第四講等差數(shù)列與等比數(shù)列

1、)、ap如( P N )成等差kan成等比數(shù)列;若可、6成等比數(shù)列，則nd ；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù);項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n T時(shí)，S奇 ai + q%第四講等差數(shù)列與等比數(shù)列【基礎(chǔ)回顧】一、知識梳理：1、用類比的方法梳理等差數(shù)列與等比數(shù)列基礎(chǔ)知識等差數(shù)列等比數(shù)列定義an+1 an=d2an =an_1 +an+(n 2Nan =q (q 為常數(shù)，anM 0); an2an =an-1 an+1 (nA2, n Nk)通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d 二 an =kn + b 常用變通公式：an =am +(n- m)dn-1an=a1q ,常用變通公式：a n=anqn-m求和 公式n(n 1)d 2 ,d、S

2、n na1 +d n +(a1)n2 2 1 2或 Sn=n(a1+a2)2d H0時(shí)，是關(guān)于n的二次型，且無常數(shù)項(xiàng).na1q =1Sn =a1(1 qn) a1 anq.1q H11 q1 q等差 中項(xiàng)a, A, b成等差數(shù)列，A為a, b的等差中項(xiàng)。a + b 且A=2a, G, b成等比數(shù)列，G為a, b的等比中項(xiàng)。 且G用聯(lián)系的視野對等差數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行整合(1 )如果數(shù)列an成等差數(shù)列，那么數(shù)列Aan ( Aan總有意義)必成等比數(shù)列.(2)如果數(shù)列an成等比數(shù)列，那么數(shù)列l(wèi)og a |an |(a 0,a H1)必成等差數(shù)列.(3 )如果數(shù)列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列

3、an是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列an是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件. 在理解的基礎(chǔ)上對等差數(shù)列與等比數(shù)列某些性質(zhì)進(jìn)行延伸研究(方法)(1)若 an、5 是等差數(shù)列，則kan、kan + pbn (k、P是非零常數(shù) 數(shù)列(2)若an是等比數(shù)列，則| 4 |、aP如( PN匸N)、anbn、 b成等比數(shù)列； (3)在等差數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S禺S奇S2n (2n )a中(這里 a中即 4 )- = ab 注：兩正數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)常用 性質(zhì)若 m,n,p,q N+, 且 m+n=p+q ,貝Uam + an = ap + aq特別地：2p=m+nm,n,p, N+

4、 ,則am + an = 2ap若 m,n,p,q N+,m+n=p+q，貝U anSn=apaq 特 別地：2p=m+n , m,n,p N+ ,貝U2ap= am nn1 n2 nk為正整數(shù)且成等差數(shù)列，則an11 , an2ank成等差數(shù)列n1 n2 nk為正整數(shù)且成 等差數(shù)列，則 an11 ,an/ ank成等比數(shù)列Sn, S2n (4)在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，0禺=q%h, S3n S2n 成等差數(shù)列Sn, S2n - Sn, S3n - Szn (竊工0)成等比數(shù)列（5） 若公差d 0，則為遞增等差數(shù)列，若公差 d cO，則為遞減等差數(shù)列，若公差 d = 0，則為常數(shù)

5、列。（6） 若 aiZq1，則an為遞增數(shù)列；若aiZq1,則何為遞減數(shù)列；若耳0,0，則何為遞減數(shù)列；若ai cO,0 cq c1,則an為遞增數(shù)列；若qvO，則何為擺動數(shù)列；若qi，則an為常數(shù)列.【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1.已知等比數(shù)列an的公比不等于1,給出5個(gè)數(shù)列：（1）tan+anj （2）J2（3） !n（5） a” +2其中仍為等比數(shù)列的序號為 1 a3 + a42. 在等比數(shù)列an中，a” ：0,qH1,且32-33,81成等差數(shù)列，則34 =2 aa53. 等差數(shù)列an中，a1 =2,公差不為零，且 d,a3,an恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列的公比為4. 已知函數(shù)f（X）=

6、2X ,等差數(shù)列ax的公差為2 .若f 2 +a4 +a6 +a8 +a10）= 4 ,則Iog2f（a1）”f（a2）f（a3）Hl”f（a10）=.5.已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且r”An 7n+45n+3，則使得西為整數(shù)的正整bn13數(shù)n的個(gè)數(shù)是【典型例題】lgbn,lg an卅Ig成等差數(shù)列,例題1：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an和竝滿足5an ,5bn ,5an+成等比數(shù)列, 且 ai 二1, b =2,a2 =3，求通項(xiàng) an,bn例題2：已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 =1,公差d 0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列 仏的第 2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)。（

7、1）求數(shù)列an和圮的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列 仁對n亡N 4均有G +C2 +Cn =an4t成立，求G +c2 +C2012bl b2bn例題 3：在數(shù)列an中，a, =1, 32=2，且 an十=(1 + q)an-qan(1) 設(shè)bn =an半an ( n亡N*),證明bn是等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 若 as是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對任意的 n亡(n 2,0).N , an是a3與a6的等差中項(xiàng).例題4：如果有窮數(shù)列a, 32,33ll,am( m為正整數(shù))滿足條件ai=am ,(i =1, 2,，l),m)，我們稱其為對稱數(shù)列”.例如，數(shù)列1,2,

8、5 2 1與數(shù)列8, 4 2 ,2,4 8都是“對稱數(shù)列”.(1) 設(shè)是7項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中bi , b2 , d , b4是等差數(shù)列，且b,=2 , b4=11 依次寫出bj的 每一項(xiàng)；(2) 設(shè)cn 是49項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中C25,C26, , I) ,C49是首項(xiàng)為1 ,公比為2的等比數(shù)列，求tcj各 項(xiàng)的和S ；(3) 設(shè) dn 是100項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中d51,d52,lll,d100是首項(xiàng)為2 ,公差為3的等差數(shù)列.求 dj前 n項(xiàng)的和 Sn (n= 1,2,II,100).a2 = am_J ,，am = ai，即 ai= am_iHl【鞏固練習(xí)】1. 設(shè)等差數(shù)列aj

9、的公差d不為0,印=9d .2. 等比數(shù)列aj的前n項(xiàng)和為Sn，已知S , 2S2, SSs成等差數(shù)列，則3.若a是a,與a2k的等比中項(xiàng)，貝yk =_aj的公比為4.5.6.7.8.=x2 -2x +3的頂點(diǎn)是（b,已知數(shù)列an對于任意P, q N ,有.ap + aq = ap,若a1 = 1 ,9已知等差數(shù)列 g 的前n項(xiàng)和為Sn ,若 氐=21，則a2 + as +比+ a11 =設(shè)等差數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn ,若St眾0,5蘭15,則的最大值為已知等比數(shù)列 9 中a2 =1,貝U其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn = n2 -9n ,第k項(xiàng)滿足5 c ak

10、cB ,則k =已知a, b, c, d成等比數(shù)列，且曲線 yc），則ad等于9.設(shè)等差數(shù)列an 的公差為d,則“ a1,a2/- ,a7的方差為1”的充要條件是d=1 1., , If t ft、rb10.設(shè)a0,b:0.若J3是3a ,3b的等比中項(xiàng)，則 一+的最小值為 an（103 - n）-2 ，11.已知數(shù)列（an 的前n項(xiàng)和Snn求（1）通項(xiàng)an （2 ）求Sn的最大值（3）求送冋19=,且數(shù)列36a2 .3 -12.已知數(shù)列右n 中，已知ai =5忌6公差為-1的等差數(shù)列，數(shù)列 aa1,a2 22（a3 乎），,log2（aH -a）是333,an十-一，是公比為1的等比數(shù)列，求

11、數(shù)列taj的通項(xiàng)23公式及前n項(xiàng)和公式3 1，=-an JL +- bn+14 4( n 2)13+_h+1.nA .nA 44I an13.已知數(shù)列an , bn滿足 ai =2 , bi =1，且!bn(D令cn =an +0，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式;(II)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式Sn = 9+3/2 14.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, d =1中J2, S3(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn ；S(n)設(shè)bn = n (N*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列n【拓展提高】(1)定義：F(x,y) = yx(x0,y 0 )，已知數(shù)列%滿足：a. =

12、F(n,2)(n亡Nj，若對任意正整數(shù)n，F(xiàn)(2, n)都有an ak (k忘N *)成立，則ak的值為nf(2) 已知數(shù)列an滿足：ar =1,a2 =a(a 0).數(shù)列bn滿足 b =anap(nN*)。(1 )若an是等差數(shù)列，且b3 =12,求a的值及a.的通項(xiàng)公式；(2 )若an是等比數(shù)列，求bn的前項(xiàng)和Sn ；(3) 當(dāng)bn是公比為a -1的等比數(shù)列時(shí)，an能否為等比數(shù)列？若能，求出 a的值；若不能，請說明理由?！究偨Y(jié)反思】第四講等差數(shù)列與等比數(shù)列【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1. (2) ( 3) ( 4)嚴(yán)-123. 44. 6 5.5例1略解：由已知可得【典型例題】：=Jbn bn -12bn

13、 = an + abnbnH1 即 anH1故 an = Jbnbn( 2)代入得：2bn=Jbb二+J応;(n2)即2乞=應(yīng) +應(yīng)(n2) 所以數(shù)列何是等差數(shù)列，因?yàn)閎1 =2,a2 =3,a22 =b,b2，得b-9所以 Jb7 = J2 +(n 1)(J| j2)，所以 bn=(n +1)2-2代入得an =_ (n 2)又a1 =1，適合上式，22綜上 an =3 ,bn =42 2例 2 解：(1)由已知(1+4d)2 =(1+d)(1+13d)，又 d0,所以 an =1 +2(n -1) =2n -1所以ann(n +1)2則6=2b3又 b2 =a2 =3,b3 =a5 =9，

14、故公比 q =3b2所以 bn =3 3 =322）由計(jì)+當(dāng)n 2,+2 +丑=&卄 b1 b2bn 4比兩式相減得：n 2,C = an十一 an = 2bn所以Cn =2bn =2 3n(n2)又 n ；= 1,=a?,所以 C| = 3 b1所以c3；r1)n (2 3 (n 2)+2011仃r【、f 丄 丄-c 丄 6(1一3) 小丄/小2012c2012所以 G +c2 + C2012 = 3 +=3+(3 3) = 313例 3:解：（1）證明：由題設(shè) an4t =（1+q）anqan斗（n 工 2），an + an =q(an an4)，即 bn=qbn4, n2 .又b, =a

15、2 -6 =1, q HO，所以bn是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.（2 ）解法：由（I）a2 -a, =1, as -a2 =q,2an - an=q , ( n2 ).將以上各式相加，得 an -印=1 +q +|H + qn/ ( n 2 ).所以當(dāng)n 2時(shí)，an =-nA1+8-1-qq H1,n,q =1.上式對n =1顯然成立.（3）解：由（n），當(dāng)q =1時(shí)，顯然as不是a6與a9的等差中項(xiàng)，故q工1 .,522由 a3 a6 =a a3 可得 q q =q836q，由 qH0 得 q 1=1q ,整理得（q3）2 +q3 -2 =0，解得q3 =-2或q3 =1 （舍去）于是q

16、 = -返.n七 nn 4另一方面，an-an*q_ =1(q3-1),n 4 n 韋n 4an 二甘先 2).由可得an anHs = an書一an, n匸N .所以對任意的n N , an是an七與a七的等差中項(xiàng).例4:解：（1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d，則b4 = d + 3d = 2 +3d = 11，解得d = 3 ,數(shù)列 hn 為 2,5,8,11,8,5,2 .(2) S =01 +C2 + C49 = 2(C25 + C26 中+(49)625=2(1+2+22 +224 )-1 = 2(225 1 )1 =226 3 =67108861.(3) d51 =2, d1oo =2+3

17、X(50 1) =149 .由題意得d1,d2 JII,d50是首項(xiàng)為149，公差為-3的等差數(shù)列.當(dāng) n W 50 時(shí)，Sn =d1 +d2 +dn= 149n+3(3)n2+301n .2 2 2當(dāng) 51 w n w 100 時(shí)，Sn=d1 +d2 +dn=S50 + (d51 + d52 + dn )=3775 +2! n-50)+(n 50)( n- 51)%3綜上所述,3 2299=-n2 n + 7500 .2亠301 +n,2299 丄rucc.n +7500,I223 2-n2I 3 2! 一 n1 w n w 50,51 w n w 100.【鞏固練習(xí)】(1) 4 ( 2)

18、1(3) 2(4) 4(5) 7(6) 4( 7)(二，1U3,兄)(8) 81(9) 2(10) 4(11) (1)an = 3n +53(2) (Sn )max = $7 = 442(3)送 ain(1033n)g17)2n (103-3n)884-2(n 17)(12) a（13） （I）解：由題設(shè)得an +bn =(an4+bnJ+2(n 2)，即.,1、n z1、nSn=2+(1)-3(-)G =0,4+2（ n 2 ）易知cj是首項(xiàng)為a, + b, =3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為1(II )解：由題設(shè)得 an -bn = (anJ -bn)(n 2)，令 dn =an - bn，則211dn = dn4（n 2）.易知dn是首項(xiàng)為a1 -b =1，公比為一的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為22fan+bn=2 nq211111 nd-1 .由1 解得 an =帀十n +-，求和得 Sn = -R + = + n + 1 .2耳-0=尹2222I a =+1(14)解：(1)由已知得彳 1 二 d =2，故 an=2n-1+72, q = n(n + 冋.3a1 +3d =9