查了描述法、區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. (5 分)已知 0A= (5,1), 0B=(3,2）, AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則 (A. 5- iB. 3+2iC. 2+3iD. - 2-3i【分析】根據(jù)向量的線性表示求出通 即可求解 z,進(jìn)而可求.

12、【解答】解:0A= ( 5, T), 0B= (3, 2),A3= _ （ OA-OB） = （- 2, 3）,對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z= - 2+3i,貝U 工=-2 - 3i,故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查了平面內(nèi)對應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系及共軻復(fù)數(shù)的定義的概念，屬 于基礎(chǔ)試題.3. （5分）（2x-y） 5的展開式中，含x3y2的系數(shù)為（）A. 80B. - 80C. 40D. - 40【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令y的哥指數(shù)等于2,求出r的值，即可求得展開式中含x3y2的系數(shù).【解答】解：（2x-y） 5的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1 = C1? （ - 1） r（2x） 5 r?yr,令r

13、=2,可得含x3y2的系數(shù)為c£?23= 80,D二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式， 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用， 屬于基礎(chǔ)題.4. (5分)在一次期末考試中，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績，成績?nèi)吭?0分至100分之間，將成績按如下方式分成5 組：50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90) , 90, 100).據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.則這200名學(xué)生中成績在80, 90)中的學(xué)生有轉(zhuǎn)率礪0,f»I ”卜J1|分整(分Q sa gn 90 innA . 30 名B . 40 名C . 50 名D . 60 名【分析】由頻

14、率直方圖可求出績在80, 90)內(nèi)的學(xué)生所占的頻率，再求出這200名同學(xué)中成績大于等于80分且小于90分的學(xué)生.【解答】解：成績在80, 90)內(nèi)的學(xué)生所占的頻率為1 - ( 0.005 >2+0.025+0.045 ) X10= 0.2,所以這200名同學(xué)中成績大于等于 80分且小于90分的學(xué)生有200X0.2=40名，故選：B.【點(diǎn)評】本題考查頻率直方圖，計(jì)算人數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5. (5 分)函數(shù) f (x)=3k-2p jj>0jc+1o制&,其式0的零點(diǎn)之和為(A. 一 1B.C. - 2D. 2【分析】利用已知條件，通過分段函數(shù)分別求解函數(shù)的零點(diǎn)，即可得到結(jié)果.3

15、i-2, x>0【解答】解：函數(shù)f (x) =,，K+10 出可得 x>0 時(shí)，3x- 2=0,解得 x= log32,xWO時(shí)，x+log 36 = 0 ,解得 x= - log 36.所以函數(shù)f (x)=3克一2,x>0k+1o g丑的零點(diǎn)之和為：log32 - log36= - 1 .故選：A.【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力.6. (5分)我市高中數(shù)學(xué)研究會(huì)準(zhǔn)備從會(huì)員中選拔x名男生，y名女生組成一個(gè)小組去參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競賽，若 x, y滿足約束條件+則該小組最多選拔學(xué)生()LA. 21 名B. 16 名C. 13 名D. 11 名【分析

16、】由題意畫出約束條件表示的可行域，找出目標(biāo)函數(shù)z= x+y對應(yīng)的最優(yōu)解，計(jì)算可行域內(nèi)使得z取得最大時(shí)的最優(yōu)解.仔-y5【解答】解：畫出 x, y滿足約束條件 y>yK-l,表示的平面區(qū)域，如圖所示；要求招入的人數(shù)最多，即 z= x+y取得最大值，目標(biāo)函數(shù)化為 y= - x+z;在可行域內(nèi)任意取 x, y且為正整數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)代表的斜率為定值-1,截距最大時(shí)的直線為過 萬得A (7, 9),此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值為：z=9+7 =2i-y=516.故選：B.lcg20- &,則()【點(diǎn)評】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的求解問題，是基礎(chǔ)題.7. (5 分)設(shè) m =

17、 log 0.30.6, n =A . m+nvmnv0 B. mnv0vm+n C. m+nv0v mn 【分析】先求出m = - log0.30.6=- ( log0.30.2+1 ) v- 2,|"1口6之0.0,由此能推導(dǎo)出 m+n< 0<mn .【解答】解：m= log0.30.6=一 ( log0.30.2+log 0.30.3) =一 ( log0.30.2+1) < - 2,m+n < 0 V mn .故選：C.【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.我有一壺酒，攜著游春走,8. （

18、5分）元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩:遇店添一倍，逢友飲一斗,店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒?”用程序框圖表達(dá)如圖所示若將沒了壺中酒”改為 剩余原壺中土的酒量”即輸出值是輸入值的3上，則輸入的3x =(3_B-n【分析】根據(jù)程序框圖進(jìn)行模擬運(yùn)算即可.【解答】解：i=1 時(shí).x=2x1, i=2 時(shí)，x=2(2x1) 1 = 4x3,i=3 時(shí)，x = 2 (4x- 3) - 1 = 8x- 7,i=4時(shí)，退出循環(huán)，此時(shí) 8x - 7 =-x91解得x=目故選：C.【點(diǎn)評】本題考查程序框圖的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，利用模擬運(yùn)算法是解決本題的關(guān)鍵.9. (5分)已知單位向

19、量 曰,已分別與平面直角坐標(biāo)系 x, y軸的正方向同向，且向量AC =3丁 - £7, BD=2T+67?,則平面四邊形 ABCD的面積為()Lu上心A. V，rWB. 2V10C. 10D. 20【分析】由已知可得AC?BD = 0,可得ACBD,可得平面四邊形ABCD的面積=考?|AC|?|BD|.【解答】解:正?麗=(3-0?啊W0,又|AC| = J3 2十(_)2=兇 1Q, 1BD|=,22 +2 = 2J10,平面四邊形ABCD的面積=g?筋|?而戶4X2 = 10, 故選：C.【點(diǎn)評】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、四邊形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

20、礎(chǔ)題.10. (5分)函數(shù)f (x) = x?nW邑的部分圖象可能是()2+si nx【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析f (x)的奇偶性以及(0,兀)上的符號，利用排除法分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，f(x) =x?n1乎匹，貝U f( x) = ( x) l者=里 =x?塔浮” 2+sinx2-si nx 2+sinx=f (x),則函數(shù)f (x)為偶函數(shù)，據(jù)此排除 C、D;在(0,兀)上,sinx>0,則有 0<21顯電_<1,必有 ln"'inM v 0,則 f(x) = xln5-n 2+sinx2+sinx2+sinx<0,據(jù)此排除

21、B；故選：A.【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象分析，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.11(5分)已知函數(shù) f (x)=(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.B.8, 0)”8, 0)U (蔣)D.2K-xlnx3 x>0【分析】令F (x) = f ( x)求解函數(shù)的極值，利用函數(shù)的圖象通過F (x) =a (a為常數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則【解答】解：令F (x) = f (x)當(dāng)x > 0時(shí)，函數(shù)由 F' (x) > 0 得由 F' (x) v 0 得于負(fù)無窮大，即當(dāng)e= e,利用分段函數(shù)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),r2x-xlnx,-N 宜<5L乙F&#

22、39; (x) = 2 ( lnx+1) = 1 - lnx ,1 lnx > 0 得 lnx v 1,得 0 v x v e,求解即可.1 - lnx <0得lnx > 1,得x>e,當(dāng)x值趨向于正無窮大時(shí)，y值也趨向x = e時(shí)，函數(shù) F (x)取得極大值，極大值為 F (e) = 2e- elne= 2e當(dāng)xwo時(shí)，F(xiàn)(工)二一工2普力二-(X+"*) * V*是二次函數(shù),在軸處取得最大值作出函數(shù)F (x)的圖象如圖:a ; n a w > rli am r ， r ; f?b / T上 工-J-i o2 i b10 jrH 要使F (x) =a

23、(a為常數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a<0或國-<國<6,16即若函數(shù)g (x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(cc>3 o)U(_5_, e),16故選：C.【點(diǎn)評】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.12. (5分)如圖，已知函數(shù)«)*|, A1, A2, A3是圖象的頂點(diǎn)，O B, CD為f(x)與x軸的交點(diǎn)，線段A3D上有五個(gè)不同的點(diǎn) Q1, Q2,，Q5, t己門.二0A； 而* 工 一 £工(i=1, 2,，5),則 ni+n2+ n5的值為()。»號【分析】可求得

24、A2, A3的坐標(biāo)，進(jìn)而得到西,西，運(yùn)用數(shù)量積公式可得 £rJn+門2+一一*一口5二5&工QD，由此得解.1, 2,【解答】解：由題意得，函數(shù) f (x)的周期T=1,即B, C, D的橫坐標(biāo)分別為因?yàn)閗0A.RT，故西上區(qū),故nl +ri2+口5=042(0。+。2+00?+口。4+。05)，* * * * 、* ，R 、 4S0%(50D+DQ 1+DQ f +DQ3 +DQ) = 5。與-QD=5 *0、3+Q)丁 故選：D.【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的判斷，向量的分解， 向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力能，呈現(xiàn)方式新穎，

25、屬于較難題 目.、填空題：本大題共 4小題；每小題5分，共20分.13. (5 分)命題 ？xCR, f (x) 蟲”的否定形式是?x0C R, f (x0) > x0.【分析】否定：否定量詞，否定結(jié)論.【解答】解：否定：否定量詞，否定結(jié)論.故命題？xC R, f (x)今”的否定形式是為：？xoCR, f (xo) >xo.故答案為：？xoCR, f (xo) > xo.【點(diǎn)評】本題考查命題否定，屬于基礎(chǔ)題.14. (5分)如圖，函數(shù)f (x)的圖象是折線段 ABC,其中A, B, C的坐標(biāo)為(0, 4), (2,2 :函數(shù)f (x)在x= 1處導(dǎo)數(shù)f' (1) =

26、- 2【分析】(1)要求f (f (0)的值，可先求f (0) =4,再求f (4),此即為所求;(2)函數(shù)的圖象可知,K-2k+47 0<x<2工-2,然后求出導(dǎo)數(shù)即可求出結(jié)果.【解答】解：(1)由圖象可知f (0) =4, f (4) =2,即 f (f (0) = 2(2) f (0) =4, f (4) =2, f (2) =4,由函數(shù)的圖象可知，二2"4, 04工<2v=s- /,苫也當(dāng) 0aW2時(shí)，f' (x) = - 2.f' (1) = 2故答案為：2,-2【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要注意分段函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)

27、題.15. （5分）如圖，在單位圓中,位圓的第一、二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則7SAPON=2/S, AMON為等邊三角形，M、N分別在單sin/POM=.14 【分析】由 7Sapon = 2-«,得到 sin( U+60" )，,故 90。V a +60°< 120°,得二 口s鈍Q" ）二，再由sin后sin ( a+60) - 60°展開代入即可.【解答】解：設(shè)/ POM = a,因?yàn)镮SAPON = 2/3， 所以暴門（口+£0° ”竽,又AMON為等邊三角形, 二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，M、N分別在單位圓的第一、所以式n

28、( CL+600 )金£，mo"<90* ,故90°V a+60之120°,得匚口二立十60。）二-1 sin cf= sin ( a +60) 60° =姬¥ 1 1 即丐節(jié)X214故答案為:W314【點(diǎn)評】考查三角形兩角和與差的公式,單位圓，三角形的面積等，中檔題.16. （5分）已知4ABC中，角A, B,C對應(yīng)的邊分別為 a, b, c,且BC邊上的高為a,則L-三的取值范圍為 c b【分析】利用角形面積公式得到a2=bcsinA,由余弦定理和兩角和與 差公式222.心+c a +2bccosA bcsinA+Sbcco

29、sZbebe=sinA+2cosA=V5sin(A+ » ,結(jié)合基本不等式求出 旦江的范圍.c b【解答】解：已知 4ABC中，角A, B, C對應(yīng)的邊分別為 a, b, c,且BC邊上的高為a,所以S立c總我，所以a2=bcsinA，由余弦定理得 a2= b2+ C2 - 2bccosA, 222sinA+2cosA =所 以 總上4 +C 二a +2b8gA = bC+2bc8，A c b bebebedsin(A+<j),其中 tan 后 2,所以旦R4旗, c bb=c時(shí)，取等號由根據(jù)基本不等式，哈>2,當(dāng)且僅當(dāng)故?EL' «'故答案為：

30、區(qū)，述【點(diǎn)評】本題考查均值不等式的應(yīng)用，三角形面積，余弦定理，三角函數(shù)輔助角公式, 三角函數(shù)求最值，考查邏輯推理能力，中檔題.三、解答題：本大題共 5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.17. (12分)已知an是遞增的等差數(shù)列，且滿足a2+a4=20, ai?a5=36.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；，一、4 .1_. . . 一一(2)右bn = 1 %-30(口£ N ),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn的取小值.【分析】(1)設(shè)公差為d,則d>0,運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，可得公差d,首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；(2)求得bn=' (4n-2) -

31、 30=2n- 31,運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，配方可得所求最小值.【解答】解：(1) an是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則d>0,a2+a4= 20, a1 ?a5= 36,可得 a1+a5= 20,解得 a1=2, a5= 18, d = = 4-,5-1則 an= 2+4 ( n - 1) = 4n - 2;(2)bn = (4n-2) - 30=2n- 31,可得前 n 項(xiàng)和 Tn = -n ( 29+2n31) =n230n= ( n T5) 2 225,當(dāng)n=15時(shí)，前n項(xiàng)和Tn取得最小值-225.【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及單調(diào)性、前n項(xiàng)和的最值求法,考

32、查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18. (12分)在4ABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別是a, b, c,且滿足也還一 tanC 2b1一軟(1)求角C;(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，4ABC的面積為373,求邊CD的最小值.【分析】(1)由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行化簡，然后結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可求cosC,進(jìn)而可求C;(2)由Sn麻代入可求ab.然后由CD-y (CA+CB)，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)及余弦定理，基本不等式可求.解答解：(1)由正弦定理： 視 二更屈，又以nA手工nks或,2b-a 2sinB-ginA tanC eosAsinC由題"巫=_5_,所以GnAc產(chǎn)C=|產(chǎn)

33、品 .tanC 2b-a eosAsinC 2slnB-sinA因?yàn)?sinAwQ 所以 cosC (2sinB sinA) = cosAsinC,即 cosCsinA+cosAsinC= 2sinBcosC,即 sinB = sin （A+C） =2sinBcosC, 因?yàn)閟inBwQ所以cgwC二W"，則（2）由 13c器bsi",3=由苧, 所以 ab=12.由 CL）W（C44CE），所以 CD斗CB -2cA "）=3 （b*寸展"十2abe呂C） =（匕'十一十猛）（2如也匕）=9當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等,所以邊CD的最小值為3.【點(diǎn)評

34、】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式，向量的數(shù)量積的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題.19. (12分)如圖，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，側(cè)面 ABB 1A1是菱形，D為AB的中點(diǎn),、，2E一-一-一,兀，兀I ABC為等腰直角二角形，/ ACB = , /ABB1=，且 AB = B1C.(1)求證：CD,平面 ABB1A1;(2)求CD與平面BCC1B1所成角的正弦值.由此能證明 CD,平面ABB1A1.連ZBiD,設(shè) AB = 2a,則,推導(dǎo)出CDXBiD,(2)設(shè)CD與平面BCCiBi所成角為 。，點(diǎn)D到平面BCCiBi的距離為d, AB = 2a,由77a,由

35、此能求出 CD與平面BCCiBi所成角的正弦值.【解答】解：(1)證明：D為AB中點(diǎn)，AC = BC, CDXAB,BDj后配ABC是等腰直角三角形,a,連結(jié)BiD,如圖，設(shè)AB = 2a,二.四邊形 ABBiAi是菱形，D為AB中點(diǎn)，/ABBi = CDXBiD,. ABnBiD=D,CD,平面 ABBlAi.(2)解：設(shè)CD與平面BCCiBi所成角為0,點(diǎn)D到平面 BCCiBi的距離為d, AB=2a,由(1)知BiDL平面BCD,則. XHQBC= 72a, BiB=BiC= 2a,，ab:ec' =VD-B1K, E I .斛信d= _久,sin 6=V7,V3 3 V7-t-

36、 a 二產(chǎn) a&6LdJ h/2i日，CECD與平面BCCiBi所成角的正弦值為 宜37【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.20 .（12分）某校為了解學(xué)生一周的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生對其進(jìn)行調(diào)查. 下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的一周學(xué)生閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，且將一周課外閱讀時(shí)間不低于200分鐘的學(xué)生稱為 閱讀愛好”，低于200分鐘的學(xué)生稱為非閱97.5%的把握認(rèn)為閱讀愛（1）根據(jù)已知條件完成下面 2X2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有好”與性別有關(guān)?合計(jì)非閱讀愛好閱

37、讀愛好合計(jì)5014（2）將頻率視為概率，從該校學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法抽取4人，記被抽取的四人中 閱讀愛好”的人數(shù)為E,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求七的分布列和數(shù)學(xué)期望 E E.附:P (K2*)0.010.050 0.025 0.0100.001k02.706 3.841 5.024 6.63510.828K2(a (c+d) (a+c) (t)+d)n= a+b+c+d.【分析】（1）完成2X2列聯(lián)表，求出K2= 6>5.024,從而有97.5%的把握認(rèn)為閱讀愛好”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知從該校學(xué)生中任意抽取1名學(xué)生，恰 為閱讀愛好”的概率為2,由題意知 B (4, 5

38、),由此能求出【解答】解：(1)完成2X2列聯(lián)表如下:合計(jì)非閱讀愛好243660閱讀愛好261440合計(jì)5050100k2=1.00x(24 X 14-36X 26)260X 40X 50X50=6> 5.024,.有97.5%的把握認(rèn)為 閱讀愛好”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知:從該校學(xué)生中任意抽取1名學(xué)生，恰為由題意知丁 B (4,時(shí))空6252/3 2 216625966251601234812162169616625625625625625數(shù)學(xué)期望的求法,【點(diǎn)評】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、考查二次分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.21

39、. (12分)已知函數(shù)f (x) = eax+b (a, bCR)的圖象與直線l： y=x+1相切，f' (x)是 f (x)的導(dǎo)函數(shù)，且 f' (1) = e.(1)求 f ( x);(2)函數(shù)g (x)的圖象與曲線y=kf (x) (kCR)關(guān)于y軸對稱，若直線l與函數(shù)g (x) 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A (x1，g (x1)，B (x2, g (x2),求證：xI+x2<-4.【分析】(1)設(shè)直線l與函數(shù)f (x)的圖象相切的切點(diǎn)為(m, n),求得f (x)的導(dǎo)數(shù) 可得切線的斜率，由切線方程和已知條件，可得 m, n的方程和a, b的方程，解方程組 可得a, b

40、,進(jìn)而得到所求f (x)的解析式；(2)求得y=g (x)的解析式，g (x1) = x1+1 , g (x2) = x2+1,兩式相加和相減，相除可得 x1+x2+2 = ? (x1 - x2),令 x1 - x2= t (t>0),可得要證 x1 + x2< - 4 ,X .1-e 1 =i t即證上二?tv - 2,即證 t (1+et) - 2 (et- 1) >0,可令 h (t) =t (1+et) - 2 (et- 1),"I t1- gt>0,求得二階導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證.【解答】解：(1)設(shè)直線l與函數(shù)f (x)的圖象相切的切點(diǎn)為(m,

41、 n),函數(shù) f (x) = eax+b的導(dǎo)數(shù)為 f' (x) = aeax+b,由題意可得 aeam+b= 1, eam+b= m+1 ,且 aea+b=e,解得 a=1, b=0, m=0,可得 f (x) = ex;(2)函數(shù)g (x)的圖象與曲線 y=kf (x) (kCR)關(guān)于y軸對稱，可得 g (x) = kf ( x) = ke x,由 g (xi) = xi+1 , g (x2)= x2+1,可得 ke x1 = x1+1, ke x2= x2+1,兩式相加可得 k (e x1+e x2) =xi+x2+2,兩式相加可得k (e x1 - e x2) =xi-x2,k1

42、-x2貝 U x1 + x2+2 =? (x1 x2),1-e 1 T令 x1 - x2= t (t>0),貝U x1 + x2+2=?:,要證 X1 + X2V - 4,即證 7即證 t (1+et) - 2 (et - 1) > 0,可令 h(t)= t (1+et) 2(et1), t>0, h'(t)= 1+tet-et,h"(t)=tet>0,h' (t)在 t>0 遞增，h' (t) >h' (0) =0,可得 h (t)在 t>0 遞增，即有 h (t) >h (0)=0,可得X1 + X2V - 4成立.【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)法和方程思想、 化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.請考生在第22-23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22